Physics For Scientists And Engineers 6E - part 212

One of the truly remarkable features of superconductors is that once a current is

set up in them, it persists without any applied potential difference (because R " 0). Steady
currents have been observed to persist in superconducting loops for several years with
no apparent decay!

An important and useful application of superconductivity is in the development of

superconducting  magnets,  in  which  the  magnitudes  of  the  magnetic  field  are  about
ten  times  greater  than  those  produced  by  the  best  normal  electromagnets.  Such
superconducting  magnets  are  being  considered  as  a  means  of  storing  energy.
Superconducting magnets are currently used in medical magnetic resonance imaging
(MRI)  units,  which  produce  high-quality  images  of  internal  organs  without  the  need
for excessive exposure of patients to x-rays or other harmful radiation.

For further information on superconductivity, see Section 43.8.

27.6 Electrical Power

If a battery is used to establish an electric current in a conductor, there is a continuous
transformation of chemical energy in the battery to kinetic energy of the electrons to
internal  energy  in  the  conductor,  resulting  in  an  increase  in  the  temperature  of  the
conductor.

In typical electric circuits, energy is transferred from a source such as a battery, to

some device, such as a lightbulb or a radio receiver. Let us determine an expression
that will allow us to calculate the rate of this energy transfer. First, consider the simple
circuit  in  Figure  27.13,  where  we  imagine  energy  is  being  delivered  to  a  resistor.
(Resistors are designated by the circuit symbol 

.) Because the connecting

wires also have resistance, some energy is delivered to the wires and some energy to the
resistor. Unless noted otherwise, we shall assume that the resistance of the wires is so
small  compared  to  the  resistance  of  the  circuit  element  that  we  ignore  the  energy
delivered to the wires.

Imagine following a positive quantity of charge Q that is moving clockwise around

the circuit in Figure 27.13 from point a through the battery and resistor back to point a.
We identify the entire circuit as our system. As the charge moves from a to b through
the battery, the electric potential energy of the system increases by an amount Q !V while
the chemical potential energy in the battery decreases by the same amount. (Recall from
Eq.  25.9  that  !U " q !V.)  However,  as  the  charge  moves  from  c to  d through  the
resistor, the system loses this electric potential energy during collisions of electrons with
atoms  in  the  resistor.  In  this  process,  the  energy  is  transformed  to  internal  energy
corresponding to increased vibrational motion of the atoms in the resistor. Because we
have  neglected  the  resistance  of  the  interconnecting  wires,  no  energy  transformation
occurs for paths bc and da. When the charge returns to point a, the net result is that
some  of  the  chemical  energy  in  the  battery  has  been  delivered  to  the  resistor  and
resides in the resistor as internal energy associated with molecular vibration.

The resistor is normally in contact with air, so its increased temperature will result

in  a  transfer  of  energy  by  heat  into  the  air.  In  addition,  the  resistor  emits  thermal

SECTION 27.6 •  Electrical Power

845

A small permanent magnet

levitated above a disk of the

superconductor YBa

2

Cu

3

O

7

, which

is at 77 K.

Courtesy of IBM Research Laboratory

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the battery voltage

and the resistance to see the

resulting current in the circuit

and power delivered to the

resistor.

Active Figure 27.13 A circuit consisting of a resistor of

resistance R and a battery having a potential difference !V across

its terminals. Positive charge flows in the clockwise direction.

b

a

c

d

R

I

∆V

+
–

▲

PITFALL PREVENTION

27.6 Misconceptions

About Current

There  are  several  common
misconceptions  associated  with
current  in  a  circuit  like  that  in
Figure 27.13. One is that current
comes out of one terminal of the
battery and is then “used up” as it
passes  through  the  resistor,
leaving  current  in  only  one  part
of  the  circuit.  The  truth  is  that
the current is the same everywhere
in  the  circuit.  A  related  miscon-
ception  has  the  current  coming
out  of  the  resistor  being  smaller
than that going in, because some
of  the  current  is  “used  up.”
Another 

misconception 

has

current  coming  out  of  both
terminals  of  the  battery,  in
opposite  directions,  and  then
“clashing” in the resistor, deliver-
ing  the  energy  in  this  manner.
This is not the case—the charges
flow in the same rotational sense
at all points in the circuit.

