Physics For Scientists And Engineers 6E - part 199

Problems

793

From  Gauss’s  law,  the  electric  field  set  up  by  a  uni-

form line of charge is

where  is a unit vector pointing radially away from the line
and 1 is the linear charge density along the line. Derive an
expression for the potential difference between r # r

1

and

r # r

2

.

64.

Four balls, each with mass m, are connected by four non-
conducting strings to form a square with side a, as shown
in  Figure  P25.64.  The  assembly  is  placed  on  a  horizontal
nonconducting  frictionless  surface.  Balls  1  and  2  each
have charge q, and balls 3 and 4 are uncharged. Find the
maximum speed of balls 1 and 2 after the string connect-
ing them is cut.

rˆ

E #

'

1

2/6

0

r

(

 

 

rˆ

63.

1

2

3

4

Figure P25.64

C

B

A

r

1

r

2

Figure P25.66

R

Q

v

x

Uniformly

charged ring

Q

Figure P25.67

b

a

L

x

P

y

Figure P25.68

a

–q

a

+q

r

1

r

2

r

θ

x

y

P

E

r

E

θ

θ

Figure P25.69

65.

A point charge q is located at x # ! R, and a point charge
!

2q is located at the origin. Prove that the equipotential

surface  that  has  zero  potential  is  a  sphere  centered  at
(! 4R/3, 0, 0) and having a radius r # 2R/3.

66.

Consider two thin, conducting, spherical shells as shown in
Figure  P25.66.  The  inner  shell  has  a  radius  r

1

#

15.0 cm

and  a  charge  of  10.0 nC.  The  outer  shell  has  a  radius
r

2

#

30.0 cm  and  a  charge  of  ! 15.0 nC.  Find  (a)  the

electric field E and (b) the electric potential V in regions
A, B, and C, with V # 0 at r # *.

A point charge Q of mass M is located initially at the center
of the ring. When it is displaced slightly, the point charge
accelerates  along  the  x axis  to  infinity.  Show  that  the
ultimate speed of the point charge is

v #

'

2k

e

 

Q

2

MR

(

1/2

An  electric  dipole  is  located  along  the  y axis  as  shown
in Figure  P25.69.  The  magnitude  of  its  electric  dipole
moment is defined as p # 2qa. (a) At a point P, which is far
from the dipole (r .. a), show that the electric potential is

V #

k

e

  

p cos (

r

 

2

69.

67.

The  x axis  is  the  symmetry  axis  of  a  stationary  uniformly
charged  ring  of  radius  R and  charge  Q (Fig.  P25.67).

68.

The  thin,  uniformly  charged  rod  shown  in  Figure  P25.68
has  a  linear  charge  density  1.  Find  an  expression  for  the
electric potential at P.

794

C H A P T E R   2 5 •  Electric Potential

(b) Calculate the radial component E

r

and the perpendic-

ular  component  E

(

of  the  associated  electric  field.  Note

that  E

(

# !

(1/r)(,V/,().  Do  these  results  seem  reason-

able  for  ( # 90° and  0°?  for  r # 0?  (c)  For  the  dipole
arrangement shown, express V in terms of Cartesian coor-
dinates using r # (x

2

)

y

2

)

1/2

and

Using these results and again taking r .. a, calculate the
field components E

x

and E

y

.

70.

When  an  uncharged  conducting  sphere  of  radius  a is
placed at the origin of an xyz coordinate system that lies in
an  initially  uniform  electric  field 

E # E

0

kˆ,  the  resulting

electric  potential  is  V(x,  y,  z) # V

0

for  points  inside  the

sphere and

for  points  outside  the  sphere,  where  V

0

is  the  (constant)

electric  potential  on  the  conductor.  Use  this  equation  to
determine  the  x,  y,  and  z components  of  the  resulting
electric field.

71.

A disk of radius R (Fig. P25.71) has a nonuniform surface
charge density 0 # Cr, where C is a constant and r is mea-
sured from the center of the disk. Find (by direct integra-
tion) the potential at P.

V(x,

 

y,

 

z) # V

0

!

E

  

0

 

z )

E

 

0

a

 

3

z

(x

2

)

y

2

)

z

2

)

3/2

cos ( #

y

(x

2

)

y

2

)

1/2

Answers to Quick Quizzes
25.1 (b).  When  moving  straight  from  A to  B, 

E and  ds both

point  toward  the  right.  Thus,  the  dot  product 

E"ds in

Equation 25.3 is positive and $V is negative.

25.2 (a).  From  Equation  25.3,  $U # q

0

$

V,  so  if  a  negative

test charge is moved through a negative potential differ-
ence,  the  potential  energy  is  positive.  Work  must  be
done  to  move  the  charge  in  the  direction  opposite  to
the electric force on it.

25.3 B : C,  C : D,  A : B,  D : E.  Moving  from  B to  C

decreases the electric potential by 2 V, so the electric field
performs 2 J of work on each coulomb of positive charge
that  moves.  Moving  from  C to  D decreases  the  electric
potential by 1 V, so 1 J of work is done by the field. It takes
no  work  to  move  the  charge  from  A to  B because  the
electric  potential  does  not  change.  Moving  from  D to  E
increases  the  electric  potential  by  1 V,  and  thus  the field
does ! 1 J of work per unit of positive charge that moves.

25.4 (f ). The electric field points in the direction of decreas-

ing electric potential.

