Physics For Scientists And Engineers 6E - part 201

SECTION 26.2 •  Calculating Capacitance

801

Example 26.2 The Cylindrical Capacitor

A  solid  cylindrical  conductor  of  radius  a and  charge  Q is
coaxial with a cylindrical shell of negligible thickness, radius
b , a, and charge $ Q (Fig. 26.6a). Find the capacitance of
this cylindrical capacitor if its length is !.

Solution It  is  difficult  to  apply  physical  arguments  to  this
configuration, although we can reasonably expect the capac-
itance  to  be  proportional  to  the  cylinder  length  ! for  the
same  reason  that  parallel-plate  capacitance  is  proportional
to plate area: stored charges have more room in which to be
distributed. If we assume that ! is much greater than a and
b, we can neglect end effects. In this case, the electric field
is perpendicular  to  the  long  axis  of  the  cylinders  and  is
confined to the region between them (Fig. 26.6b). We must
first calculate the potential difference between the two cylin-
ders, which is given in general by

where 

E is  the  electric  field  in  the  region  between  the

cylinders. In Chapter 24, we showed using Gauss’s law that
the  magnitude  of  the  electric  field  of  a  cylindrical  charge
distribution  having  linear  charge  density  - is  E # 2k

e

-

/r

(Eq.  24.7).  The  same  result  applies  here  because,  accord-
ing  to  Gauss’s  law,  the  charge  on  the  outer  cylinder  does

V

b

$

V

a

# $

"

b

a

 

E+d

 

s

Figure 26.6 (Example 26.2) (a) A cylindrical capacitor consists

of a solid cylindrical conductor of radius a and length !

surrounded by a coaxial cylindrical shell of radius b. (b) End

view. The electric field lines are radial. The dashed line

represents the end of the cylindrical gaussian surface of radius

r and length !.

b

a

!

(a)

(b)

Gaussian

surface

–Q

a

Q

b

r

not contribute to the electric field inside it. Using this re-
sult and noting from Figure 26.6b that 

E is along r, we find

that

Substituting this result into Equation 26.1 and using the fact
that - # Q /!, we obtain

(26.4)

where  !V is  the  magnitude  of  the  potential  difference
between  the  cylinders,  given  by !V #

#V

a

$

V

b

# #

2k

e

-

ln(b/a),  a  positive  quantity.  As  predicted,  the  capaci-

tance is proportional to the length of the cylinders. As we
might expect, the capacitance also depends on the radii of
the  two  cylindrical  conductors.  From  Equation  26.4,  we
see that the capacitance per unit length of a combination
of concentric cylindrical conductors is

(26.5)

An example of this type of geometric arrangement is a coax-
ial cable, which consists of two concentric cylindrical conduc-
tors  separated  by  an  insulator.  You  are  likely  to  have  a
coaxial  cable  attached  to  your  television  set  or  VCR  if  you
are a subscriber to cable television. The cable carries electri-
cal signals in the inner and outer conductors. Such a geom-
etry  is  especially  useful  for  shielding  the  signals  from  any
possible external influences.

What  If?

Suppose  b " 2.00a for  the  cylindrical  capacitor.

We would like to increase the capacitance, and we can do
so  by  choosing  to  increase  ! by  10%  or  by  increasing  a
by 10%.  Which  choice  is  more  effective  at  increasing  the
capacitance?

Answer According to Equation 26.4, C is proportional to !,
so  increasing  ! by  10%  results  in  a  10%  increase  in  C.  For
the  result  of  the  change  in  a,  let  us  first  evaluate  C for
b # 2.00a:

#

0.721 

 

!

k

e

C #

!

2k

e

 

 

ln(b/a)

#

!

2k

e

 

 

ln(2.00)

#

!

2k

e

 

(0.693)

C

!

#

1

2k

e

 

 

ln(b/a)

!

2k

e

 ln(b/a)

C #

Q

!

V

#

Q

(2k

e

 

Q

  

/!)ln(b/a)

#

V

b

$

V

a

# $

"

b

a

 E

r

 dr # $2k

e

 

-

 

"

b

a

  

dr

r

# $

2k

e

 

-

 ln 

 

$

b

a

%

Cylindrical and Spherical Capacitors

From the definition of capacitance, we can, in principle, find the capacitance of any
geometric arrangement of conductors. The following examples demonstrate the use of
this  definition  to  calculate  the  capacitance  of  the  other  familiar  geometries  that  we
mentioned: cylinders and spheres.

802

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

Now, for a 10% increase in a, the new value is a. # 1.10a, so

The ratio of the new and old capacitances is

C

 

.

C

#

0.836

 

 !/k

e

0.721 !/k

e

#

1.16

#

!

2k

e

  

ln(2.00/1.10)

#

!

