Physics For Scientists And Engineers 6E - part 202

the left plate of C

2

causes negative charges to accumulate on the right plate of C

1

. As a

result, all the right plates end up with a charge $ Q , and all the left plates end up with
a charge & Q . Thus, 

the charges on capacitors connected in series are the same.

From Figure 26.10a, we see that the voltage !V across the battery terminals is split

between the two capacitors:

(26.9)

where !V

1

and !V

2

are the potential differences across capacitors C

1

and C

2

, respectively.

In general, 

the total potential difference across any number of capacitors connected

in series is the sum of the potential differences across the individual capacitors.

Suppose that the equivalent single capacitor in Figure 26.10c has the same effect

on the circuit as the series combination when it is connected to the battery. After it is
fully charged, the equivalent capacitor must have a charge of $ Q on its right plate and
a charge of & Q on its left plate. Applying the definition of capacitance to the circuit in
Figure 26.10c, we have

Because  we  can  apply  the  expression  Q # C !V to  each  capacitor  shown  in  Figure
26.10b, the potential differences across them are

Substituting these expressions into Equation 26.9, we have

Canceling Q , we arrive at the relationship

When  this  analysis  is  applied  to  three  or  more  capacitors  connected  in  series,  the
relationship for the equivalent capacitance is

(26.10)

This shows that 

the inverse of the equivalent capacitance is the algebraic sum of the

inverses of the individual capacitances and the equivalent capacitance of a series
combination is always less than any individual capacitance in the combination.

1

C

 

eq

#

1

C

 

1

&

1

C

 

2

&

1

C

 

3

& + + +

   

(series combination)

1

C

 

eq

#

1

C

 

1

&

1

C

 

2

   

(series combination)

Q

C

eq

#

Q

C

1

&

Q

C

 

2

∆V

1

#

Q

C

1

   

∆V

2

#

Q

C

 

2

∆V #

Q

C

eq

∆V # ∆V

1

&

∆V

2

SECTION 26.3 •  Combinations of Capacitors

805

Quick  Quiz  26.3

Two  capacitors  are  identical.  They  can  be  connected  in

series  or  in  parallel.  If  you  want  the  smallest equivalent  capacitance  for  the  combina-
tion,  do  you  connect  them  in  (a)  series,  in  (b)  parallel,  or  (c)  do  the  combinations
have the same capacitance?

Quick  Quiz  26.4

Consider  the  two  capacitors  in  Quick  Quiz  26.3  again.

Each capacitor is charged to a voltage of 10 V. If you want the largest combined poten-
tial difference across the combination, do you connect them in (a) series, in (b) paral-
lel, or (c) do the combinations have the same potential difference?

Capacitors in series

806

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

P R O B L E M - S O LV I N G   H I N T S

Capacitors

•

Be careful with units. When you calculate capacitance in farads, make 
sure that distances are expressed in meters. When checking consistency 
of units, remember that the unit for electric fields can be either N/C or 
V/m.

•

When two or more capacitors are connected in parallel, the potential
difference across each is the same. The charge on each capacitor is
proportional to its capacitance; hence, the capacitances can be added
directly to give the equivalent capacitance of the parallel combination. 
The equivalent capacitance is always larger than the individual
capacitances.

•

When two or more capacitors are connected in series, they carry the 
same charge, and the sum of the potential differences equals the total
potential difference applied to the combination. The sum of the
reciprocals of the capacitances equals the reciprocal of the equivalent
capacitance, which is always less than the capacitance of the smallest
individual capacitor.

Example 26.4 Equivalent Capacitance

Find  the  equivalent  capacitance  between  a and  b for  the
combination  of  capacitors  shown  in  Figure  26.11a.  All
capacitances are in microfarads.

Solution Using  Equations  26.8  and  26.10,  we  reduce  the
combination step by step as indicated in the figure. The 1.0-%F
and 3.0-%F capacitors are in parallel and combine according
to  the  expression  C

eq

#

C

1

&

C

2

#

4.0 %F.  The  2.0-%F  and

6.0-%F  capacitors  also  are  in  parallel  and  have  an  equivalent
capacitance  of  8.0 %F.  Thus,  the  upper  branch  in  Figure
26.11b  consists  of  two  4.0-%F  capacitors  in  series,  which
combine as follows:

The  lower  branch  in  Figure  26.11b  consists  of  two  8.0-%F
capacitors  in  series,  which  combine  to  yield  an  equiva-
lent capacitance  of  4.0 %F.  Finally,  the  2.0-%F  and  4.0-%F
capacitors in Figure 26.11c are in parallel and thus have an

equivalent capacitance of  6.0 %F.

