Physics For Scientists And Engineers 6E - part 216

SECTION 28.1 •  Electromotive Force

861

Example 28.1 Terminal Voltage of a Battery

A battery has an emf of 12.0 V and an internal resistance of
0.05 '.  Its  terminals  are  connected  to  a  load  resistance  of
3.00 '.

(A)

Find the current in the circuit and the terminal voltage

of the battery.

Solution Equation 28.3 gives us the current:

and from Equation 28.1, we find the terminal voltage:

"

V #

$

Ir # 12.0 V $ (3.93 A)(0.05 ') #

To check this result, we can calculate the voltage across the
load resistance R:

"

V # IR # (3.93 A)(3.00 ') # 11.8 V

(B)

Calculate  the  power  delivered  to  the  load  resistor,  the

power delivered to the internal resistance of the battery, and
the power delivered by the battery.

Solution The power delivered to the load resistor is

!

R

#

I

2

R # (3.93 A)

2

(3.00 ') #

The power delivered to the internal resistance is

!

r

#

I

2

r # (3.93 A)

2

(0.05 ') # 0.772 W

46.3 W

11.8 V

!

3.93 A

I #

!

R % r

#

12.0 V

3.05 '

#

Hence,  the  power  delivered  by  the  battery  is  the  sum
of these quantities, or 47.1 W. You should check this result,
using the expression ! # I .

What  If?

As  a  battery  ages,  its  internal  resistance

increases.  Suppose  the  internal  resistance  of  this  battery
rises  to  2.00 ! toward  the  end  of  its  useful  life.  How  does
this alter the ability of the battery to deliver energy?

Answer Let us connect the same 3.00-' load resistor to the
battery. The current in the battery now is

and the terminal voltage is

"

V #

$

Ir # 12.0 V $ (2.40 A) (2.00 ') # 7.2 V

Notice that the terminal voltage is only 60% of the emf. The
powers delivered to the load resistor and internal resistance
are

!

R

#

I

2

R # (2.40 A)

2 

(3.00 ') #

!

r

#

I

2

r # (2.40 A)

2 

(2.00 ') # 11.5 W

Notice that 40% of the power from the battery is delivered
to  the  internal  resistance.  In  part  (B),  this  percentage  is
1.6%.  Consequently,  even  though  the  emf  remains  fixed,
the  increasing  internal  resistance  significantly  reduces  the
ability of the battery to deliver energy.

17.3 W

!

I #

!

R % r

#

12.0 V

(3.00 ' % 2.00 ')

#

2.40 A

!

Interactive

Example 28.2 Matching the Load

Show that the maximum power delivered to the load resis-
tance  R in  Figure  28.2a  occurs  when  the  load  resistance
matches the internal resistance—that is, when R # r.

Solution The  power  delivered  to  the  load  resistance  is
equal to I

2

R, where I is given by Equation 28.3:

When ! is plotted versus R as in Figure 28.3, we find that
!

reaches a maximum value of 

2

/4r at R # r. When R is

large,  there  is  very  little  current,  so  that  the  power  I

2

R

delivered  to  the  load  resistor  is  small.  When  R is  small,
the current  is  large  and  there  is  significant  loss  of  power
I

2

r as energy is delivered to the internal resistance. When

R # r, these effects balance to give a maximum transfer of
power.

We can also prove that the power maximizes at R # r by

differentiating ! with respect to R, setting the result equal

!

! #

I

2

R #

!

2

R

(R % r)

2

to zero, and solving for R. The details are left as a problem
for you to solve (Problem 57).

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can vary the load resistance and internal resistance,
observing the power delivered to each.

r

2r

3r

R

!

max

!

Figure 28.3 (Example 28.2) Graph of the power ! delivered

by a battery to a load resistor of resistance R as a function of R.

The power delivered to the resistor is a maximum when the

load resistance equals the internal resistance of the battery.

2

The  term  voltage  drop is  synonymous  with  a  decrease  in  electric  potential  across  a  resistor  and  is

used often by individuals working with electric circuits.

28.2 Resistors in Series and Parallel

Suppose that you and your friends are at a crowded basketball game in a sports arena and
decide to leave early. You have two choices: (1) your group can exit through a single door
and push your way down a long hallway containing several concession stands, each sur-
rounded by a large crowd of people waiting to buy food or souvenirs; or (2) each member
of your group can exit through a separate door in the main hall of the arena, where each
will have to push his or her way through a single group of people standing by the door. In
which scenario will less time be required for your group to leave the arena?

