Physics For Scientists And Engineers 6E - part 185

Problems

737

under  the  influence  of  the  forces  exerted  by  the  three
fixed charges. Find a value for s for which Q is in equilib-
rium. You will need to solve a transcendental equation.
Two small spheres of mass m are suspended from strings of
length ! that  are  connected  at  a  common  point.  One
sphere has charge Q ; the other has charge 2Q. The strings
make angles +

1

and +

2

with the vertical. (a) How are +

1

and

+

2

related? (b) Assume +

1

and +

2

are small. Show that the

distance r between the spheres is given by

66.

Review  problem.  Four  identical  particles,  each  having
charge # q, are fixed at the corners of a square of side L. A
fifth point charge " Q lies a distance z along the line per-
pendicular to the plane of the square and passing through
the  center  of  the  square  (Fig.  P23.66).  (a)  Show  that  the
force exerted by the other four charges on " Q is

Note  that  this  force  is  directed  toward  the  center  of  the
square whether z is positive (" Q above the square) or neg-
ative  (" Q below  the  square).  (b)  If  z  is  small  compared
with L, the above expression reduces to F

≈ "(constant)zkˆ.

Why does this imply that the motion of the charge " Q is
simple harmonic, and what is the period of this motion if
the mass of " Q is m?

F ! "

4k

 

e

 

q

 

Qz

[z

2

#

(L

2

/2)]

3/2

  

kˆ

r

"

&

4k

e

 

Q

 

2

!

mg

'

1/3

65.

69.

Eight point charges, each of magnitude q, are located on
the corners of a cube of edge s, as shown in Figure P23.69.
(a) Determine the x, y, and z components of the resultant
force exerted by the other charges on the charge located
at  point  A.  (b)  What  are  the  magnitude  and  direction  of
this resultant force?

R

R

m

R

m

Figure P23.68

Figure P23.69 Problems 69 and 70.

Point

A

x

y

z

q

q

q

q

q

q

q

q

s

s

s

L

L

+q

+q

z

–Q

z

+q

+q

Figure P23.66

67.

Review problem. A 1.00-g cork ball with charge 2.00 *C is
suspended  vertically  on  a  0.500-m-long  light  string  in  the
presence of a uniform, downward-directed electric field of
magnitude  E ! 1.00 & 10

5

N/C.  If  the  ball  is  displaced

slightly from the vertical, it oscillates like a simple pendu-
lum.  (a)  Determine  the  period  of  this  oscillation.
(b) Should gravity be included in the calculation for part
(a)? Explain.

68.

Two  identical  beads  each  have  a  mass  m and  charge  q.
When placed in a hemispherical bowl of radius R with fric-
tionless,  nonconducting  walls,  the  beads  move,  and  at
equilibrium they are a distance R apart (Fig. P23.68). De-
termine the charge on each bead.

70.

Consider the charge distribution shown in Figure P23.69.
(a)  Show  that  the  magnitude  of  the  electric  field  at  the
center  of  any  face  of  the  cube  has  a  value  of  2.18k

e

q/s

2

.

(b) What is the direction of the electric field at the center
of the top face of the cube?
Review  problem. A  negatively  charged  particle  " q is
placed  at  the  center  of  a  uniformly  charged  ring,  where
the ring has a total positive charge Q as shown in Example
23.8.  The  particle,  confined  to  move  along  the  x axis,  is
displaced a small distance x along the axis (where x 55 a)
and  released.  Show  that  the  particle  oscillates  in  simple
harmonic motion with a frequency given by

72.

A  line  of  charge  with  uniform  density  35.0 nC/m  lies
along the line y ! " 15.0 cm, between the points with co-
ordinates x ! 0 and x ! 40.0 cm. Find the electric field it
creates at the origin.

73.

Review  problem.  An  electric  dipole  in  a  uniform  electric
field is displaced slightly from its equilibrium position, as
shown  in  Figure  P23.73,  where  + is  small.  The  separation
of  the  charges  is  2a,  and  the  moment  of  inertia  of  the
dipole  is  I. Assuming  the  dipole  is  released  from  this

f !

1

2(

 

&

k

e

 

q

 

Q

ma

3

'

1/2

71.

738

C H A P T E R   2 3 •  Electric Fields

position, show that its angular orientation exhibits simple
harmonic motion with a frequency

f !

1

2(

 

√

2qa

 

E

I

cannot  determine  from  this  information,  however,
whether the charges are positive or negative.

23.3 (e).  In  the  first  experiment,  objects  A  and  B  may  have

charges with opposite signs, or one of the objects may be
neutral. The second experiment shows that B and C have
charges  with  the  same  signs,  so  that  B  must  be  charged.
But we still do not know if A is charged or neutral.

