Physics For Scientists And Engineers 6E - part 203

SECTION 26.4 •  Energy Stored in a Charged Capacitor

809

the  problem,  note  that  the  charges  on  the  left-hand  plates
before the switches are closed are

The negative sign for Q

2i

is necessary because the charge on

the left plate of capacitor C

2

is negative. The total charge Q

in the system is

After  the  switches  are  closed,  the  total  charge  Q in  the
system remains the same but the charges on the individual
capacitors  change  to  new  values  Q

1f

and  Q

2f

.  Because  the

system is isolated,

The  charges  redistribute  until  the  potential  difference  is  the
same across both capacitors, !V

f

. To satisfy this requirement,

the charges on the capacitors after the switches are closed are

Dividing the first equation by the second, we have

Combining Equations (2) and (3), we obtain

Using Equations (3) and (4) to find Q

1f

in terms of Q, we have

Finally, using Equation 26.1 to find the voltage across each
capacitor, we find that

As noted earlier, !V

1f

# !

V

2f

# !

V

f

.

To  express  !V

f

in  terms  of  the  given  quantities  C

1

,  C

2

,

and !V

i

, we substitute the value of Q from Equation (1) into

either Equation (6) or (7) to obtain

 

$

C

1

$

C

 

2

C

1

&

C

 

2

%

 

∆V

i

∆V

f

#

(7)

     

∆V

2f

#

Q

  

2f

C

 

2

#

Q [C

 

2

/(C

1

&

C

 

2

)]

C

 

2

#

Q

C

1

&

C

 

2

(6)

     

∆V

1f

#

Q

 

1f

C

1

#

Q [C

1

/(C

1

&

C

 

2

)]

C

1

#

Q

C

1

&

C

 

2

 

 # Q

  

 

$

C

 

1

C

1

&

C

 

2

%

(5)

     

Q

 

1f

 

#

C

1

C

 

2

 Q

  

2f

#

C

1

C

 

2

 Q 

  

$

C

 

2

C

1

&

C

 

2

%

(4)

     

Q

  

2f

#

Q

 

 

$

C

 

2

C

1

&

C

 

2

%

Q # Q

 

1f

&

Q

  

2f

#

C

1

 

C

2

 Q

  

2f

&

Q

  

2f

#

Q

  

2f  

$

1 &

C

 

1

C

 

2

%

(3)

     

Q

 

1f

#

C

1

C

 

2

 

Q

  

2f

Q

 

1f

#

C

1

 

∆V

f

   

and

   

Q

  

2f

#

C

 

2 

∆V

f

(2)

     

Q # Q

 

1f

&

Q

  

2f

(1)

     

Q # Q

 

1i

&

Q

  

2i

#

(C

1

$

C

 

2

)

∆V

i

Q

 

1i

#

C

1

 

∆V

i

   

and

   

Q

 

2i

# $

C

 

2

  

∆V

i

(B)

Find the total energy stored in the capacitors before and

after the switches are closed and the ratio of the final energy
to the initial energy.

Solution Before  the  switches  are  closed,  the  total  energy
stored in the capacitors is

After the switches are closed, the total energy stored in the
capacitors is

Using the results of part (A), we can express this as

Therefore, the ratio of the final energy stored to the initial
energy stored is

To finalize this problem, note that this ratio is less than unity,
indicating that the final energy is less than the initial energy.
At first, you might think that the law of energy conservation
has been violated, but this is not the case. The “missing’’ en-
ergy is transferred out of the system of the capacitors by the
mechanism  of  electromagnetic  waves,  as  we  shall  see  in
Chapter 34.

What If?

What if the two capacitors have the same capaci-

tance? What would we expect to happen when the switches
are closed?

Answer The  equal-magnitude  charges  on  the  two  capaci-
tors should simply cancel each other and the capacitors will
be uncharged afterward.

Let us test our results to see if this is the case mathemati-

cally. In Equation (1), because the charges are of equal mag-
nitude  and  opposite  sign,  we  see  that  Q # 0.  Thus,
Equations  (4)  and  (5)  show  us  that  Q

1f

#

Q

2f

#

0,  consis-

tent  with  our  prediction.  Furthermore,  Equations  (6)  and
(7)  show  us  that  !V

1f

# !

V

2f

#

0,  which  is  consistent

with uncharged  capacitors.  Finally,  if  C

1

#

C

2

,  Equation

(8) shows  us  that  U

f

#

0,  which  is  also  consistent  with

uncharged capacitors.

