Physics For Scientists And Engineers 6E - part 198

Problems

789

20. Two  point  charges,  Q

1

# )

5.00 nC  and  Q

2

# !

3.00 nC,

are separated by 35.0 cm. (a) What is the potential energy
of the pair? What is the significance of the algebraic sign
of your answer? (b) What is the electric potential at a point
midway between the charges?

21.

Compare this problem with Problem 57 in Chapter 23. Four iden-
tical  point  charges  (q # ) 10.0 +C)  are  located  on  the
corners  of  a  rectangle  as  shown  in  Figure  P23.57.  The
dimensions  of  the  rectangle  are  L # 60.0 cm  and
W # 15.0 cm. Calculate the change in electric potential en-
ergy of the system as the charge at the lower left corner in
Figure P23.57 is brought to this position from infinitely far
away. Assume that the other three charges in Figure P23.57
remain fixed in position.

22.

Compare  this  problem  with  Problem  20  in  Chapter  23. Two
point  charges  each  of  magnitude  2.00 +C  are  located
on the  x axis.  One  is  at  x # 1.00 m,  and  the  other  is  at
x # ! 1.00 m.  (a)  Determine  the  electric  potential  on
the  y axis  at  y # 0.500 m.  (b)  Calculate  the  change  in
electric potential energy of the system as a third charge
of ! 3.00 +C is brought from infinitely far away to a posi-
tion on the y axis at y # 0.500 m.

Show  that  the  amount  of  work  required  to  assemble

four identical point charges of magnitude Q at the corners
of a square of side s is 5.41k

e

Q

2

/s.

24.

Compare this problem with Problem 23 in Chapter 23. Five equal
negative  point  charges  ! q are  placed  symmetrically
around a circle of radius R. Calculate the electric potential
at the center of the circle.

25.

Compare  this  problem  with  Problem  41  in  Chapter  23.  Three
equal positive charges q are at the corners of an equilateral
triangle  of  side  a as  shown  in  Figure  P23.41.  (a)  At  what
point,  if  any,  in  the  plane  of  the  charges  is  the  electric
potential  zero?  (b)  What  is  the  electric  potential  at  the
point P due to the two charges at the base of the triangle?

26.

Review  problem.  Two  insulating  spheres  have  radii
0.300 cm and 0.500 cm, masses 0.100 kg and 0.700 kg, and
uniformly  distributed  charges  of  ! 2.00 +C  and  3.00 +C.
They  are  released  from  rest  when  their  centers  are  sepa-
rated  by  1.00 m.  (a)  How  fast  will  each  be  moving  when
they  collide?  (Suggestion: consider  conservation  of  energy
and  of  linear  momentum.)  (b)  What  If?  If  the  spheres
were conductors, would the speeds be greater or less than
those calculated in part (a)? Explain.

27.

Review problem. Two insulating spheres have radii r

1

and

r

2

,  masses  m

1

and  m

2

,  and  uniformly  distributed  charges

!

q

1

and q

2

. They are released from rest when their centers

are separated by a distance d. (a) How fast is each moving
when they collide? (Suggestion: consider conservation of en-
ergy and conservation of linear momentum.) (b) What If?
If  the  spheres  were  conductors,  would  their  speeds  be
greater or less than those calculated in part (a)? Explain.

28.

Two particles, with charges of 20.0 nC and ! 20.0 nC, are
placed  at  the  points  with  coordinates  (0,  4.00 cm)  and
(0, ! 4.00 cm), as shown in Figure P25.28. A particle with
charge  10.0 nC  is  located  at  the  origin.  (a)  Find  the
electric  potential  energy  of  the  configuration  of  the

23.

three fixed  charges.  (b)  A  fourth  particle,  with  a  mass  of
2.00 % 10

!

13

kg and a charge of 40.0 nC, is released from

rest  at  the  point  (3.00 cm,  0).  Find  its  speed  after  it  has
moved freely to a very large distance away.

20.0 nC

10.0 nC

–20.0 nC

40.0 nC

4.00 cm

3.00 cm

4.00 cm

Figure P25.28

a

a

x

y

Q >O

Q

Figure P25.30

31. A  small  spherical  object  carries  a  charge  of  8.00 nC.  At

what distance from the center of the object is the potential
equal  to  100 V?  50.0 V?  25.0 V?  Is  the  spacing  of  the
equipotentials proportional to the change in potential?

29.

Review  problem.  A  light  unstressed  spring  has  length  d.
Two identical particles, each with charge q, are connected
to the opposite ends of the spring. The particles are held
stationary a distance d apart and then released at the same
time. The system then oscillates on a horizontal frictionless
table.  The  spring  has  a  bit  of  internal  kinetic  friction,  so
the  oscillation  is  damped.  The  particles  eventually  stop
vibrating when the distance between them is 3d. Find the
increase  in  internal  energy  that  appears  in  the  spring
during  the  oscillations.  Assume  that  the  system  of  the
spring and two charges is isolated.

