Physics For Scientists And Engineers 6E - part 211

27.3 A Model for Electrical Conduction

In this section we describe a classical model of electrical conduction in metals that was
first proposed by Paul Drude (1863–1906) in 1900. This model leads to Ohm’s law and
shows that resistivity can be related to the motion of electrons in metals. Although the
Drude model described here does have limitations, it nevertheless introduces concepts
that are still applied in more elaborate treatments.

Consider a conductor as a regular array of atoms plus a collection of free electrons,

which  are  sometimes  called  conduction electrons.  The  conduction  electrons,  although
bound  to  their  respective  atoms  when  the  atoms  are  not  part  of  a  solid,  gain  mobility
when the free atoms condense into a solid. In the absence of an electric field, the conduc-
tion electrons move in random directions through the conductor with average speeds on
the order of 10

6

m/s. The situation is similar to the motion of gas molecules confined in a

vessel. In fact, some scientists refer to conduction electrons in a metal as an electron gas.
There is no current in the conductor in the absence of an electric field because the drift
velocity of the free electrons is zero. That is, on the average, just as many electrons move
in one direction as in the opposite direction, and so there is no net flow of charge.

This situation changes when an electric field is applied. Now, in addition to under-

going the random motion just described, the free electrons drift slowly in a direction
opposite that of the electric field, with an average drift speed v

d

that is much smaller

(typically 10

$

4

m/s) than their average speed between collisions (typically 10

6

m/s).

Figure  27.9  provides  a  crude  description  of  the  motion  of  free  electrons  in  a

conductor. In the absence of an electric field, there is no net displacement after many
collisions (Fig. 27.9a). An electric field 

E modifies the random motion and causes the

electrons to drift in a direction opposite that of 

E (Fig. 27.9b).

In our model, we assume that the motion of an electron after a collision is indepen-

dent of its motion before the collision. We also assume that the excess energy acquired
by  the  electrons  in  the  electric  field  is  lost  to  the  atoms  of  the  conductor  when  the 
electrons  and  atoms  collide.  The  energy  given  up  to  the  atoms  increases  their  vibra-
tional energy, and this causes the temperature of the conductor to increase. The tem-
perature  increase  of  a  conductor  due  to  resistance  is  utilized  in  electric  toasters  and
other familiar appliances.

We are now in a position to derive an expression for the drift velocity. When a free

electron  of  mass  m

e

and  charge  q (" $ e)  is  subjected  to  an  electric  field 

E,  it

experiences  a  force 

F " qE.  Because  this  force  is  related  to  the  acceleration  of  the

electron through Newton’s second law, 

F " m

e

a, we conclude that the acceleration of

the electron is

(27.12)

a "

q

 

E

m

e

SECTION 27.3 •  A Model for Electrical Conduction

841

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the electric field to

see the resulting effect on the

motion of an electron.

Active Figure 27.9 (a) A schematic diagram of the random motion of two charge

carriers in a conductor in the absence of an electric field. The drift velocity is zero.

(b) The motion of the charge carriers in a conductor in the presence of an electric

field. Note that the random motion is modified by the field, and the charge carriers

have a drift velocity.

(a)

–

–

–

–

–

–

–

–

E

(b)

This  acceleration,  which  occurs  for  only  a  short  time  interval  between  collisions,
enables the electron to acquire a small drift velocity. If 

v

i

is the electron’s initial velocity

the instant after a collision (which occurs at a time that we define as t " 0), then the
velocity of the electron at time t (at which the next collision occurs) is

(27.13)

We now take the average value of 

v

f

over all possible collision times t and all possible

values  of 

v

i

.  If  we  assume  that  the  initial  velocities  are  randomly  distributed  over  all

possible  values,  we  see  that  the  average  value  of 

v

i

is  zero.  The  term  (q

E/m

e

)t is  the

velocity change of the electron due to the electric field during one trip between atoms.
The  average  value  of  the  second  term  of  Equation  27.13  is  (q

E/m

e

)+,  where  + is  the

average time interval between successive collisions. Because the average value of 

v

f

is equal to

the drift velocity, we have

(27.14)

We  can  relate  this  expression  for  drift  velocity  to  the  current  in  the  conductor.
Substituting  Equation  27.14  into  Equation  27.6,  we  find  that  the  magnitude  of  the
current density is

(27.15)

where n is the number of charge carriers per unit volume. Comparing this expression
with  Ohm’s  law,  J " &E,  we  obtain  the  following  relationships  for  conductivity  and
resistivity of a conductor:

(27.16)

(27.17)

According  to  this  classical  model,  conductivity  and  resistivity  do  not  depend  on  the
strength  of  the  electric  field.  This  feature  is  characteristic  of  a  conductor  obeying
Ohm’s law.

