Physics For Scientists And Engineers 6E - part 186

If  the  surface  under  consideration  is  not  perpendicular  to  the  field,  the  flux

through it must be less than that given by Equation 24.1. We can understand this by
considering Figure 24.2, where the normal to the surface of area A is at an angle ) to
the uniform electric field. Note that the number of lines that cross this area A is equal
to the number that cross the area A*, which is a projection of area A onto a plane ori-
ented  perpendicular  to  the  field.  From  Figure  24.2  we  see  that  the  two  areas  are
related  by  A* # A cos ).  Because  the  flux  through  A equals  the  flux  through  A*,  we
conclude that the flux through A is

(24.2)

From this result, we see that the flux through a surface of fixed area A has a maximum
value  EA when  the  surface  is  perpendicular  to  the  field  (when  the  normal  to  the
surface  is  parallel  to  the  field,  that  is,  ) # 0° in  Figure  24.2);  the  flux  is  zero  when
the surface is parallel to the field (when the normal to the surface is perpendicular to
the field, that is, ) # 90°).

We assumed a uniform electric field in the preceding discussion. In more general

situations, the electric field may vary over a surface. Therefore, our definition of flux
given by Equation 24.2 has meaning only over a small element of area. Consider a gen-
eral surface divided up into a large number of small elements, each of area +A. The
variation in the electric field over one element can be neglected if the element is suffi-
ciently small. It is convenient to define a vector +

A

i

whose magnitude represents the

area of the ith element of the surface and whose direction is defined to be perpendicu-
lar to the surface element, as shown in Figure 24.3. The electric field 

E

i

at the location

of this element makes an angle )

i

with the vector +

A

i

. The electric flux +!

E

through

this element is

where we have used the definition of the scalar product (or dot product; see Chapter
7) of two vectors (

A ! B # AB cos )). By summing the contributions of all elements, we

obtain the total flux through the surface. If we let the area of each element approach
zero, then the number of elements approaches infinity and the sum is replaced by an
integral. Therefore, the general definition of electric flux is

1

(24.3)

Equation 24.3 is a surface integral, which means it must be evaluated over the surface
in question. In general, the value of !

E

depends both on the field pattern and on the

surface.

!

E

#

lim

+

A

i

:

0

 

!

 

E

i

" +

 

A

i

#

"

surface

E"d

 

A

+!

E

#

E

i

  

+

A

i

 cos )

i

#

E

i

 "+

 

A

i

!

E

#

E

 

A* # E

 

A cos )

SECTION 24.1 •  Electric Flux

741

Figure 24.2 Field lines representing a uniform electric field penetrating an area A that

is at an angle 

)

to the field. Because the number of lines that go through the area A* is

the same as the number that go through A, the flux through A* is equal to the flux

through A and is given by !

E

#

EA cos

)

.

A

θ

θ

A

′ = A cos

E

Normal

θ

Figure 24.3 A small element of

surface area +A

i

. The electric field

makes an angle 

)

i

with the vector

+

A

i

, defined as being normal to

the surface element, and the flux

through the element is equal to

E

i

+

A

i

cos

)

i

.

∆A

i

E

i

θ

i

1

Drawings  with  field  lines  have  their  inaccuracies  because  a  limited  number  of  field  lines  are

typically drawn in a diagram. Consequently, a small area element drawn on a diagram (depending on
its location) may happen to have too few field lines penetrating it to represent the flux accurately. We
stress  that  the  basic  definition  of  electric  flux  is  Equation  24.3.  The  use  of  lines  is  only  an  aid  for
visualizing the concept.

Definition of electric flux

We  are  often  interested  in  evaluating  the  flux  through  a  closed  surface,  which  is

defined  as  one  that  divides  space  into  an  inside  and  an  outside  region,  so  that  one
cannot move from one region to the other without crossing the surface. The surface of
a sphere, for example, is a closed surface.

Consider  the  closed  surface  in  Figure  24.4.  The  vectors  +

A

i

point  in  different

directions for the various surface elements, but at each point they are normal to the
surface and, by convention, always point outward. At the element labeled !, the field
lines are crossing the surface from the inside to the outside and ) , 90°; hence, the
flux  +!

E

#

E " +A

1

through  this  element  is  positive.  For  element  ",  the  field  lines

graze the surface (perpendicular to the vector +

A

2

); thus, ) # 90° and the flux is zero.

For elements such as #, where the field lines are crossing the surface from outside to
inside, 180° - ) - 90° and the flux is negative because cos ) is negative. The net flux
through  the  surface  is  proportional  to  the  net  number  of  lines  leaving  the  surface,
where the net number means the number leaving the surface minus the number entering the
surface. If more lines are leaving than entering, the net flux is positive. If more lines are
entering  than  leaving,  the  net  flux  is  negative.  Using  the  symbol 

# to  represent  an

integral over a closed surface, we can write the net flux !