30.

Two  point  charges  of  equal  magnitude  are  located  along
the  y axis  equal  distances  above  and  below  the  x axis,  as
shown in Figure P25.30. (a) Plot a graph of the potential
at points along the x axis over the interval ! 3a & x & 3a.
You  should  plot  the  potential  in  units  of  k

e

Q /a.  (b)  Let

the charge located at !a be negative and plot the poten-
tial along the y axis over the interval ! 4a & y & 4a.

790

C H A P T E R   2 5 •  Electric Potential

32.

In  1911  Ernest  Rutherford  and  his  assistants  Geiger  and
Marsden conducted an experiment in which they scattered
alpha particles from thin sheets of gold. An alpha particle,
having charge ) 2e and mass 6.64 % 10

!

27

kg, is a product

of  certain  radioactive  decays.  The  results  of  the  experi-
ment led Rutherford to the idea that most of the mass of
an atom is in a very small nucleus, with electrons in orbit
around  it—his  planetary  model  of  the  atom.  Assume  an
alpha particle, initially very far from a gold nucleus, is fired
with  a  velocity  of  2.00 % 10

7

m/s  directly  toward  the

nucleus (charge ) 79e). How close does the alpha particle
get  to  the  nucleus  before  turning  around?  Assume  the
gold nucleus remains stationary.

33.

An electron starts from rest 3.00 cm from the center of a
uniformly charged insulating sphere of radius 2.00 cm and
total  charge  1.00 nC.  What  is  the  speed  of  the  electron
when it reaches the surface of the sphere?

34.

Calculate  the  energy  required  to  assemble  the  array  of
charges  shown  in  Figure  P25.34,  where  a # 0.200 m,
b # 0.400 m, and q # 6.00 +C.

It is shown in Example 25.7 that the potential at a point P
a distance a above one end of a uniformly charged rod of
length ! lying along the x axis is

Use this result to derive an expression for the y component
of the electric field at P. (Suggestion: Replace a with y.)

Section 25.5 Electric Potential Due to Continuous

Charge Distributions

42. Consider a ring of radius R with the total charge Q spread

uniformly  over  its  perimeter.  What  is  the  potential  differ-
ence  between  the  point  at  the  center  of  the  ring  and  a
point on its axis a distance 2R from the center?
A rod of length L (Fig. P25.43) lies along the x axis with its
left end at the origin. It has a nonuniform charge density
1 # 5

x,  where  5 is  a  positive  constant.  (a)  What  are  the

units of 5? (b) Calculate the electric potential at A.

43.

V #

k

e

 

Q

!

  

 ln 

 

'

! )

√

!

2

)

a

 

2

a

(

41.

q

–2q

2q

3q

b

a

Figure P25.34

35.

Four  identical  particles  each  have  charge  q and  mass  m.
They  are  released  from  rest  at  the  vertices  of  a  square  of
side L. How fast is each charge moving when their distance
from the center of the square doubles?

36.

How  much  work  is  required  to  assemble  eight  identical
point  charges,  each  of  magnitude  q,  at  the  corners  of  a
cube of side s?

Section 25.4 Obtaining the Value of the Electric Field

from the Electric Potential

37.

The potential in a region between x # 0 and x # 6.00 m is
V # a ) bx, where a # 10.0 V and b # ! 7.00 V/m. Deter-
mine  (a)  the  potential  at  x # 0,  3.00 m,  and  6.00 m,  and
(b)  the  magnitude  and  direction  of  the  electric  field  at
x # 0, 3.00 m, and 6.00 m.

38.

The  electric  potential  inside  a  charged  spherical  conduc-
tor  of  radius  R is  given  by  V # k

e

Q /R,  and  the  potential

outside is given by V # k

e

Q /r. Using E

r

# !

dV/dr, derive

the  electric  field  (a)  inside  and  (b)  outside  this  charge
distribution.

Over a certain region of space, the electric potential is

V # 5x ! 3x

2

y ) 2yz

2

.  Find  the  expressions  for  the  x,  y,

and  z components  of  the  electric  field  over  this  region.
What is the magnitude of the field at the point P that has
coordinates (1, 0, ! 2) m?

39.

×

B

×

0

2

4

6

8

A

Figure P25.40

b

B

y

x

L

d

A

Figure P25.43 Problems 43 and 44.

44.

For  the  arrangement  described  in  the  previous  problem,
calculate the electric potential at point B, which lies on the
perpendicular bisector of the rod a distance b above the x
axis.

40.