The  average  time  interval  + between  collisions  is  related  to  the  average  distance

between collisions ! (that is, the mean free path; see Section 21.7) and the average speed

through the expression

(27.18)

+ "

!
v

v

% "

1

&

"

m

e

nq

 

2

+

& "

nq

 

2

+

m

e

J " nqv

d

"

nq

 

2

E

m

e

 

 +

v

f

"

v

d

"

q

 

E

m

e

 

 +

v

f

"

v

i

,

at " v

i

,

q

 

E

m

e

 t

842

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

Drift velocity in terms of

microscopic quantities

Current density in terms of

microscopic quantities

Conductivity in terms of micro-

scopic quantities

Resistivity in terms of micro-

scopic quantities

Example 27.5 Electron Collisions in a Wire

(A)

Using the data and results from Example 27.1 and the

classical model of electron conduction, estimate the average
time  interval  between  collisions  for  electrons  in  household
copper wiring.

Solution From Equation 27.17, we see that

where % " 1.7 # 10

$

8

' (

m for copper and the carrier den-

sity  is  n " 8.49 # 10

28

electrons/m

3

for  the  wire  described

+ "

m

e

nq

 

2

%

in  Example  27.1.  Substitution  of  these  values  into  the
expression above gives

2.5 # 10

$

14

 s

"

+ "

9.11 # 10

$

31

 kg

(8.49 # 10

28

 m

$

3

)(1.6 # 10

$

19

 C)

2

 (1.7 # 10

$

8

 '(m )

(B)

Assuming  that  the  average  speed  for  free  electrons  in

copper is 1.6 # 10

6

m/s and using the result from part (A),

calculate the mean free path for electrons in copper.

27.4 Resistance and Temperature

Over a limited temperature range, the resistivity of a conductor varies approximately
linearly with temperature according to the expression

(27.19)

where % is the resistivity at some temperature T (in degrees Celsius), %

0

is the resistivity

at some reference temperature T

0

(usually taken to be 20°C), and - is the 

tempera-

ture  coefficient  of  resistivity. From  Equation  27.19,  we  see  that  the  temperature
coefficient of resistivity can be expressed as

(27.20)

where !% " % $ %

0

is the change in resistivity in the temperature interval !T " T $ T

0

.

The  temperature  coefficients  of  resistivity  for  various  materials  are  given  in

Table 27.1. Note that the unit for - is degrees Celsius

$

1

[(°C)

$

1

]. Because resistance

is proportional to resistivity (Eq. 27.11), we can write the variation of resistance as

(27.21)

Use of this property enables us to make precise temperature measurements, as shown
in Example 27.6.

R " R

 

0

[1 , -(T $ T

0

)]

- "

1

%

0

 

∆%

∆T

% " %

0

[1 , -(T $ T

0

)]

SECTION 27.4 •  Resistance and Temperature

843

Quick Quiz 27.6

When does a lightbulb carry more current: (a) just after it

is turned on and the glow of the metal filament is increasing, or (b) after it has been
on for a few milliseconds and the glow is steady?

which  is  equivalent  to  40 nm  (compared  with  atomic 
spacings of about 0.2 nm). Thus, although the time interval
between  collisions  is  very  short,  an  electron  in  the  wire
travels about 200 atomic spacings between collisions.

Solution From Equation 27.18,

4.0 # 10

$

8

 m

"

! "

v+ " (1.6 # 10

6

 m/s)(2.5 # 10

$

14

 s)

Example 27.6 A Platinum Resistance Thermometer

A  resistance  thermometer,  which  measures  temperature  by
measuring the change in resistance of a conductor, is made
from  platinum  and  has  a  resistance  of  50.0 ' at  20.0°C.
When  immersed  in  a  vessel  containing  melting  indium,  its
resistance  increases  to  76.8 '.  Calculate  the  melting  point
of the indium.