2k

e

 

(0.598)

#

0.836 

 

!

k

e

C . #

!

2k

e

  

ln(b/a.)

#

!

2k

e

  

ln(2.00a/1.10a)

corresponding to a 16% increase in capacitance. Thus, it is
more effective to increase a than to increase !.

Note  two  more  extensions  of  this  problem.  First,  the

advantage goes to increasing a only for a range of relation-
ships between a and b. It is a valuable exercise to show that if
b , 2.85a,  increasing  ! by  10%  is  more  effective  than
increasing  a (Problem  77).  Second,  if  we  increase  b,  we
reduce the  capacitance,  so  we  would  need  to  decrease  b to
increase the capacitance. Increasing a and decreasing b both
have the effect of bringing the plates closer together, which
increases the capacitance.

Example 26.3 The Spherical Capacitor

A spherical capacitor consists of a spherical conducting shell
of  radius  b and  charge  $ Q concentric  with  a  smaller  con-
ducting  sphere  of  radius  a and  charge  Q (Fig.  26.7).  Find
the capacitance of this device.

Solution As  we  showed  in  Chapter  24,  the  field  outside  a
spherically symmetric charge distribution is radial and given
by the expression k

e

Q /r

2

. In this case, this result applies to

the  field  between  the  spheres  (a / r / b).  From  Gauss’s  law
we  see  that  only  the  inner  sphere  contributes  to  this  field.
Thus, the potential difference between the spheres is

The magnitude of the potential difference is

Substituting this value for !V into Equation 26.1, we obtain

(26.6)

What  If?

What  if  the  radius  b of  the  outer  sphere

approaches infinity? What does the capacitance become?

Answer In Equation 26.6, we let b : 0:

Note that this is the same expression as Equation 26.2, the
capacitance of an isolated spherical conductor.

C # lim

b : 0

 

ab

k

e

(b $ a)

#

ab

k

e

(b)

#

a

k

e

 

#

4()

0

a

 

ab

k

e

(b $ a)

C #

Q

∆V

#

∆V # & V

b

$

V

a

& # k

e

Q  

(b $ a)

ab

  # k

e

 

Q

  

$

1

b

$

1
a

%

V

b

$

V

a

# $

"

b

a

 

E

 

r 

dr # $k

e

 

Q 

"

b

a

 

dr
r

 

2

#

k

e

 

Q 

'

1

r

(

b

a

Figure 26.7 (Example 26.3) A spherical capacitor consists of an

inner sphere of radius a surrounded by a concentric spherical

shell of radius b. The electric field between the spheres is

directed radially outward when the inner sphere is positively

charged.

a

b

– Q

+Q

26.3 Combinations of Capacitors

Two or more capacitors often are combined in electric circuits. We can calculate the
equivalent  capacitance  of  certain  combinations  using  methods  described  in  this
section. Throughout this section, we assume that the capacitors to be combined are
initially uncharged.

In  studying  electric  circuits,  we  use  a  simplified  pictorial  representation  called

a

circuit diagram. Such  a  diagram  uses  circuit symbols to  represent  various

circuit elements. The circuit symbols are connected by straight lines that represent
the  wires  between  the  circuit  elements.  The  circuit  symbols  for  capacitors  and
batteries,  as  well  as  the  color  codes  used  for  them  in  this  text,  are  given  in  Figure
26.8.  The  symbol  for  the  capacitor  reflects  the  geometry  of  the  most  common
model for a capacitor—a pair of parallel plates. The positive terminal of the battery
is at the higher potential and is represented in the circuit symbol by the longer line.

Capacitor

symbol

Battery

symbol

+

–

Switch

symbol

Figure 26.8 Circuit symbols for

capacitors, batteries, and switches.

Note that capacitors are in blue and

batteries and switches are in red.

Parallel Combination

Two capacitors connected as shown in Figure 26.9a are known as a parallel combination
of capacitors. Figure 26.9b shows a circuit diagram for this combination of capacitors.
The  left  plates  of  the  capacitors  are  connected  by  a  conducting  wire  to  the  positive
terminal  of  the  battery  and  are  therefore  both  at  the  same  electric  potential  as  the
positive terminal. Likewise, the right plates are connected to the negative terminal and
are therefore both at the same potential as the negative terminal. Thus, 

the individual

potential differences across capacitors connected in parallel are the same and
are equal to the potential difference applied across the combination.

In a circuit such as that shown in Figure 26.9, the voltage applied across the combi-

nation is the terminal voltage of the battery. Situations can occur in which the parallel
combination is in a circuit with other circuit elements; in such situations, we must deter-
mine the potential difference across the combination by analyzing the entire circuit.