C

 

eq

#

2.0

 

%

F 

 

1

C

 

eq

#

1

C

 

1

&

1

C

 

2

#

1

4.0 %F

&

1

4.0 %F

#

1

2.0 %F

Figure 26.11 (Example 26.4) To find the equivalent capacitance of the capacitors in

part (a), we reduce the various combinations in steps as indicated in parts (b), (c), and

(d), using the series and parallel rules described in the text.

4.0

4.0

8.0

8.0

b

a

(b)

4.0

b

a

(c)

2.0

6.0 b

a

(d)

4.0

8.0

b

a

(a)

2.0

6.0

3.0

1.0

Practice reducing a combination of capacitors to a single equivalent capacitance at the Interactive Worked Example link at
http://www.pse6.com.

Interactive

SECTION 26.4 •  Energy Stored in a Charged Capacitor

807

3

We shall use lowercase q for the time-varying charge on the capacitor while it is charging, to distin-

guish it from uppercase Q , which is the total charge on the capacitor after it is completely charged.

26.4 Energy Stored in a Charged Capacitor

Almost everyone who works with electronic equipment has at some time verified that a
capacitor can store energy. If the plates of a charged capacitor are connected by a con-
ductor, such as a wire, charge moves between each plate and its connecting wire until
the capacitor is uncharged. The discharge can often be observed as a visible spark. If
you should accidentally touch the opposite plates of a charged capacitor, your fingers
act as a pathway for discharge, and the result is an electric shock. The degree of shock
you receive depends on the capacitance and on the voltage applied to the capacitor.
Such a shock could be fatal if high voltages are present, such as in the power supply of
a television set. Because the charges can be stored in a capacitor even when the set is
turned off, unplugging the television does not make it safe to open the case and touch
the components inside.

To calculate the energy stored in the capacitor, we shall assume a charging process

that is different from the actual process described in Section 26.1 but which gives the
same final result. We can make this assumption because the energy in the final configu-
ration  does  not  depend  on  the  actual  charge-transfer  process.  We  imagine  that  the
charge  is  transferred  mechanically  through  the  space  between  the  plates.  We  reach
in and grab a small amount of positive charge on the plate connected to the negative
terminal and apply a force that causes this positive charge to move over to the plate
connected to the positive terminal. Thus, we do work on the charge as we transfer it
from one plate to the other. At first, no work is required to transfer a small amount of
charge  dq from  one  plate  to  the  other.

3

However,  once  this  charge  has  been  trans-

ferred, a small potential difference exists between the plates. Therefore, work must be
done to move additional charge through this potential difference. As more and more
charge is transferred from one plate to the other, the potential difference increases in
proportion, and more work is required.

Suppose that q is the charge on the capacitor at some instant during the charging

process. At the same instant, the potential difference across the capacitor is !V # q/C.
From Section 25.2, we know that the work necessary to transfer an increment of charge
dq from the plate carrying charge $ q to the plate carrying charge q (which is at the
higher electric potential) is

This  is  illustrated  in  Figure  26.12.  The  total  work  required  to  charge  the  capacitor
from q # 0 to some final charge q # Q is

The work done in charging the capacitor appears as electric potential energy U stored
in the capacitor. Using Equation 26.1, we can express the potential energy stored in a
charged capacitor in the following forms:

(26.11)

This result applies to any capacitor, regardless of its geometry. We see that for a given
capacitance, the stored energy increases as the charge increases and as the potential
difference increases. In practice, there is a limit to the maximum energy (or charge)
that  can  be  stored  because,  at  a  sufficiently  great  value  of  !V,  discharge  ultimately
occurs  between  the  plates.  For  this  reason,  capacitors  are  usually  labeled  with  a
maximum operating voltage.

U #

Q

 

2

2C

#

1

2

Q

 

 

∆V #

1

2

C

 

(

∆V

  

)

2

W #

"

Q

0

  

q

C

 dq #

1

C

 

"

Q

0

 q dq #

Q

 

2

2C

dW #

∆V dq #

q

C

 dq

V

dq

q

∆

Q

Figure 26.12 A plot of potential

difference versus charge for a

capacitor is a straight line having a

slope 1/C. The work required to

move charge dq through the

potential difference !V existing

at the time across the capacitor

plates is given approximately by

the area of the shaded rectangle.