It should be clear that your group will be able to leave faster through the separate

doors than down the hallway where each of you has to push through several groups of
people. We could describe the groups of people in the hallway as being in series, because
each  of  you  must  push  your  way  through  all  of  the  groups.  The  groups  of  people
around the doors in the arena can be described as being in parallel. Each member of
your  group  must  push  through  only  one  group  of  people,  and  each  member  pushes
through  a  different group  of  people.  This  simple  analogy  will  help  us  understand  the
behavior of currents in electric circuits containing more than one resistor.

When two or more resistors are connected together as are the lightbulbs in Figure

28.4a, they are said to be in series. Figure 28.4b is the circuit diagram for the lightbulbs,
which are shown as resistors, and the battery. In a series connection, if an amount of
charge  Q exits  resistor  R

1

,  charge  Q must  also  enter  the  second  resistor  R

2

.  (This  is

analogous  to  all  members  of  your  group  pushing  through  each  crowd  in  the  single
hallway of the sports arena.) Otherwise, charge will accumulate on the wire between
the resistors. Thus, the same amount of charge passes through both resistors in a given
time interval. Hence,

The potential difference applied across the series combination of resistors will divide
between the resistors. In Figure 28.4b, because the voltage drop

2

from a to b equals IR

1

and the voltage drop from b to c equals IR

2

, the voltage drop from a to c is

"

V # IR

1

%

IR

2

#

I(R

1

%

R

2

)

for a series combination of two resistors, the currents are the same in both resis-
tors because the amount of charge that passes through R

1

must also pass through

R

2

in the same time interval.

862

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

+

–

(a)

Battery

R

1

R

2

∆V

(c)

I

+

–

a

c

(b)

I

R

1

R

2

I

+

–

a

b

c

I

1

 = I

2 

= I

R

eq

 = 

R

1 

+ 

R

2

∆V

Active Figure 28.4 (a) A series connection of two lightbulbs with resistances R

1

and

R

2

. (b) Circuit diagram for the two-resistor circuit. The current in R

1

is the same as that

in R

2

. (c) The resistors replaced with a single resistor having an equivalent resistance

R

eq

#

R

1

%

R

2

.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the battery voltage

and resistances R

1

and R

2

to

see the effect on the currents

and voltages in the individual

resistors.

The potential difference across the battery is also applied to the equivalent resistance
R

eq

in Figure 28.4c:

"

V # IR

eq

where  we  have  indicated  that  the  equivalent  resistance  has  the  same  effect  on  the
circuit because it results in the same current in the battery as the combination of resis-
tors. Combining these equations, we see that we can replace the two resistors in series
with a single equivalent resistance whose value is the sum of the individual resistances:

"

V # IR

eq

#

I(R

1

%

R

2

) 9: R

eq

#

R

1

%

R

2

(28.5)

The  resistance  R

eq

is  equivalent  to  the  series  combination  R

1

%

R

2

in  the  sense  that

the circuit current is unchanged when R

eq

replaces R

1

%

R

2

.

The equivalent resistance of three or more resistors connected in series is

(28.6)

This relationship indicates that 

the equivalent resistance of a series connection of

resistors  is  the  numerical  sum  of  the  individual  resistances  and  is  always
greater than any individual resistance.

Looking back at Equation 28.3, the denominator is the simple algebraic sum of the

external  and  internal  resistances.  This  is  consistent  with  the  fact  that  internal  and
external resistances are in series in Figure 28.2a.

Note  that  if  the  filament  of  one  lightbulb  in  Figure  28.4  were  to  fail,  the  circuit

would no longer be complete (resulting in an open-circuit condition) and the second
bulb would also go out. This is a general feature of a series circuit—if one device in the
series creates an open circuit, all devices are inoperative.

R

eq

#

R

1

%

R

2

%

R

3

% ( ( (

SECTION 28.2 •  Resistors in Series and Parallel

863

The equivalent resistance of

several resistors in series

▲

PITFALL PREVENTION

28.2 Lightbulbs Don’t

Burn

We  will  describe  the  end  of  the
life  of  a  lightbulb  by  saying  that
the  filament fails,  rather  than  by
saying  that  the  lightbulb  “burns
out.”  The  word  burn suggests  a
combustion process, which is not
what occurs in a lightbulb.

