Physics For Scientists And Engineers 6E - part 197

Summary

785

When a positive test charge q

0

is moved between points A and B in an electric field 

E,

the 

change in the potential energy of the charge–field system is

(25.1)

The 

electric potential V # U/q

0

is a scalar quantity and has the units of J/C, where

1 J/C

" 1 V.

The 

potential  difference $V between  points  A and  B in  an  electric  field  E is

defined as

(25.3)

The potential difference between two points A and B in a uniform electric field

E, where s is a vector that points from A to B and is parallel to E is

(25.6)

where 

.

An 

equipotential surface is one on which all points are at the same electric poten-

tial. Equipotential surfaces are perpendicular to electric field lines.

If  we  define  V # 0  at  r

A

# *

,  the  electric  potential  due  to  a  point  charge  at  any

distance r from the charge is

(25.11)

We  can  obtain  the  electric  potential  associated  with  a  group  of  point  charges  by
summing the potentials due to the individual charges.

The 

potential  energy  associated  with  a  pair  of  point  charges separated  by  a

distance r

12

is

(25.13)

This  energy  represents  the  work  done  by  an  external  agent  when  the  charges  are
brought  from  an  infinite  separation  to  the  separation  r

12

.  We  obtain  the  potential

energy of a distribution of point charges by summing terms like Equation 25.13 over
all pairs of particles.

If we know the electric potential as a function of coordinates x, y, z, we can obtain

the  components  of  the  electric  field  by  taking  the  negative  derivative  of  the  electric
potential with respect to the coordinates. For example, the x component of the electric
field is

(25.16)

The 

electric potential due to a continuous charge distribution is

(25.20)

Every point on the surface of a charged conductor in electrostatic equilibrium is at

the same electric potential. The potential is constant everywhere inside the conductor
and equal to its value at the surface.

V # k

e

 

 

!

  

dq

r

E

x

# !

dV

dx

U # k

e

  

 

q

 

1

q

 

2

r

 

12

V # k

e

  

 

q
r

d #

# s #

$

V # !Ed

$

V  

"  

$

U

q

0

# !

!

B

A

  

E"d

 

s

$

U # !q

0

 

!

B

A

 

 

E"d

 

s

S U M M A R Y

Take a practice test for

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http://www.pse6.com.

786

C H A P T E R   2 5 •  Electric Potential

Charge Distribution

Electric Potential

Location

Uniformly charged

Along

ring of radius a

perpendicular

central axis of

ring, distance x

from ring center

Uniformly charged

Along

disk of radius a

perpendicular

central axis of

disk, distance x

from disk center

Uniformly charged,

insulating solid

r 3 R

sphere of radius R

and total charge Q

r & R

Isolated conducting

r . R

sphere of radius R

and total charge Q

r 4 R

Electric Potential Due to Various Charge Distributions

Table 25.1

V # k

e

  

 

Q
R

V # k

e

  

 

Q

r

V #

k

e

 

Q

2R

  

 

'

3 !

r

 

2

R

2

(

V # k

e

  

 

Q

r

V # 2

/

k

e

 

0

 

[(x

2

)

a

2

)

1/2

!

x]

V # k

e

 

 

Q

√

x

2

)

a

2

+

+

Table 25.1 lists electric potentials due to several charge distributions.

1. Distinguish  between  electric  potential  and  electric  poten-

tial energy.

2. A  negative  charge  moves  in  the  direction  of  a  uniform

electric field. Does the potential energy of the charge–field
system  increase  or  decrease?  Does  the  charge  move  to  a
position of higher or lower potential?
Give  a  physical  explanation  of  the  fact  that  the  potential
energy  of  a  pair  of  charges  with  the  same  sign  is  positive
whereas the potential energy of a pair of charges with op-
posite signs is negative.

4. A  uniform  electric  field  is  parallel  to  the  x axis.  In  what

direction  can  a  charge  be  displaced  in  this  field  without
any external work being done on the charge?

5. Explain why equipotential surfaces are always perpendicu-

lar to electric field lines.

6. Describe the equipotential surfaces for (a) an infinite line

of charge and (b) a uniformly charged sphere.

7. Explain  why,  under  static  conditions,  all  points  in  a  con-

ductor must be at the same electric potential.