When the capacitors are first connected in the circuit shown in Figure 26.9, elec-

trons  are  transferred  between  the  wires  and  the  plates;  this  transfer  leaves  the  left
plates  positively  charged  and  the  right  plates  negatively  charged.  The  flow  of  charge
ceases when the voltage across the capacitors is equal to that across the battery termi-
nals. The capacitors reach their maximum charge when the flow of charge ceases. Let
us  call  the  maximum  charges  on  the  two  capacitors  Q

1

and  Q

2

.  The  total charge Q

stored by the two capacitors is

(26.7)

That  is, 

the total charge on capacitors connected in parallel is the sum of the

charges on the individual capacitors. Because the voltages across the capacitors are
the same, the charges that they carry are

Suppose  that  we  wish  to  replace  these  two  capacitors  by  one  equivalent capacitor

having a capacitance C

eq

, as in Figure 26.9c. The effect this equivalent capacitor has

on the  circuit  must  be  exactly  the  same  as  the  effect  of  the  combination  of  the  two

Q

 

1

#

C

 

1

 

 

∆V

   

Q

  

2

#

C

 

2

 

 

∆V

Q # Q

 

1

&

Q

  

2

SECTION 26.3 •  Combinations of Capacitors

803

(a)

+

–

C

2

+

–

C

1

+

–

(b)

∆V

+

–

Q

2

C

2

Q

1

C

1

∆V

1

 = 

∆V

2

 = 

∆V

∆V

+

–

C

eq

 = C

1

 + C

2

(c)

∆V

Active Figure 26.9 (a) A parallel combination of two capacitors in an electric circuit

in which the potential difference across the battery terminals is !V. (b) The circuit dia-

gram for the parallel combination. (c) The equivalent capacitance is C

eq

#

C

1

&

C

2

.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the battery voltage

and the individual capacitances

to see the resulting charges

and voltages on the capacitors.

You can combine up to four

capacitors in parallel.

individual  capacitors.  That  is,  the  equivalent  capacitor  must  store  Q units  of  charge
when connected to the battery. We can see from Figure 26.9c that the voltage across
the  equivalent  capacitor  also  is  !V because  the  equivalent  capacitor  is  connected
directly across the battery terminals. Thus, for the equivalent capacitor,

Substituting these three relationships for charge into Equation 26.7, we have

If we extend this treatment to three or more capacitors connected in parallel, we find
the equivalent capacitance to be

(26.8)

Thus, 

the equivalent capacitance of a parallel combination of capacitors is the

algebraic sum of the individual capacitances and is greater than any of the indi-
vidual capacitances. This makes sense because we are essentially combining the areas
of  all  the  capacitor  plates  when  we  connect  them  with  conducting  wire,  and  capaci-
tance of parallel plates is proportional to area (Eq. 26.3).

Series Combination

Two  capacitors  connected  as  shown  in  Figure  26.10a  and  the  equivalent  circuit
diagram in Figure 26.10b are known as a series combination of capacitors. The left plate
of capacitor 1 and the right plate of capacitor 2 are connected to the terminals of a
battery. The other two plates are connected to each other and to nothing else; hence,
they  form  an  isolated  conductor  that  is  initially  uncharged  and  must  continue  to
have zero  net  charge.  To  analyze  this  combination,  let  us  begin  by  considering  the
uncharged capacitors and follow what happens just after a battery is connected to the
circuit. When the battery is connected, electrons are transferred out of the left plate of
C

1

and  into  the  right  plate  of  C

2

.  As  this  negative  charge  accumulates  on  the  right

plate of C

2

, an equivalent amount of negative charge is forced off the left plate of C

2

,

and this left plate therefore has an excess positive charge. The negative charge leaving

C

eq

#

C

 

1

&

C

 

2

&

C

 

3

& + + +

   

(parallel combination)

C

eq

#

C

1

&

C

 

2

   

(parallel combination)

C

 

eq

 

∆V # C

 

1

 

∆V &C

 

2

 !V

Q # C

 

eq

 

∆V

804

C H A P T E R   2 6 •  Capacitance and Dielectrics

(b)

∆V

Q

1

 = Q

2

 = Q

C

1

C

2

∆V

1

∆V

2

–

+

+

–

(c)

∆V

C

eq

    C

1

    C

2

1

1

1

=       +

(a)

+

–

C

2

∆

V

C

1

∆

V

1

∆

V

2

+Q – Q

+Q – Q

Active Figure 26.10 (a) A series combination of two capacitors. The charges on 

the two capacitors are the same. (b) The circuit diagram for the series combination.

(c) The equivalent capacitance can be calculated from the relationship 

1

C

eq

#

1

C

 

1

&

1

C

 

2

.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the battery voltage

and the individual capacitances

to see the resulting charges

and voltages on the capacitors.

You can combine up to four

capacitors in series.

Capacitors in parallel