Physics For Scientists And Engineers 6E - part 210

Every ohmic material has a characteristic resistivity that depends on the properties of
the material and on temperature. Additionally, as you can see from Equation 27.11, the
resistance  of  a  sample  depends  on  geometry  as  well  as  on  resistivity.  Table  27.1  gives
the resistivities of a variety of materials at 20°C. Note the enormous range, from very
low values for good conductors such as copper and silver, to very high values for good
insulators such as glass and rubber. An ideal conductor would have zero resistivity, and
an ideal insulator would have infinite resistivity.

Equation 27.11 shows that the resistance of a given cylindrical conductor such as a

wire is proportional to its length and inversely proportional to its cross-sectional area.
If the length of a wire is doubled, then its resistance doubles. If its cross-sectional area
is doubled, then its resistance decreases by one half. The situation is analogous to the
flow of a liquid through a pipe. As the pipe’s length is increased, the resistance to flow
increases.  As  the  pipe’s  cross-sectional  area  is  increased,  more  liquid  crosses  a  given
cross section of the pipe per unit time interval. Thus, more liquid flows for the same
pressure differential applied to the pipe, and the resistance to flow decreases.

SECTION 27.2 •  Resistance

837

▲

PITFALL PREVENTION

27.5 Resistance and

Resistivity

Resistivity  is  property  of  a  sub-
stance,  while  resistance  is  a  prop-
erty  of  an  object.  We  have  seen
similar  pairs  of  variables  before.
For  example,  density  is  a  prop-
erty of a substance, while mass is
a property of an object. Equation
27.11 relates resistance to resistiv-
ity,  and  we  have  seen  a  previous
equation  (Equation  1.1)  which
relates mass to density.

Temperature

Material

Resistivity

a

(' ( m)

Coefficient

b

!

[(!C)

$

1

]

Silver

1.59 # 10

$

8

3.8 # 10

$

3

Copper

1.7 # 10

$

8

3.9 # 10

$

3

Gold

2.44 # 10

$

8

3.4 # 10

$

3

Aluminum

2.82 # 10

$

8

3.9 # 10

$

3

Tungsten

5.6 # 10

$

8

4.5 # 10

$

3

Iron

10 # 10

$

8

5.0 # 10

$

3

Platinum

11 # 10

$

8

3.92 # 10

$

3

Lead

22 # 10

$

8

3.9 # 10

$

3

Nichrome

c

1.50 # 10

$

6

0.4 # 10

$

3

Carbon

3.5 # 10

$

5

$

0.5 # 10

$

3

Germanium

0.46

$

48 # 10

$

3

Silicon

640

$

75 # 10

$

3

Glass

10

10

to 10

14

Hard rubber

&10

13

Sulfur

10

15

Quartz (fused)

75 # 10

16

Resistivities and Temperature Coefficients of Resistivity
for Various Materials

Table 27.1

a

All values at 20°C.

b

See Section 27.4.

c

A nickel–chromium alloy commonly used in heating elements.

An assortment of resistors used in electrical circuits.

Henry Leap and Jim Lehman

Most  electric  circuits  use  circuit  elements  called 

resistors to  control  the  current

level in the various parts of the circuit. Two common types of resistors are the composi-
tion resistor, which contains carbon, and the wire-wound resistor, which consists of a coil of
wire. Values of resistors in ohms are normally indicated by color-coding, as shown in
Figure 27.6 and Table 27.2.

Ohmic  materials  and  devices  have  a  linear  current–potential  difference  relation-

ship over a broad range of applied potential differences (Fig. 27.7a). The slope of the
I-versus-!V curve in the linear region yields a value for 1/R. Nonohmic materials have
a  nonlinear  current–potential  difference  relationship.  One  common  semiconducting
device  that  has  nonlinear  I-versus-!V characteristics  is  the  junction  diode (Fig.  27.7b).
The  resistance  of  this  device  is  low  for  currents  in  one  direction  (positive  !V )  and
high  for  currents  in  the  reverse  direction  (negative  !V ).  In  fact,  most  modern
electronic  devices,  such  as  transistors,  have  nonlinear  current–potential  difference
relationships;  their  proper  operation  depends  on  the  particular  way  in  which  they
violate Ohm’s law.

838

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

Color

Number

Multiplier

Tolerance

Black

0

1

Brown

1

10

1

Red

2

10

2

Orange

3

10

3

Yellow

4

10

4

Green

5

10

5

Blue

6

10

6

Violet

7

10

7

Gray

8

10

8

White

9

10

9

Gold

10

$

1

5%

Silver

10

$

2

10%

Colorless

20%

Color Coding for Resistors

Table 27.2

(a)

I

Slope = 1

R

!