radiation,  representing  another  means  of  escape  for  the  energy.  After  some  time
interval  has  passed,  the  resistor  reaches  a  constant  temperature,  at  which  time  the
input  of  energy  from  the  battery  is  balanced  by  the  output  of  energy  by  heat  and
radiation. Some electrical devices include heat sinks

4

connected to parts of the circuit

to prevent these parts from reaching dangerously high temperatures. These are pieces
of metal with many fins. The high thermal conductivity of the metal provides a rapid
transfer of energy by heat away from the hot component, while the large number of
fins provides a large surface area in contact with the air, so that energy can transfer by
radiation and into the air by heat at a high rate.

Let us consider now the rate at which the system loses electric potential energy as

the charge Q passes through the resistor:

where I is the current in the circuit. The system regains this potential energy when the
charge  passes  through  the  battery,  at  the  expense  of  chemical  energy  in  the  battery.
The rate at which the system loses potential energy as the charge passes through the
resistor  is  equal  to  the  rate  at  which  the  system  gains  internal  energy  in  the  resistor.
Thus, the power ", representing the rate at which energy is delivered to the resistor, is

(27.22)

We derived this result by considering a battery delivering energy to a resistor. However,
Equation 27.22 can be used to calculate the power delivered by a voltage source to any
device carrying a current I and having a potential difference !V between its terminals.

Using Equation 27.22 and the fact that !V " IR for a resistor, we can express the

power delivered to the resistor in the alternative forms

(27.23)

When I is expressed in amperes, !V in volts, and R in ohms, the SI unit of power is the
watt,  as  it  was  in  Chapter  7  in  our  discussion  of  mechanical  power.  The  process  by
which power is lost as internal energy in a conductor of resistance R is often called joule
heating

5

; this transformation is also often referred to as an I

2

R loss.

When  transporting  energy  by  electricity  through  power  lines,  such  as  those

shown in the opening photograph for this chapter, we cannot make the simplifying
assumption  that  the  lines  have  zero  resistance.  Real  power  lines  do  indeed  have
resistance, and power is delivered to the resistance of these wires. Utility companies
seek  to  minimize  the  power  transformed  to  internal  energy  in  the  lines  and  maxi-
mize the energy delivered to the consumer. Because " " I !V, the same amount of
power can be transported either at high currents and low potential differences or at
low  currents  and  high  potential  differences.  Utility  companies  choose  to  transport
energy  at  low  currents  and  high  potential  differences  primarily  for  economic
reasons.  Copper  wire  is  very  expensive,  and  so  it  is  cheaper  to  use  high-resistance
wire  (that  is,  wire  having  a  small  cross-sectional  area;  see  Eq.  27.11).  Thus,  in  the
expression for the power delivered to a resistor, " " I

2

R, the resistance of the wire

is fixed at a relatively high value for economic considerations. The I

2

R loss can be

reduced  by  keeping  the  current  I as  low  as  possible,  which  means  transferring  the
energy  at  a  high  voltage.  In  some  instances,  power  is  transported  at  potential
differences  as  great  as  765 kV.  Once  the  electricity  reaches  your  city,  the  potential
difference  is  usually  reduced  to  4 kV  by  a  device  called  a  transformer. Another

" "

I

 

2

R "

(!V

  

)

2

R

" "

I !V

dU

dt

"

d

dt

 (Q 

∆V ) "

dQ

dt

 

∆V " I ∆V

846

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

▲

PITFALL PREVENTION

27.7 Charges Do Not

Move All the Way
Around a Circuit in a
Short Time

Due to the very small magnitude
of the drift velocity, it might take
hours for  a  single  electron  to
make  one  complete  trip  around
the  circuit.  In  terms  of  under-
standing the energy transfer in a
circuit,  however,  it  is  useful  to
imagine a  charge  moving  all  the
way around the circuit.