Solution Solving  Equation  27.21  for  !T and  using  the  -
value for platinum given in Table 27.1, we obtain

Because T

0

"

20.0°C, we find that T, the temperature of the

melting indium sample, is  157.C.

 " 137.C

∆T "

R $ R

 

0

-

R

 

0

"

76.8 ' $ 50.0 '

[3.92 # 10

$

3

(.C

 

)

$

1

](50.0 ')

For metals like copper, resistivity is nearly proportional to temperature, as shown

in Figure  27.10.  However,  a  nonlinear  region  always  exists  at  very  low  temperatures,
and  the  resistivity  usually  reaches  some  finite  value  as  the  temperature  approaches
absolute zero.  This  residual  resistivity  near  absolute  zero  is  caused  primarily  by  the

Variation of 

#

with temperature

Temperature coefficient of

resistivity

collision of electrons with impurities and imperfections in the metal. In contrast, high-
temperature resistivity (the linear region) is predominantly characterized by collisions
between electrons and metal atoms.

Notice that three of the - values in Table 27.1 are negative; this indicates that the

resistivity of these materials decreases with increasing temperature (Fig. 27.11), which
is  indicative  of  a  class  of  materials  called  semiconductors.  This  behavior  is  due  to  an
increase in the density of charge carriers at higher temperatures.

Because the charge carriers in a semiconductor are often associated with impurity

atoms, the resistivity of these materials is very sensitive to the type and concentration of
such impurities. We shall return to the study of semiconductors in Chapter 43.

27.5 Superconductors

There is a class of metals and compounds whose resistance decreases to zero when they
are  below  a  certain  temperature  T

c

,  known  as  the 

critical  temperature. These

materials  are  known  as 

superconductors. The  resistance–temperature  graph  for  a

superconductor follows that of a normal metal at temperatures above T

c

(Fig. 27.12).

When  the  temperature  is  at  or  below  T

c

,  the  resistivity  drops  suddenly  to  zero.  This

phenomenon was discovered in 1911 by the Dutch physicist Heike Kamerlingh-Onnes
(1853–1926)  as  he  worked  with  mercury,  which  is  a  superconductor  below  4.2 K.
Recent measurements have shown that the resistivities of superconductors below their
T

c

values are less than 4 # 10

$

25

' (

m—around 10

17

times smaller than the resistivity

of copper and in practice considered to be zero.

Today thousands of superconductors are known, and as Table 27.3 illustrates, the

critical  temperatures  of  recently  discovered  superconductors  are  substantially  higher
than  initially  thought  possible.  Two  kinds  of  superconductors  are  recognized.  The
more recently identified ones are essentially ceramics with high critical temperatures,
whereas superconducting materials such as those observed by Kamerlingh-Onnes are
metals.  If  a  room-temperature  superconductor  is  ever  identified,  its  impact  on
technology could be tremendous.

The  value  of  T

c

is  sensitive  to  chemical  composition,  pressure,  and  molecular

structure.  It  is  interesting  to  note  that  copper,  silver,  and  gold,  which  are  excellent
conductors, do not exhibit superconductivity.

844

CHAPTE R 27 •  Current and Resistance

Material

T

c

(K)

HgBa

2

Ca

2

Cu

3

O

8

134

Tl–Ba–Ca–Cu–O

125

Bi–Sr–Ca–Cu–O

105

YBa

2

Cu

3

O

7

92

Nb

3

Ge

23.2

Nb

3

Sn

18.05

Nb

9.46

Pb

7.18

Hg

4.15

Sn

3.72

Al

1.19

Zn

0.88

Critical Temperatures for
Various Superconductors

Table 27.3

Figure 27.11 Resistivity versus

temperature for a pure

semiconductor, such as silicon or

germanium.

Figure 27.12 Resistance versus temperature for a

sample of mercury (Hg). The graph follows that of a

normal metal above the critical temperature T

c

. The

resistance drops to zero at T

c

, which is 4.2 K for mercury.

T

ρ

0

T

ρ

0

0

ρ

ρ

Figure 27.10 Resistivity versus

temperature for a metal such as

copper. The curve is linear over a

wide range of temperatures, and 

%

increases with increasing

temperature. As T approaches

absolute zero (inset), the resistivity

approaches a finite value 

%

0

.

ρ

T

0.10

0.05

4.4

4.2

4.0

T(K)

0.15

R(

Ω)

T

c

0.00