23.4 (e). From Newton’s third law, the electric force exerted by

object B on object A is equal in magnitude to the force ex-
erted by object A on object B.

23.5 (b). From Newton’s third law, the electric force exerted by

object B on object A is equal in magnitude to the force ex-
erted by object A on object B and in the opposite direction.

23.6 (a).  There  is  no  effect  on  the  electric  field  if  we  assume

that  the  source  charge  producing  the  field  is  not  dis-
turbed by our actions. Remember that the electric field is
created by source charge(s) (unseen in this case), not the
test charge(s).

23.7 A,  B,  C.  The  field  is  greatest  at  point  A because  this  is

where the field lines are closest together. The absence of
lines near point C indicates that the electric field there is
zero.

23.8 (b).  Electric  field  lines  begin  and  end  on  charges  and

cannot close on themselves to form loops.

Figure P23.73

E

θ

q

+

–

–q

2a

Answers to Quick Quizzes

23.1 (b). The amount of charge present in the isolated system

after rubbing is the same as that before because charge is
conserved; it is just distributed differently.

23.2 (a),  (c),  and  (e).  The  experiment  shows  that  A  and  B

have  charges  of  the  same  sign,  as  do  objects  B  and  C.
Thus, all three objects have charges of the same sign. We

739

Gauss’s Law

C H A P T E R   O U T L I N E

24.1 Electric Flux

24.2 Gauss’s Law

24.3 Application of Gauss’s Law to

Various Charge Distributions

24.4 Conductors in Electrostatic

Equilibrium

24.5 Formal Derivation of Gauss’s

Law

▲

In a table-top plasma ball, the colorful lines emanating from the sphere give evidence of

strong electric fields. Using Gauss’s law, we show in this chapter that the electric field
surrounding a charged sphere is identical to that of a point charge. (Getty Images)

Chapter 24

740

I

n the preceding chapter we showed how to calculate the electric field generated by

a given charge distribution. In this chapter, we describe Gauss’s law and an alterna-
tive  procedure  for  calculating  electric  fields.  The  law  is  based  on  the  fact  that  the
fundamental  electrostatic  force  between  point  charges  exhibits  an  inverse-square
behavior. Although a consequence of Coulomb’s law, Gauss’s law is more convenient
for  calculating  the  electric  fields  of  highly  symmetric  charge  distributions  and
makes  possible  useful  qualitative  reasoning  when  dealing  with  complicated
problems.

24.1 Electric Flux

The concept of electric field lines was described qualitatively in Chapter 23. We now
treat electric field lines in a more quantitative way.

Consider  an  electric  field  that  is  uniform  in  both  magnitude  and  direction,  as

shown in Figure 24.1. The field lines penetrate a rectangular surface of area A, whose
plane is oriented perpendicular to the field. Recall from Section 23.6 that the number
of lines per unit area (in other words, the line density) is proportional to the magnitude
of  the  electric  field.  Therefore,  the  total  number  of  lines  penetrating  the  surface  is
proportional to the product EA. This product of the magnitude of the electric field E
and surface area A perpendicular to the field is called the 

electric flux !

E

(uppercase

Greek phi):

(24.1)

From the SI units of E and A, we see that !

E

has units of newton-meters squared per

coulomb (N " m

2

/C.) 

Electric flux is proportional to the number of electric field

lines penetrating some surface.

!

E

#

E

 

A

Example 24.1 Electric Flux Through a Sphere

What  is  the  electric  flux  through  a  sphere  that  has  a
radius  of  1.00 m  and  carries  a  charge  of  $1.00 %C  at  its
center?

Solution The  magnitude  of  the  electric  field  1.00 m
from this charge is found using Equation 23.9:

#

8.99 & 10

3

 N/C

E # k

e

  

 

q

r

  

2

 # (8.99 & 10

9

 N"m

2

/C

2

) 

1.00 & 10

'

6

 C

(1.00 m)

2

The  field  points  radially  outward  and  is  therefore  every-
where perpendicular to the surface of the sphere. The flux
through  the  sphere  (whose  surface  area  A # 4(r

2

#

12.6 m

2

) is thus

#

1.13 & 10

5

 N"m

2

/C

!

E 

#

EA # (8.99 & 10

3

 N/C)(12.6 m

2

)

Figure 24.1 Field lines

representing a uniform electric

field penetrating a plane of area A

perpendicular to the field. The

electric flux !

E

through this area is

equal to EA.

Area = A

E