▲

PITFALL PREVENTION

27.8 Energy Is Not

“Dissipated”

In  some  books,  you  may  see
Equation  27.23  described  as  the
power  “dissipated  in”  a  resistor,
suggesting that energy disappears.
Instead we say energy is “delivered
to”  a  resistor.  The  notion  of
dissipation arises  because  a  warm
resistor  will  expel  energy  by
radiation and heat, so that energy
delivered by the battery leaves the
circuit. (It does not disappear!)

4

This is another misuse of the word heat that is ingrained in our common language.

5

It is commonly called joule heating even though the process of heat does not occur. This is another
example of incorrect usage of the word heat that has become entrenched in our language.

Power delivered to a device

Power delivered to a resistor

transformer  drops  the  potential  difference  to  240 V  before  the  electricity  finally
reaches  your  home.  Of  course,  each  time  the  potential  difference  decreases,  the
current  increases  by  the  same  factor,  and  the  power  remains  the  same.  We  shall
discuss transformers in greater detail in Chapter 33.

Demands on our dwindling energy supplies have made it necessary for us to be

aware  of  the  energy  requirements  of  our  electrical  devices.  Every  electrical
appliance  carries  a  label  that  contains  the  information  you  need  to  calculate  the
appliance’s power requirements. In many cases, the power consumption in watts is
stated directly, as it is on a lightbulb. In other cases, the amount of current used by
the  device  and  the  potential  difference  at  which  it  operates  are  given.  This
information  and  Equation  27.22  are  sufficient  for  calculating  the  power  require-
ment of any electrical device.

SECTION 27.6 •  Electrical Power

847

Quick  Quiz  27.7

The  same  potential  difference  is  applied  to  the  two

lightbulbs  shown  in  Figure  27.14.  Which  one  of  the  following  statements  is  true?
(a) The  30-W  bulb  carries  the  greater  current  and  has  the  higher  resistance.
(b) The 30-W  bulb  carries  the  greater  current,  but  the  60-W  bulb  has  the  higher
resistance.  (c) The  30-W  bulb  has  the  higher  resistance,  but  the  60-W  bulb  carries
the  greater  current.  (d)  The  60-W  bulb  carries  the  greater  current  and  has  the
higher resistance.

Quick  Quiz  27.8

For  the  two  lightbulbs  shown  in  Figure  27.15,  rank  the

current values at points a through f, from greatest to least.

Figure 27.14 (Quick Quiz 27.7) These lightbulbs operate at their rated power only

when they are connected to a 120-V source.

Figure 27.15 (Quick Quiz 27.8)

Two lightbulbs connected across

the same potential difference.

George Semple

∆V

30 W

60 W

e

f

c

d

a

b

Example 27.7 Power in an Electric Heater

An  electric  heater  is  constructed  by  applying  a  potential
difference  of  120 V  to  a  Nichrome  wire  that  has  a  total
resistance  of  8.00 '.  Find  the  current  carried  by  the  wire
and the power rating of the heater.

Solution Because !V " IR, we have

We  can  find  the  power  rating  using  the  expression 
" "

I

2

R:

" "

I

  

2

R " (15.0 A)

2

(8.00 ') " 1.80 # 10

3

 W

15.0 A

I "

∆V

R

"

120 V

8.00 '

"

What If?

What if the heater were accidentally connected to a

240-V supply? (This is difficult to do because the shape and
orientation of the metal contacts in 240-V plugs are different
from those in 120-V plugs.) How would this affect the current
carried by the heater and the power rating of the heater?

Answer If  we  doubled  the  applied  potential  difference,
Equation  27.8  tells  us  that  the  current  would  double.
According  to  Equation  27.23,  " " (!V )

2

/R,  the  power

would be four times larger.