E

through a closed surface as

(24.4)

where E

n

represents the component of the electric field normal to the surface. If the

field is normal to the surface at each point and constant in magnitude, the calculation
is straightforward, as it was in Example 24.1. Example 24.2 also illustrates this point.

!

E

#

$

 

E"d

 

A #

$

 

E

n 

dA

742

CHAPTE R 24 •  Gauss’s Law

Quick  Quiz  24.1

Suppose  the  radius  of  the  sphere  in  Example  24.1  is

changed to 0.500 m. What happens to the flux through the sphere and the magnitude
of the electric field at the surface of the sphere? (a) The flux and field both increase.
(b) The flux and field both decrease. (c) The flux increases and the field decreases.
(d) The flux decreases and the field increases. (e) The flux remains the same and the
field increases. (f) The flux decreases and the field remains the same.

Active Figure 24.4 A closed

surface in an electric field. The area

vectors +A

i

are, by convention,

normal to the surface and point

outward. The flux through an area

element can be positive (element
!

), zero (element "), or negative

(element #).

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can select any segment on the

surface and see the

relationship between the

electric field vector E and the

area vector "A

i

.

∆A

1

∆A

3

∆A

2

!

"

#

E

#

!

"

E

θ

E

θ

E

n

E

n

Karl Friedrich Gauss

German mathematician and
astronomer (1777–1855)

Gauss received a doctoral degree

in mathematics from the University

of Helmstedt in 1799. In addition

to his work in electromagnetism,

he made contributions to

mathematics and science in

number theory, statistics, non-

Euclidean geometry, and

cometary orbital mechanics. He

was a founder of the German

Magnetic Union, which studies

the Earth’s magnetic field on a

continual basis.

SECTION 24.2 •  Gauss’s Law

743

24.2 Gauss’s Law

In this section we describe a general relationship between the net electric flux through
a  closed  surface  (often  called  a  gaussian  surface)  and  the  charge  enclosed  by  the
surface. This relationship, known as Gauss’s law, is of fundamental importance in the
study of electric fields.

Let us again consider a positive point charge q located at the center of a sphere of

radius  r,  as  shown  in  Figure  24.6.  From  Equation  23.9  we  know  that  the  magnitude
of the electric field everywhere on the surface of the sphere is E # k

e

q/r

2

. As noted in

Example 24.1, the field lines are directed radially outward and hence are perpendicu-
lar to the surface at every point on the surface. That is, at each surface point, 

E is par-

allel  to  the  vector  +

A

i

representing  a  local  element  of  area  +A

i

surrounding  the

surface point. Therefore,

and from Equation 24.4 we find that the net flux through the gaussian surface is

!

E

#

$

  

E"d

 

A #

$

  

E

 

 

dA # E  

$

 

dA

E"+

 

A

i

#

E

  

+

 

A

i

Example 24.2 Flux Through a Cube

Consider a uniform electric field 

E oriented in the x direc-

tion. Find the net electric flux through the surface of a cube
of edge length !, oriented as shown in Figure 24.5.

Solution The net flux is the sum of the fluxes through all
faces  of  the  cube.  First,  note  that  the  flux  through  four  of

the faces (#, $, and the unnumbered ones) is zero because

E is perpendicular to d A on these faces.

The net flux through faces ! and " is

For  face  !, 

E is  constant  and  directed  inward  but  dA

1

is

directed  outward  () # 180°);  thus,  the  flux  through  this
face is

because the area of each face is A # !

2

.

For  face  ", 

E is constant and outward and in the same

direction as d

A

2

() # 0°); hence, the flux through this face is

Therefore, the net flux over all six faces is

0

!

E

# '

E

 

!

2

$

E

 

!

2

$

0 $ 0 $ 0 $ 0 #

"

2

 

E"d

 

A #

"

2

 E

 

(cos

  

0.)

 

dA # E 

"

2

 dA # $E

 

A # E

 

!

2

"

 

1

E"d

 

A #

"

1

 E

 

(cos 180.)

 

d

 

A # 'E 

"

1

 d

 

A # 'E

 

A # 'E

 

!

2

!

E

#

"

1

 

E"d

 

A $

"

2

 

E"d

 

A

Quick  Quiz  24.2

In  a  charge-free  region  of  space,  a  closed  container  is

placed in an electric field. A requirement for the total electric flux through the surface
of  the  container  to  be  zero  is  that  (a)  the  field  must  be  uniform,  (b)  the  container
must  be  symmetric,  (c)  the  container  must  be  oriented  in  a  certain  way,  or  (d)  the
requirement does not exist — the total electric flux is zero no matter what.