Quick Quiz 28.2

In Figure 28.4, imagine positive charges pass first through

R

1

and  then  through  R

2

.  Compared  to  the  current  in  R

1

,  the  current  in  R

2

is

(a) smaller, (b) larger, or (c) the same.

Quick Quiz 28.3

If a piece of wire is used to connect points b and c in Figure

28.4b, does the brightness of bulb R

1

(a) increase, (b) decrease, or (c) remain the same?

Quick Quiz 28.4

With the switch in the circuit of Figure 28.5 closed (left),

there  is  no  current  in  R

2

,  because  the  current  has  an  alternate  zero-resistance  path

through the switch. There is current in R

1

and this current is measured with the amme-

ter  (a  device  for  measuring  current)  at  the  right  side  of  the  circuit.  If  the  switch  is
opened (Fig. 28.5, right), there is current in R

2

. What happens to the reading on the

ammeter  when  the  switch  is  opened?  (a)  the  reading  goes  up;  (b)  the  reading  goes
down; (c) the reading does not change.

A

R

1

Switch closed

R

2

A

R

1

Switch open

R

2

Figure 28.5 (Quick Quiz 28.4) What happens when the switch is opened?

(c)

I

∆V

+

–

b

(b)

I

1

R

1

R

2

∆V

+

–

a

I

I

2

+

–

(a)

R

1

R

2

Battery

∆V

1

 = 

∆V

2 

= 

∆V

R

eq  

    R

1

    R

2

1

1

1

=        +

Active Figure 28.6 (a) A parallel connection of two lightbulbs with resistances R

1

and

R

2

. (b) Circuit diagram for the two-resistor circuit. The potential difference across R

1

is

the same as that across R

2

. (c) The resistors replaced with a single resistor having an

equivalent resistance given by Equation 28.7.

Now  consider  two  resistors  connected  in  parallel, as  shown  in  Figure  28.6.  When

charges reach point a in Figure 28.6b, called a junction, they split into two parts, with some
going  through  R

1

and  the  rest  going  through  R

2

.  A 

junction is  any  point  in  a  circuit

where a current can split (just as your group might split up and leave the sports arena
through several doors, as described earlier.) This split results in less current in each indi-
vidual resistor than the current leaving the battery. Because electric charge is conserved,
the current I that enters point a must equal the total current leaving that point:

I # I

1

%

I

2

where I

1

is the current in R

1

and I

2

is the current in R

2

.

As can be seen from Figure 28.6, both resistors are connected directly across the

terminals of the battery. Therefore,

when resistors are connected in parallel, the potential differences across the resis-
tors is the same.

864

CHAPTE R 28 •  Direct Current Circuits

▲

PITFALL PREVENTION

28.3 Local and Global

Changes

A local change in one part of a

circuit  may  result  in  a  global

change  throughout  the  circuit.
For example, if a single resistance
is changed in a circuit containing
several  resistors  and  batteries,  the
currents in all resistors and batter-
ies, the terminal voltages of all bat-
teries,  and  the  voltages  across  all
resistors may change as a result.

▲

PITFALL PREVENTION

28.4 Current Does Not

Take the Path of
Least Resistance

You may have heard a phrase like
“current  takes  the  path  of  least
resistance”  in  reference  to  a  par-
allel  combination  of  current
paths, such that there are two or
more  paths  for  the  current  to
take.  The  phrase  is  incorrect.
The  current  takes  all paths.
Those paths with lower resistance
will have large currents, but even
very  high-resistance  paths  will
carry some of the current.

Because  the  potential  differences  across  the  resistors  are  the  same,  the  expression
"

V # IR gives

where  R

eq

is  an  equivalent  single  resistance  which  will  have  the  same  effect  on  the

circuit  as  the  two  resistors  in  parallel;  that  is,  it  will  draw  the  same  current  from  the
battery (Fig. 28.6c). From this result, we see that the equivalent resistance of two resis-
tors in parallel is given by

(28.7)

or

R

eq

#

1

1

R

1

%

1

R

2

#

R

1

R

2

R

1

%

R

2

1

R

eq

#

1

R

1

%

1

R

2

I # I

   

1

%

I

  

2

#

"

V

R

1

%

"

V

R

2

# "

V  

!

1

R

1

%

1

R

2

"

#

"

V

R

eq

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the battery voltage

and resistances R

1

and R

2

to

see the effect on the currents

and voltages in the individual

resistors.