1.80 kW

" "

848

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

Example 27.8 Linking Electricity and Thermodynamics

Example 27.9 Current in an Electron Beam

(A)

What is the required resistance of an immersion heater

that will increase the temperature of 1.50 kg of water from
10.0°C to 50.0°C in 10.0 min while operating at 110 V?

(B)

Estimate the cost of heating the water.

Solution This  example  allows  us  to  link  our  new  under-
standing  of  power  in  electricity  with  our  experience  with
specific  heat  in  thermodynamics  (Chapter  20).  An  immer-
sion  heater  is  a  resistor  that  is  inserted  into  a  container  of
water.  As  energy  is  delivered  to  the  immersion  heater,
raising  its  temperature,  energy  leaves  the  surface  of  the
resistor by heat, going into the water. When the immersion
heater  reaches  a  constant  temperature,  the  rate  of  energy
delivered to the resistance by electrical transmission is equal
to the rate of energy delivered by heat to the water.

(A) To  simplify  the  analysis,  we  ignore  the  initial  period
during  which  the  temperature  of  the  resistor  increases,  and
also ignore any variation of resistance with temperature. Thus,
we  imagine  a  constant  rate  of  energy  transfer  for  the  entire
10.0 min.  Setting  the  rate  of  energy  delivered  to  the  resistor
equal to the rate of energy entering the water by heat, we have

where  Q represents  an  amount  of  energy  transfer  by  heat
into the water and we have used Equation 27.23 to express

" "

(

∆V )

2

R

"

Q

∆t

the electrical power. The amount of energy transfer by heat
necessary  to  raise  the  temperature  of  the  water  is  given  by
Equation 20.4, Q " mc !T. Thus,

Substituting  the  values  given  in  the  statement  of  the 
problem, we have

(B) Because the energy transferred equals power multiplied
by time interval, the amount of energy transferred is

If the energy is purchased at an estimated price of 10.0¢ per
kilowatt-hour, the cost is

0.7 ¢

'

Cost " (0.069 8 kWh)($0.100/kWh) " $0.006

  

98

"

69.8 Wh " 0.069 8 kWh

"

 

∆t "

(

∆V

 

)

2

R

 

∆t "

(110 V

 

)

2

28.9 '

 (10.0 min) 

"

1 h

60.0 min

#

28.9 '

"

R "

(110 V )

2

(600 s)

(1.50 kg)(4186 J/kg(.C)(50.0.C $ 10.0.C)

(

∆V )

2

R

"

mc 

∆T

∆t

 

9:

 

R "

(

∆V )

2

 

∆t

mc 

∆T

Solution We  use  Equation  27.2  in  the  form  dQ " I dt and
integrate to find the charge per pulse. While the pulse is on,
the current is constant; thus,

Dividing this quantity of charge per pulse by the electronic
charge gives the number of electrons per pulse:

 " 5.00 # 10

$

8 

C

Q 

pulse

"

I 

$

 dt " I 

∆t " (250 # 10

$

3

 A)(200 # 10

$

9 

s)

In  a  certain  particle  accelerator,  electrons  emerge  with
an energy  of  40.0 MeV  (1 MeV " 1.60 # 10

$

13

J).  The

electrons emerge not in a steady stream but rather in pulses
at  the  rate  of  250  pulses/s.  This  corresponds  to  a  time
interval between pulses of 4.00 ms (Fig. 27.16). Each pulse
has  a  duration  of 200 ns,  and  the  electrons  in  the  pulse
constitute a current of 250 mA. The current is zero between
pulses.

(A)

How  many  electrons  are  delivered  by  the  accelerator

per pulse?

Interactive

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can explore the heating of the water.

I

2.00 

× 10

–7

s

t (s)

4.00 ms

Figure 27.16 (Example 27.9) Current versus time for a pulsed beam of electrons.