$

C

 

1

$

C

 

2

C

 

1

&

C

 

2

%

2

#

(8)

     

U

f

U

i

#

1

2

 

(C

 

1

$

C

 

2

)

2

(

∆V

i

)

2

/(C

1

&

C

 

2

)

1

2

(C

1

&

C

2

)(

∆V

i

)

2

 

1

2

 

(C

 

1

$

C

 

2

)

2

(

∆V

i

)

2

(C

 

1

&

C

 

2

)

U

f

#

U

f

#

1

2

C

 

1

(

∆V

f

 

)

2

&

1

2

C

 

2

(

∆V

f

 

)

2

#

1

2

(C

 

1

&

C

 

2

)(!V

f

 

)

2

 

1

2

(C

1

&

C

 

2

)(

∆V

i

)

2

U

i

#

 

1

2

C

 

1

(

∆V

i

)

2

&

1

2

C

 

2

(

∆V

i

)

2

#

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, explore this situation for various initial values of the volt-
age and the capacitances.

One device in which capacitors have an important role is the defibrillator (Fig. 26.14).

Up to 360 J is stored in the electric field of a large capacitor in a defibrillator when it is
fully charged. The defibrillator can deliver all this energy to a patient in about 2 ms. (This
is roughly equivalent to 3 000 times the power delivered to a 60-W lightbulb!) Under the
proper conditions, the defibrillator can be used to stop cardiac fibrillation (random con-
tractions)  in  heart  attack  victims.  When  fibrillation  occurs,  the  heart  produces  a  rapid,
irregular  pattern  of  beats.  A  fast  discharge  of  energy  through  the  heart  can  return  the
organ  to  its  normal  beat  pattern.  Emergency  medical  teams  use  portable  defibrillators
that  contain  batteries  capable  of  charging  a  capacitor  to  a  high  voltage.  (The  circuitry
actually permits the capacitor to be charged to a much higher voltage than that of the
battery.) The stored energy is released through the heart by conducting electrodes, called
paddles, that are placed on both sides of the victim’s chest. The paramedics must wait be-
tween applications of the energy due to the time necessary for the capacitors to become
fully charged. In this case and others (e.g., camera flash units and lasers used for fusion
experiments), capacitors serve as energy reservoirs which can be slowly charged and then
discharged quickly to provide large amounts of energy in a short pulse.

A  camera’s  flash  unit  also  uses  a  capacitor,  although  the  total  amount  of  energy

stored is much less than that stored in a defibrillator. After the flash unit’s capacitor is
charged, tripping the camera’s shutter causes the stored energy to be sent through a
special lightbulb that briefly illuminates the subject being photographed.

26.5 Capacitors with Dielectrics

A 

dielectric is a nonconducting material, such as rubber, glass, or waxed paper. When

a dielectric is inserted between the plates of a capacitor, the capacitance increases. If
the dielectric completely fills the space between the plates, the capacitance increases
by  a  dimensionless  factor  1,  which  is  called  the 

dielectric constant of  the  material.

The dielectric constant varies from one material to another. In this section, we analyze
this  change  in  capacitance  in  terms  of  electrical  parameters  such  as  electric  charge,
electric field, and potential difference; in Section 26.7, we shall discuss the microscopic
origin of these changes.

810

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

Figure 26.14 In a hospital or at an emergency scene, you might see a patient being

revived with a defibrillator. The defibrillator’s paddles are applied to the patient’s chest,

and an electric shock is sent through the chest cavity. The aim of this technique is to

restore the heart’s normal rhythm pattern.

Adam Hart-Davis/SPL/Custom Medical Stock

SECTION 26.5 •  Capacitors with Dielectrics

811

4

If  the  dielectric  is  introduced  while  the  potential  difference  is  held  constant  by  a  battery,  the

charge  increases  to  a  value  Q # 1Q

0

.  The  additional  charge  comes  from  the  wires  attached  to  the

capacitor, and the capacitance again increases by the factor 1.

We can perform the following experiment to illustrate the effect of a dielectric in

a capacitor. Consider a parallel-plate capacitor that without a dielectric has a charge
Q

0

and  a  capacitance  C

0

.  The  potential  difference  across  the  capacitor  is  !V

0

#

Q

0

/C

0

. Figure 26.15a illustrates this situation. The potential difference is measured by

a voltmeter, which we shall study in greater detail in Chapter 28. Note that no battery is
shown in the figure; also, we must assume that no charge can flow through an ideal
voltmeter. Hence, there is no path by which charge can flow and alter the charge on
the capacitor. If a dielectric is now inserted between the plates, as in Figure 26.15b,
the  voltmeter  indicates  that  the  voltage  between  the  plates  decreases  to  a  value  !V.
The voltages with and without the dielectric are related by the factor 1 as follows:

Because !V / !V

0

, we see that 1 , 1.

Because  the  charge  Q

0

on  the  capacitor  does  not  change,  we  conclude  that  the

capacitance must change to the value

(26.14)

That is, the capacitance increases by the factor 1 when the dielectric completely fills the
region between the plates.