Figure  P25.40  shows  several  equipotential  lines  each
labeled by its potential in volts. The distance between the
lines of the square grid represents 1.00 cm. (a) Is the mag-
nitude of the field larger at A or at B? Why? (b) What is E
at B? (c) Represent what the field looks like by drawing at
least eight field lines.

Problems

791

45. Compare  this  problem  with  Problem  33  in  Chapter  23.  A

uniformly charged insulating rod of length 14.0 cm is bent
into the shape of a semicircle as shown in Figure P23.33.
The rod has a total charge of ! 7.50 +C. Find the electric
potential at O, the center of the semicircle.

46.

Calculate  the  electric  potential  at  point  P on  the  axis  of
the annulus shown in Figure P25.46, which has a uniform
charge density 0.

charge  is  continuously  deposited  by  a  moving  belt.
Charge  can  be  added  until  the  electric  field  at  the
surface  of  the  dome  becomes  equal  to  the  dielectric
strength  of  air.  Any  more charge  leaks  off  in  sparks,  as
shown in Figure P25.51. Assume the dome has a diameter
of  30.0 cm  and  is  surrounded  by  dry  air  with  dielectric
strength  3.00 % 10

6

V/m.  (a)  What  is  the  maximum

potential of the dome? (b) What is the maximum charge
on the dome?

2R

2R

O

R

Figure P25.47

Figure P25.51 Problems 51 and 52.

E. R. Degginer/H. Armstrong Roberts

47.

A  wire  having  a  uniform  linear  charge  density  1 is  bent
into  the  shape  shown  in  Figure  P25.47.  Find  the  electric
potential at point O.

a

b

x

P

Figure P25.46

Section 25.6 Electric Potential Due to a 

Charged Conductor

48. How  many  electrons  should  be  removed  from  an  initially

uncharged  spherical  conductor  of  radius  0.300 m  to
produce a potential of 7.50 kV at the surface?

A  spherical  conductor  has  a  radius  of  14.0 cm  and

charge  of  26.0 +C.  Calculate  the  electric  field  and  the
electric  potential  (a)  r # 10.0 cm,  (b)  r # 20.0 cm,  and
(c) r # 14.0 cm from the center.

50.

Electric  charge  can  accumulate  on  an  airplane  in  flight.
You may have observed needle-shaped metal extensions on
the  wing  tips  and  tail  of  an  airplane.  Their  purpose  is  to
allow  charge  to  leak  off  before  much  of  it  accumulates.
The  electric  field  around  the  needle  is  much  larger  than
the field around the body of the airplane, and can become
large  enough  to  produce  dielectric  breakdown  of  the  air,
discharging  the  airplane.  To  model  this  process,  assume
that two charged spherical conductors are connected by a
long  conducting  wire,  and  a  charge  of  1.20 +C  is  placed
on the combination. One sphere, representing the body of
the airplane, has a radius of 6.00 cm, and the other, repre-
senting  the  tip  of  the  needle,  has  a  radius  of  2.00 cm.
(a) What is the electric potential of each sphere? (b) What
is the electric field at the surface of each sphere?

Section 25.8 Applications of Electrostatics

Lightning can be studied with a Van de Graaff generator,
essentially  consisting  of  a  spherical  dome  on  which

51.

49.

52. The spherical dome of a Van de Graaff generator can be

raised to a maximum potential of 600 kV; then additional
charge  leaks  off  in  sparks,  by  producing  dielectric
breakdown of the surrounding dry air, as shown in Figure
P25.51.  Determine  (a)  the  charge  on  the  dome  and
(b) the radius of the dome.

Additional Problems

The liquid-drop model of the atomic nucleus suggests that
high-energy  oscillations  of  certain  nuclei  can  split  the
nucleus  into  two  unequal  fragments  plus  a  few  neutrons.
The fission products acquire kinetic energy from their mu-
tual  Coulomb  repulsion.  Calculate  the  electric  potential
energy (in electron volts) of two spherical fragments from
a uranium nucleus having the following charges and radii:
38e and 5.50 % 10

!

15

m; 54e and 6.20 % 10

!

15

m. Assume

that  the  charge  is  distributed  uniformly  throughout  the
volume  of  each  spherical  fragment  and  that  just  before
separating  they  are  at  rest  with  their  surfaces  in  contact.
The electrons surrounding the nucleus can be ignored.

54.

On  a  dry  winter  day  you  scuff  your  leather-soled  shoes
across a carpet and get a shock when you extend the tip of
one finger toward a metal doorknob. In a dark room you
see a spark perhaps 5 mm long. Make order-of-magnitude
estimates of (a) your electric potential and (b) the charge
on  your  body  before  you  touch  the  doorknob.  Explain
your reasoning.
The  Bohr  model  of  the  hydrogen  atom  states  that  the
single  electron  can  exist  only  in  certain  allowed  orbits

55.