25.5 (b)  and  (f).  The  electric  potential  is  inversely  propor-

tion  to  the  radius  (see  Eq.  25.11).  Because  the  same
number of field lines passes through a closed surface of
any shape or size, the electric flux through the surface
remains constant.

25.6 (c).  The  potential  is  established  only  by  the  source

charge and is independent of the test charge.

25.7 (a).  The  potential  energy  of  the  two-charge  system  is

initially  negative,  due  to  the  products  of  charges  of
opposite sign in Equation 25.13. When the sign of q

2

is

changed,  both  charges  are  negative,  and  the  potential
energy of the system is positive.

25.8 (a). If  the  potential  is  constant  (zero  in  this  case),  its

derivative along this direction is zero.

25.9 (b). If the electric field is zero, there is no change in the

electric potential and it must be constant. This constant
value could be zero but does not have to be zero.

25.10 The graph would look like the sketch below. Notice the

flat  plateaus  at  each  conductor,  representing  the
constant electric potential inside a conductor.

R

P

x

Figure P25.71

Right edge

of sphere 1

Left edge

of sphere 2

Right edge

of sphere 2

a

b – c

b + c

x

V

72.

A solid sphere of radius R has a uniform charge density 7
and  total  charge  Q. Derive  an  expression  for  its  total
electric  potential  energy.  (Suggestion: imagine  that  the
sphere is constructed by adding successive layers of concen-
tric  shells  of  charge  dq # (4/r

2

dr)7 and  use  dU # V dq.)

73.

Charge  is  uniformly  distributed  with  a  density  of

100.0 +C/m

3

throughout the volume of a cube 10.00 cm

on  each  edge.  (a)  Find  the  electric  potential  at  a
distance of 5.000 cm from the center of one face of the
cube,  measured  along  a  perpendicular  to  the  face.
Determine the potential to four significant digits. Use a
numerical method that divides the cube into a sufficient
number  of  smaller  cubes,  treated  as  point  charges.
Symmetry  considerations  will  reduce  the  number  of
actual  calculations.  (b)  What  If? If  the  charge  on  the
cube  is  redistributed  into  a  uniform  sphere  of  charge
with  the  same  center,  by  how  much  does  the  potential
change?

795

795

795

Capacitance and Dielectrics

C H A P T E R   O U T L I N E

26.1 Definition of Capacitance

26.2 Calculating Capacitance

26.3 Combinations of Capacitors

26.4 Energy Stored in a Charged

Capacitor

26.5 Capacitors with Dielectrics

26.6 Electric Dipole in an Electric

Field

26.7 An Atomic Description of

Dielectrics

▲

All of these devices are capacitors, which store electric charge and energy. A capacitor is

one type of circuit element that we can combine with others to make electric circuits.
(Paul Silverman/Fundamental Photographs)

Chapter 26

796

I

n  this  chapter,  we  will  introduce  the  first  of  three  simple  circuit  elements that  can  be

connected with wires to form an electric circuit. Electric circuits are the basis for the
vast majority of the devices that we use in current society. We shall discuss capacitors—
devices that store electric charge. This discussion will be followed by the study of resis-
tors in  Chapter  27  and  inductors in  Chapter  32.  In  later  chapters,  we  will  study  more
sophisticated circuit elements such as diodes and transistors.

Capacitors are commonly used in a variety of electric circuits. For instance, they are

used to tune the frequency of radio receivers, as filters in power supplies, to eliminate
sparking  in  automobile  ignition  systems,  and  as  energy-storing  devices  in  electronic
flash units.

A capacitor consists of two conductors separated by an insulator. The capacitance

of a given capacitor depends on its geometry and on the material—called a dielectric—
that separates the conductors.

26.1 Definition of Capacitance

Consider two conductors carrying charges of equal magnitude and opposite sign, as
shown  in  Figure  26.1.  Such  a  combination  of  two  conductors  is  called  a 

capacitor.

The  conductors  are  called  plates. A  potential  difference  !V exists  between  the  con-
ductors due to the presence of the charges.

What  determines  how  much  charge  is  on  the  plates  of  a  capacitor  for  a  given

voltage? Experiments show that the quantity of charge Q on a capacitor

1

is linearly

proportional  to  the  potential  difference  between  the  conductors;  that  is,  Q " !V.
The  proportionality  constant  depends  on  the  shape  and  separation  of  the  con-
ductors.

2

We  can  write  this  relationship  as  Q # C !V if  we  define  capacitance  as

follows:

1

Although the total charge on the capacitor is zero (because there is as much excess positive charge

on one conductor as there is excess negative charge on the other), it is common practice to refer to the
magnitude of the charge on either conductor as “the charge on the capacitor.’’

2

The proportionality between !V and Q can be proved from Coulomb’s law or by experiment.

The 

capacitance C of a capacitor is defined as the ratio of the magnitude of the

charge on either conductor to the magnitude of the potential difference between
the conductors:

(26.1)

C 

 

! 

Q

!

V

–Q

+Q

Figure 26.1 A capacitor consists of

two conductors. When the capaci-

tor is charged, the conductors carry

charges of equal magnitude and

opposite sign.

▲

PITFALL PREVENTION 

26.1 Capacitance Is a

Capacity

To understand capacitance, think
of similar notions that use a simi-
lar  word.  The  capacity of  a  milk
carton is the volume of milk that
it  can  store.  The  heat capacity of
an object is the amount of energy
an  object  can  store  per  unit
of temperature  difference.  The
capacitance of  a  capacitor  is  the
amount  of  charge  the  capacitor
can  store  per  unit  of  potential
difference.

Definition of capacitance