4

For a parallel-plate capacitor, where C

0

#

)

0

A/d (Eq. 26.3),

we can express the capacitance when the capacitor is filled with a dielectric as

(26.15)

From  Equations  26.3  and  26.15,  it  would  appear  that  we  could  make  the  capaci-

tance  very  large  by  decreasing  d,  the  distance  between  the  plates.  In  practice,  the
lowest  value  of  d is  limited  by  the  electric  discharge  that  could  occur  through  the
dielectric medium separating the plates. For any given separation d, the maximum volt-
age  that  can  be  applied  to  a  capacitor  without  causing  a  discharge  depends  on  the

C # 1 

)

0

A

d

C # 1C

 

0

C #

Q

 

0

∆V

  #

Q

 

0

∆V

0

/1

#

1

 

Q

 

0

∆V

0

∆V #

∆V

0

1

C

0

Q

0

+

–

C

Q

0

Dielectric

∆V

∆V

0

+

–

(a)

(b)

Figure 26.15 A charged capacitor (a) before and (b) after insertion of a dielectric 

between the plates. The charge on the plates remains unchanged, but the potential

difference decreases from !V

0

to !V # !V

0

/

1

. Thus, the capacitance increases from

C

0

to 

1

C

0

.

Capacitance of a capacitor filled

with a material of dielectric

constant 

#

▲

PITFALL PREVENTION 

26.5 Is the Capacitor

Connected to a
Battery?

In  problems  in  which  you  are
modifying  a  capacitor  (by  inser-
tion of a dielectric, for example),
you  must  note  whether  modi-
fications  to  the  capacitor  are
being made while the capacitor is
connected to a battery or after it is
disconnected.  If  the  capacitor
remains connected to the battery,
the  voltage  across  the  capacitor
necessarily  remains  the  same.  If
you disconnect the capacitor from
the  battery  before  making  any
modifications to the capacitor, the
capacitor is an isolated system and
its charge remains the same.

dielectric strength (maximum electric field) of the dielectric. If the magnitude of the
electric field in the dielectric exceeds the dielectric strength, then the insulating prop-
erties break down and the dielectric begins to conduct. Figure 26.16 shows the effect of
exceeding the dielectric strength of air. Sparks appear between the two wires, due to
ionization of atoms and recombination with electrons in the air, similar to the process
that produced corona discharge in Section 25.6.

Physical capacitors have a specification called by a variety of names, including work-

ing voltage, breakdown voltage, and  rated voltage.  This  parameter  represents  the  largest
voltage that can be applied to the capacitor without exceeding the dielectric strength
of  the  dielectric  material  in  the  capacitor.  Consequently,  when  selecting  a  capacitor
for a given application, you must consider the capacitance of the device along with the
expected  voltage  across  the  capacitor  in  the  circuit,  making  sure  that  the  expected
voltage will be smaller than the rated voltage of the capacitor. You can see the rated
voltage on several of the capacitors in the opening photograph for this chapter.

Insulating  materials  have  values  of  1 greater  than  unity  and  dielectric  strengths

greater than that of air, as Table 26.1 indicates. Thus, we see that a dielectric provides
the following advantages:

• Increase in capacitance
• Increase in maximum operating voltage
• Possible mechanical support between the plates, which allows the plates to be close

together without touching, thereby decreasing d and increasing C.

Types of Capacitors

Commercial capacitors are often made from metallic foil interlaced with thin sheets of
either paraffin-impregnated paper or Mylar as the dielectric material. These alternate
layers of metallic foil and dielectric are rolled into a cylinder to form a small package
(Fig.  26.17a).  High-voltage  capacitors  commonly  consist  of  a  number  of  interwoven

812

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

Figure 26.16 Dielectric breakdown

in air. Sparks are produced when

the high voltage between the wires

causes the electric field to exceed

the dielectric strength of air.

©

Loren Winters/V

isuals Unlimited

a

The  dielectric  strength  equals  the  maximum  electric  field  that  can  exist  in  a  dielectric  without
electrical breakdown. Note that these values depend strongly on the presence of impurities and
flaws in the materials.

Dielectric Strength

a

Material

Dielectric Constant 

#

(10

6

V/m)

Air (dry)

1.000 59

3

Bakelite

4.9

24

Fused quartz

3.78

8

Mylar

3.2

7

Neoprene rubber

6.7

12

Nylon

3.4

14

Paper

3.7

16

Paraffin-impregnated 

3.5

11

paper

Polystyrene

2.56

24

Polyvinyl chloride

3.4

40

Porcelain

6

12

Pyrex glass

5.6

14

Silicone oil

2.5

15

Strontium titanate

233

8

Teflon

2.1

60

Vacuum

1.000 00

—

Water

80

—

Approximate Dielectric Constants and Dielectric Strengths of Various Materials 
at Room Temperature

Table 26.1