53.

792

C H A P T E R   2 5 •  Electric Potential

around  the  proton.  The  radius  of  each  Bohr  orbit  is  r #
n

2

(0.052 9 nm) where n # 1, 2, 3, . . . . Calculate the elec-

tric potential energy of a hydrogen atom when the electron
(a) is in the first allowed orbit, with n # 1, (b) is in the sec-
ond  allowed  orbit,  n # 2,  and  (c)  has  escaped  from  the
atom, with r # *. Express your answers in electron volts.

56.

An electron is released from rest on the axis of a uniform
positively charged ring, 0.100 m from the ring’s center. If
the linear charge density of the ring is ) 0.100 +C/m and
the radius of the ring is 0.200 m, how fast will the electron
be moving when it reaches the center of the ring?

57.

As  shown  in  Figure  P25.57,  two  large  parallel  vertical  con-
ducting  plates  separated  by  distance  d are  charged  so  that
their potentials are ) V

0

and ! V

0

. A small conducting ball of

mass  m and  radius  R (where  R && d)  is  hung  midway
between  the  plates.  The  thread  of  length  L  supporting  the
ball is a conducting wire connected to ground, so the poten-
tial of the ball is fixed at V # 0. The ball hangs straight down
in stable equilibrium when V

0

is sufficiently small. Show that

the equilibrium of the ball is unstable if V

0

exceeds the criti-

cal  value  k

e

d

2

mg/(4RL).  (Suggestion: consider  the  forces  on

the ball when it is displaced a distance x && L.)

60.

Two parallel plates having charges of equal magnitude but
opposite  sign  are  separated  by  12.0 cm.  Each  plate  has  a
surface charge density of 36.0 nC/m

2

. A proton is released

from rest at the positive plate. Determine (a) the potential
difference  between  the  plates,  (b)  the  kinetic  energy  of
the  proton  when  it  reaches  the  negative  plate,  (c)  the
speed of the proton just before it strikes the negative plate,
(d)  the  acceleration  of  the  proton,  and  (e)  the  force  on
the proton. (f) From the force, find the magnitude of the
electric field and show that it is equal to the electric field
found from the charge densities on the plates.

61.

A  Geiger  tube  is  a  radiation  detector  that  essentially
consists of a closed, hollow metal cylinder (the cathode) of
inner radius r

a

and a coaxial cylindrical wire (the anode)

of  radius  r

b

(Fig.  P25.61).  The  charge  per  unit  length  on

the  anode  is  1,  while  the  charge  per  unit  length  on  the
cathode is ! 1. A gas fills the space between the electrodes.
When  a  high-energy  elementary  particle  passes  through
this  space,  it  can  ionize  an  atom  of  the  gas.  The  strong
electric field makes the resulting ion and electron acceler-
ate in opposite directions. They strike other molecules of
the gas to ionize them, producing an avalanche of electri-
cal  discharge.  The  pulse  of  electric  current  between  the
wire  and  the  cylinder  is  counted  by  an  external  circuit.
(a) Show  that  the  magnitude  of  the  potential  difference
between the wire and the cylinder is

(b)  Show  that  the  magnitude  of  the  electric  field  in  the
space between cathode and anode is given by

where r is the distance from the axis of the anode to the
point where the field is to be calculated.

E #

$

V

ln(r

a

/r

b

)

  

 

'

1

r

(

$

V # 2k

e

  

1

 

 ln

 

 

'

r

a

r

b

(

+V

0

–V

0

d

L

Figure P25.57

d

R

h

Figure P25.58

r

b

λ

r

a

–

λ

Cathode

Anode

λ

Figure P25.61 Problems 61 and 62.

58.

Compare this problem with Problem 34 in Chapter 23. (a) A uni-
formly charged cylindrical shell has total charge Q , radius
R, and height h. Determine the electric potential at a point
a distance d from the right end of the cylinder, as shown in
Figure P25.58. (Suggestion: use the result of Example 25.5
by  treating  the  cylinder  as  a  collection  of  ring  charges.)
(b)  What  If?  Use  the  result  of  Example  25.6  to  solve  the
same problem for a solid cylinder.

62.

The  results  of  Problem  61  apply  also  to  an  electro-

static precipitator (Figures 25.30 and P25.61). An applied
voltage  $V # V

a

!

V

b

#

50.0 kV  is  to  produce  an  electric

field of magnitude 5.50 MV/m at the surface of the central
wire. Assume the outer cylindrical wall has uniform radius
r

a

#

0.850 m.  (a)  What  should  be  the  radius  r

b

of  the

central wire? You will need to solve a transcendental equa-
tion. (b) What is the magnitude of the electric field at the
outer wall?

Calculate the work that must be done to charge a spherical
shell of radius R to a total charge Q.

59.