8. The  electric  field  inside  a  hollow,  uniformly  charged

sphere  is  zero.  Does  this  imply  that  the  potential  is  zero
inside the sphere? Explain.

9. The potential of a point charge is defined to be zero at an

infinite  distance.  Why  can  we  not  define  the  potential  of
an infinite line of charge to be zero at r # *?

10. Two charged conducting spheres of different radii are con-

nected  by  a  conducting  wire  as  shown  in  Figure  25.25.
Which sphere has the greater charge density?

3.

11. What  determines  the  maximum  potential  to  which  the

dome of a Van de Graaff generator can be raised?

12. Explain the origin of the glow sometimes observed around

the cables of a high-voltage power line.

13. Why is it important to avoid sharp edges or points on con-

ductors used in high-voltage equipment?

14. How  would  you  shield  an  electronic  circuit  or  laboratory

from stray electric fields? Why does this work?

15. Two  concentric  spherical  conducting  shells  of  radii

a # 0.400 m and b # 0.500 m are connected by a thin wire
as shown in Figure Q25.15. If a total charge Q # 10.0 +C is
placed  on  the  system,  how  much  charge  settles  on  each
sphere?

Q U E S T I O N S

a

b

q

1

q

2

Wire

Figure Q25.15

16. Study Figure 23.4 and the accompanying text discussion of

charging  by  induction.  You  may  also  compare  to  Figure

Problems

787

25.24.  When  the  grounding  wire  is  touched  to  the  right-
most  point  on  the  sphere  in  Figure  23.4c,  electrons  are
drained  away  from  the  sphere  to  leave  the  sphere  posi-
tively charged. Suppose instead that the grounding wire is

touched to the leftmost point on the sphere. Will electrons
still  drain  away,  moving  closer  to  the negatively  charged
rod as they do so? What kind of charge, if any, will remain
on the sphere?

Section 25.1 Potential Difference and Electric Potential

1. How much work is done (by a battery, generator, or some

other source of potential difference) in moving Avogadro’s
number of electrons from an initial point where the elec-
tric  potential  is  9.00 V  to  a  point  where  the  potential  is
!

5.00 V? (The potential in each case is measured relative

to a common reference point.)

2. An ion accelerated through a potential difference of 115 V

experiences an increase in kinetic energy of 7.37 % 10

!

17

J.

Calculate the charge on the ion.
(a)  Calculate  the  speed  of  a  proton  that  is  accelerated
from rest through a potential difference of 120 V. (b) Cal-
culate the speed of an electron that is accelerated through
the same potential difference.

4. What  potential  difference  is  needed  to  stop  an  electron

having an initial speed of 4.20 % 10

5

m/s?

Section 25.2 Potential Differences in a Uniform 

Electric Field

5. A uniform electric field of magnitude 250 V/m is directed

in the positive x direction. A )12.0-+C charge moves from
the  origin  to  the  point  (x,  y) # (20.0 cm,  50.0 cm).
(a) What  is  the  change  in  the  potential  energy  of  the
charge–field  system?  (b)  Through  what  potential  differ-
ence does the charge move?

6. The difference in potential between the accelerating plates

in the electron gun of a TV picture tube is about 25 000 V. If
the distance between these plates is 1.50 cm, what is the mag-
nitude of the uniform electric field in this region?

An electron moving parallel to the x axis has an initial

speed of 3.70 % 10

6

m/s at the origin. Its speed is reduced

to 1.40 % 10

5

m/s at the point x # 2.00 cm. Calculate the

potential  difference  between  the  origin  and  that  point.
Which point is at the higher potential?

8.

Suppose  an  electron  is  released  from  rest  in  a  uniform
electric  field  whose  magnitude  is  5.90 % 10

3

V/m.

(a) Through  what  potential  difference  will  it  have  passed
after  moving  1.00 cm?  (b)  How  fast  will  the  electron  be
moving after it has traveled 1.00 cm?

9.

A uniform electric field of magnitude 325 V/m is directed
in  the  negative  y direction  in  Figure  P25.9.  The  coordi-
nates  of  point  A are  (! 0.200,  ! 0.300)  m,  and  those  of

7.

3.

point B are (0.400, 0.500) m. Calculate the potential differ-
ence V

B

!