V

(b)

I

!

V

Figure 27.7 (a) The current–potential difference curve for an ohmic material. The

curve is linear, and the slope is equal to the inverse of the resistance of the conductor.

(b) A nonlinear current–potential difference curve for a junction diode. This device

does not obey Ohm’s law.

Figure 27.6 The colored bands on a resistor represent a code for

determining resistance. The first two colors give the first two digits in the

resistance value. The third color represents the power of ten for the

multiplier of the resistance value. The last color is the tolerance of the

resistance value. As an example, the four colors on the circled resistors are

red (" 2), black (" 0), orange (" 10

3

), and gold (" 5%), and so the

resistance value is 20 # 10

3

' "

20 k' with a tolerance value of 5% " 1 k'.

(The values for the colors are from Table 27.2.)

SuperStock

Quick  Quiz  27.3

Suppose  that  a  current-carrying  ohmic  metal  wire  has  a

cross-sectional  area  that  gradually  becomes  smaller  from  one  end  of  the  wire  to  the
other. The current must have the same value in each section of the wire so that charge
does not accumulate at any one point. How do the drift velocity and the resistance per

SECTION 27.2 •  Resistance

839

unit length vary along the wire as the area becomes smaller? (a) The drift velocity and
resistance both increase. (b) The drift velocity and resistance both decrease. (c) The
drift  velocity  increases  and  the  resistance  decreases.  (d)  The  drift  velocity  decreases
and the resistance increases.

Quick Quiz 27.4

A cylindrical wire has a radius r and length !. If both r and !

are doubled, the resistance of the wire (a) increases (b) decreases (c) remains the same.

Quick Quiz 27.5

In Figure 27.7b, as the applied voltage increases, the resis-

tance of the diode (a) increases (b) decreases (c) remains the same.

Example 27.2 The Resistance of a Conductor

Example 27.3 The Resistance of Nichrome Wire

Example 27.4 The Radial Resistance of a Coaxial Cable

Calculate  the  resistance  of  an  aluminum  cylinder  that
has a length  of  10.0 cm  and  a  cross-sectional  area  of
2.00 # 10

$

4

m

2

. Repeat the calculation for a cylinder of the

same  dimensions  and  made  of  glass  having  a  resistivity  of
3.0 # 10

10

' (

m.

Solution From Equation 27.11 and Table 27.1, we can cal-
culate the resistance of the aluminum cylinder as follows:

1.41 # 10

$

5 

'

"

R " %

 

 

!

A

"

(2.82 # 10

$

8

 '(m) 

"

0.100 m

2.00 # 10

$

4 

 

m

2

#

Similarly, for glass we find that

As you might guess from the large difference in resistivities,
the resistances of identically shaped cylinders of aluminum
and glass differ widely. The resistance of the glass cylinder is
18 orders of magnitude greater than that of the aluminum
cylinder.

1.5 # 10

13

 '

"

R " % 

!

A

"

(3.0 # 10

10

 '(m) 

"

0.100 m

2.00 # 10

$

4

 m

2

#

(A)

Calculate  the  resistance  per  unit  length  of  a  22-gauge

Nichrome wire, which has a radius of 0.321 mm.

Solution The cross-sectional area of this wire is

The  resistivity  of  Nichrome  is  1.5 # 10

$

6

' (

m  (see

Table 27.1).  Thus,  we  can  use  Equation  27.11  to  find  the
resistance per unit length:

(B)

If a potential difference of 10 V is maintained across a

1.0-m  length  of  the  Nichrome  wire,  what  is  the  current  in
the wire?

4.6 '/m

R

!

"

%

A

"

1.5 # 10

$

6

 '(m

3.24 # 10

$

7

 m

2

"

A " *r

 

2

"

*

(0.321 # 10

$

3

 m)

2

"

3.24 # 10

$

7

 m

2

Solution Because  a  1.0-m  length  of  this  wire  has  a  resis-
tance of 4.6 ', Equation 27.8 gives

Note from Table 27.1 that the resistivity of Nichrome wire is
about 100 times that of copper. A copper wire of the same
radius  would  have  a  resistance  per  unit  length  of  only
0.052 '/m.  A  1.0-m  length  of  copper  wire  of  the  same
radius would carry the same current (2.2 A) with an applied
potential difference of only 0.11 V.

Because  of  its  high  resistivity  and  its  resistance  to

oxidation,  Nichrome  is  often  used  for  heating  elements  in
toasters, irons, and electric heaters.