The total work required to charge

the capacitor to a final charge Q

is the triangular area under the

straight line, 

. (Don’t

forget that 1 V # J/C; hence, the

unit for the triangular area is the

joule.)

W #

1

2

Q

 

!

V

Energy stored in a charged

capacitor

808

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

We  can  consider  the  energy  stored  in  a  capacitor  as  being  stored  in  the  electric

field created between the plates as the capacitor is charged. This description is reason-
able  because  the  electric  field  is  proportional  to  the  charge  on  the  capacitor.  For  a
parallel-plate capacitor, the potential difference is related to the electric field through
the relationship !V # Ed. Furthermore, its capacitance is C # )

0

A/d (Eq. 26.3). Substi-

tuting these expressions into Equation 26.11, we obtain

(26.12)

Because  the  volume  occupied  by  the  electric  field  is  Ad,  the  energy per unit volume
u

E

#

U/Ad, known as the energy density, is

(26.13)

Although  Equation  26.13  was  derived  for  a  parallel-plate  capacitor,  the  expression
is generally  valid,  regardless  of  the  source  of  the  electric  field.  That  is, 

the  energy

density  in  any  electric  field  is  proportional  to  the  square  of  the  magnitude  of
the electric field at a given point.

u

E

#

1

2

 

)

 

0

 

E

2

U #

1

2

 

)

 

0

A

d

 (E

2

d

2

) #

1

2

()

0

Ad

 

)E

2

Quick  Quiz  26.5

You have three capacitors and a battery. In which of the

following  combinations  of  the  three  capacitors  will  the  maximum  possible  energy  be
stored when the combination is attached to the battery? (a) series (b) parallel (c) Both
combinations will store the same amount of energy.

Quick Quiz 26.6

You charge a parallel-plate capacitor, remove it from the

battery, and prevent the wires connected to the plates from touching each other. When
you  pull  the  plates  apart  to  a  larger  separation,  do  the  following  quantities  increase,
decrease, or stay the same? (a) C ; (b) Q ; (c) E between the plates; (d) !V ; (e) energy
stored in the capacitor.

Quick  Quiz  26.7

Repeat  Quick  Quiz  26.6,  but  this  time  answer  the  ques-

tions for the situation in which the battery remains connected to the capacitor while
you pull the plates apart.

Example 26.5 Rewiring Two Charged Capacitors

Two  capacitors  C

1

and  C

2

(where  C

1

,

C

2

)  are  charged

to the same initial potential difference !V

i

. The charged

capacitors are removed from the battery, and their plates
are  connected  with  opposite  polarity  as  in  Figure  26.13a.
The  switches  S

1

and  S

2

are  then  closed,  as  in  Figure

26.13b.

(A)

Find the final potential difference !V

f

between a and b

after the switches are closed.

Solution Figure  26.13  helps  us  conceptualize  the  initial
and  final  configurations  of  the  system.  In  Figure  26.13b,  it
might appear as if the capacitors are connected in parallel,
but there is no battery in this circuit that is applying a volt-
age across the combination. Thus, we cannot categorize this
as a problem in which capacitors are connected in parallel.
We  can categorize  this  as  a  problem  involving  an  isolated
system for electric charge—the left-hand plates of the capac-

Figure 26.13 (Example 26.5) (a) Two capacitors are charged to

the same initial potential difference and connected together with

plates of opposite sign to be in contact when the switches are

closed. (b) When the switches are closed, the charges redistribute.

+

–

Q

1i

+

b

a

(a)

–

C

1

Q

2i

– +

C

2

S

1

S

2

+

b

a

(b)

–

S

1

S

2

Q

1f

C

1

Q

2f

C

2

Interactive

▲

PITFALL PREVENTION 

26.4 Not a New Kind of

Energy

The  energy  given  by  Equation
26.13 is not a new kind of energy.
It  is  familiar  electric  potential
energy associated with a system of
separated  source  charges.  Equa-
tion 26.13 provides a new interpre-
tation,  or  a  new  way  of  modeling
the  energy,  as  energy  associated
with  the  electric  field,  regardless
of the source of the field.

itors  form  an  isolated  system  because  they  are  not  con-
nected  to  the  right-hand  plates  by  conductors.  To  analyze

Energy density in an electric

field