V

A

, using the blue path.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem             

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

x

y

B

A

E

Figure P25.9

k

m, Q

E

x = 0

Figure P25.11

10.

Starting  with  the  definition  of  work,  prove  that  at  every
point on an equipotential surface the surface must be per-
pendicular to the electric field there.

11.

Review problem. A block having mass m and charge ) Q
is connected to a spring having constant k. The block lies
on  a  frictionless  horizontal  track,  and  the  system  is
immersed  in  a  uniform  electric  field  of  magnitude  E,
directed  as  shown  in  Figure  P25.11.  If  the  block  is
released  from  rest  when  the  spring  is  unstretched  (at
x # 0),  (a) by  what  maximum  amount  does  the  spring
expand?  (b)  What  is  the  equilibrium  position  of  the
block?  (c) Show  that  the  block’s  motion  is  simple
harmonic, and determine its period. (d) What If? Repeat
part  (a)  if  the  coefficient  of  kinetic  friction  between
block and surface is +

k

.

788

C H A P T E R   2 5 •  Electric Potential

12.

On  planet  Tehar,  the  free-fall  acceleration  is  the  same  as
that on Earth but there is also a strong downward electric
field that is uniform close to the planet’s surface. A 2.00-kg
ball  having  a  charge  of  5.00 +C  is  thrown  upward  at  a
speed of 20.1 m/s, and it hits the ground after an interval
of  4.10 s.  What  is  the  potential  difference  between  the
starting point and the top point of the trajectory?

13.

An  insulating  rod  having  linear  charge  density  1 #
40.0 +C/m  and  linear  mass  density  + # 0.100 kg/m  is
released from rest in a uniform electric field E # 100 V/m
directed perpendicular to the rod (Fig. P25.13). (a) Deter-
mine  the  speed  of  the  rod  after  it  has  traveled  2.00 m.
(b) What If? How does your answer to part (a) change if
the electric field is not perpendicular to the rod? Explain.

Section 25.3 Electric Potential and Potential Energy

Due to Point Charges

15. (a)  Find  the  potential  at  a  distance  of  1.00 cm  from  a

proton.  (b)  What  is  the  potential  difference  between  two
points  that  are  1.00 cm  and  2.00 cm  from  a  proton?
(c) What If? Repeat parts (a) and (b) for an electron.

16.

Given two 2.00-+C charges, as shown in Figure P25.16, and
a  positive  test  charge  q # 1.28 % 10

!

18

C  at  the  origin,

(a) what  is  the  net  force  exerted  by  the  two  2.00-+C
charges on the test charge q? (b) What is the electric field
at the origin due to the two 2.00-+C charges? (c) What is
the electric potential at the origin due to the two 2.00-+C
charges?

Note: Unless stated otherwise, assume the reference level
of potential is V # 0 at r # *.

λ  µ

E

E

,

Figure P25.13

14.

A  particle  having  charge  q # ) 2.00 +C  and  mass
m # 0.010 0 kg is connected to a string that is L # 1.50 m
long and is tied to the pivot point P in Figure P25.14. The
particle, string and pivot point all lie on a frictionless hori-
zontal  table.  The  particle  is  released  from  rest  when  the
string  makes  an  angle  ( # 60.0° with  a  uniform  electric
field of magnitude E # 300 V/m. Determine the speed of
the particle when the string is parallel to the electric field
(point a in Fig. P25.14).

θ

Top View

E

P

a

m

q

L

Figure P25.14

2.00

y

q

0

x = 0.800 m

x = –0.800 m

x

C

C

µ

2.00

µ

Figure P25.16

2.00 cm

4.00 cm

q

–q

–q

Figure P25.19

At a certain distance from a point charge, the magnitude
of  the  electric  field  is  500 V/m  and  the  electric  potential
is ! 3.00 kV.  (a)  What  is  the  distance  to  the  charge?
(b) What is the magnitude of the charge?

18.

A charge ) q is at the origin. A charge ! 2q is at x # 2.00 m
on the x axis. For what finite value(s) of x is (a) the electric
field zero? (b) the electric potential zero?
The  three  charges  in  Figure  P25.19  are  at  the  vertices  of
an isosceles triangle. Calculate the electric potential at the
midpoint of the base, taking q # 7.00 +C.

19.

17.