2.2 A

I "

∆V

R

"

10 V

4.6 '

"

silicon,  in  the  radial direction,  is  unwanted.  (The  cable  is 
designed  to  conduct  current  along  its  length—this  is  not
the  current  we  are  considering  here.)  The  radius  of  the 
inner  conductor  is  a " 0.500 cm,  the  radius  of  the  outer
one  is  b " 1.75 cm,  and  the  length  is  L " 15.0 cm. 

Coaxial cables are used extensively for cable television and
other  electronic  applications.  A  coaxial  cable  consists  of 
two  concentric  cylindrical  conductors.  The  region 
between the conductors is completely filled with silicon, as
shown  in  Figure  27.8a,  and  current  leakage  through  the 

Interactive

Explore the resistance of different materials at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

840

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

Figure 27.8 (Example 27.4) A coaxial cable. (a) Silicon fills the gap between the two

conductors. (b) End view, showing current leakage.

Calculate  the  resistance  of  the  silicon  between  the  two
conductors.

Solution Conceptualize  by  imagining  two  currents,  as
suggested in the text of the problem. The desired current is
along  the  cable,  carried  within  the  conductors.  The
undesired  current  corresponds  to  charge  leakage  through
the silicon and its direction is radial. Because we know the
resistivity and the geometry of the silicon, we categorize this
as a problem in which we find the resistance of the silicon
from  these  parameters,  using  Equation  27.11.  Because  the
area through which the charges pass depends on the radial
position,  we  must  use  integral  calculus  to  determine  the
answer.

To analyze the problem, we divide the silicon into con-

centric  elements  of  infinitesimal  thickness  dr (Fig.  27.8b).
We  start  by  using  the  differential  form  of  Equation  27.11,
replacing  ! with  r for  the  distance  variable:  dR " % dr/A,
where  dR is  the  resistance  of  an  element  of  silicon  of 
thickness dr and surface area A. In this example, we take as
our representative concentric element a hollow silicon cylin-
der of radius r, thickness dr, and length L, as in Figure 27.8.
Any  charge  that  passes  from  the  inner  conductor  to  the
outer  one  must  pass  radially  through  this  concentric  ele-
ment,  and  the  area  through  which  this  charge  passes  is 
A " 2*rL. (This is the curved surface area—circumference
multiplied  by  length—of  our  hollow  silicon  cylinder  of
thickness  dr.)  Hence,  we  can  write  the  resistance  of  our 
hollow cylinder of silicon as

Because  we  wish  to  know  the  total  resistance  across  the
entire thickness of the silicon, we must integrate this expres-
sion from r " a to r " b:

(1)

     

R "

$

b

a

 

dR "

%

2*L

 

$

b

a

  

dr

r

"

%

2*L

 

 ln 

"

b

a

#

dR "

%

2*rL

 dr

Substituting in the values given, and using % " 640 ' ( m for
silicon, we obtain

To  finalize  this  problem,  let  us  compare  this  resistance  to
that of the inner conductor of the cable along the 15.0-cm
length. Assuming that the conductor is made of copper, we
have

This resistance is much smaller than the radial resistance. As
a  consequence,  almost  all  of  the  current  corresponds  to
charge  moving  along  the  length  of  the  cable,  with  a  very
small fraction leaking in the radial direction.

What If?

Suppose the coaxial cable is enlarged to twice the

overall  diameter  with  two  possibilities:  (1)  the  ratio  b/a is
held fixed, or (2) the difference b " a is held fixed. For which
possibility  does  the  leakage  current  between  the  inner  and
outer  conductors  increase  when  the  voltage  is  applied
between the two conductors?

Answer In order for the current to increase, the resistance
must decrease. For possibility (1), in which b/a is held fixed,
Equation  (1)  tells  us  that  the  resistance  is  unaffected.  For
possibility (2), we do not have an equation involving the dif-
ference b $ a to inspect. Looking at Figure 27.8b, however,
we  see  that  increasing  b and  a while  holding  the  voltage 
constant  results  in  charge  flowing  through  the  same 
thickness of silicon but through a larger overall area perpen-
dicular to the flow. This larger area will result in lower resis-
tance and a higher current.

 " 3.2 # 10

$

5

 '

R " % 

 

!

A

"

(1.7 # 10

$

8

 '(m) 

"

0.150 m

*

(5.00 # 10

$

3

 m)

2

#

851 '

R "

640 '(m

2*(0.150 m)

 

 ln 

"

1.75 cm

0.500 cm

#

"

(a)

L

Outer

conductor

Inner

conductor

Silicon

a

b

Current

direction

End view

(b)

dr

r