Figure 24.5 (Example 24.2) A closed surface in the shape of a

cube in a uniform electric field oriented parallel to the x axis.

Side $ is the bottom of the cube, and side ! is opposite side ".

y

z

!

!

!

x

E

dA

2

dA

1

dA

3

!

"

#

$

dA

4

Figure 24.6 A spherical gaussian

surface of radius r surrounding a

point charge q. When the charge is

at the center of the sphere, the

electric field is everywhere normal

to the surface and constant in

magnitude.

Gaussian

surface

r

q

dA

E

+

i

744

CHAPTE R 24 •  Gauss’s Law

where we have moved E outside of the integral because, by symmetry, E is constant over
the  surface  and  given  by  E # k

e

q/r

2

.  Furthermore,  because  the  surface  is  spherical,

# dA # A # 4(r

2

. Hence, the net flux through the gaussian surface is

Recalling from Section 23.3 that k

e

#

1/4(/

0

, we can write this equation in the form

(24.5)

We  can  verify  that  this  expression  for  the  net  flux  gives  the  same  result  as  Example
24.1: !

E

#

(1.00 & 10

'

6

C)/(8.85 & 10

'

12

C

2

/N " m

2

) # 1.13 & 10

5

N " m

2

/C.

Note from Equation 24.5 that the net flux through the spherical surface is propor-

tional to the charge inside. The flux is independent of the radius r because the area of
the spherical surface is proportional to r

2

, whereas the electric field is proportional to

1/r

2

. Thus, in the product of area and electric field, the dependence on r cancels.

Now  consider  several  closed  surfaces  surrounding  a  charge  q,  as  shown  in  Figure

24.7.  Surface  S

1

is  spherical,  but  surfaces  S

2

and  S

3

are  not.  From  Equation  24.5,  the

flux that passes through S

1

has the value q//

0

. As we discussed in the preceding section,

flux is proportional to the number of electric field lines passing through a surface. The
construction shown in Figure 24.7 shows that the number of lines through S

1

is equal to

the  number  of  lines  through  the  nonspherical  surfaces  S

2

and  S

3

.  Therefore,  we

conclude that 

the net flux through any closed surface surrounding a point charge

q is given by q/#

0

and is independent of the shape of that surface.

Now consider a point charge located outside a closed surface of arbitrary shape, as

shown in Figure 24.8. As you can see from this construction, any electric field line that
enters  the  surface  leaves  the  surface  at  another  point.  The  number  of  electric  field
lines  entering  the  surface  equals  the  number  leaving  the  surface.  Therefore,  we
conclude  that 

the  net  electric  flux  through  a  closed  surface  that  surrounds  no

charge is zero. If we apply this result to Example 24.2, we can easily see that the net
flux through the cube is zero because there is no charge inside the cube.

Let  us  extend  these  arguments  to  two  generalized  cases:  (1)  that  of  many  point

charges  and  (2)  that  of  a  continuous  distribution  of  charge.  We  once  again  use  the
superposition principle, which states that 

the electric field due to many charges is

the  vector  sum  of  the  electric  fields  produced  by  the  individual  charges.
Therefore, we can express the flux through any closed surface as

where 

E is the total electric field at any point on the surface produced by the vector

addition of the electric fields at that point due to the individual charges. Consider the
system of charges shown in Figure 24.9. The surface S surrounds only one charge, q

1

;

hence, the net flux through S is q

1

//

0

. The flux through S due to charges q

2

, q

3

, and

q

4 

outside it is zero because each electric field line that enters S at one point leaves it at

$

 

E"d

 

A #

$

 

(

E

1

$

E

2

$ " " "

)"d

 

A

!

E

#

q

/

0

!

E

#

k

e

 

q

r

  

2

 (4(r

 

2

) # 4(k

e

 

q

Figure 24.7 Closed surfaces of various shapes surrounding a

charge q. The net electric flux is the same through all

surfaces.

S

3

S

2

S

1

q

Figure 24.8 A point charge

located outside a closed surface.

The number of lines entering the

surface equals the number leaving

the surface.

q

Active Figure 24.9 The net

electric flux through any closed

surface depends only on the

charge inside that surface. The net

flux through surface S is q

1

/

/

0

,

the net flux through surface S* is

(q

2

$

q

3

)/

/

0

, and the net flux

through surface S 0 is zero. Charge

q

4

does not contribute to the flux

through any surface because it is

outside all surfaces.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can change the size and shape

of a closed surface and see the

effect on the electric flux of

surrounding combinations of

charge with that surface.

S

q

1

q

2

q

3

S

′

S

′′

q

4