Physics For Scientists And Engineers 6E - part 183

Questions

729

At a distance r from a point charge q, the electric field due to the charge is given by

(23.9)

where 

rˆ is a unit vector directed from the charge toward the point in question. The

electric  field  is  directed  radially  outward  from  a  positive  charge  and  radially  inward
toward a negative charge.

The electric field due to a group of point charges can be obtained by using the su-

perposition principle. That is, the total electric  field at some point equals the vector
sum of the electric fields of all the charges:

(23.10)

The electric field at some point due to a continuous charge distribution is

(23.11)

where dq is the charge on one element of the charge distribution and r is the distance
from the element to the point in question.

Electric field lines describe an electric field in any region of space. The number

of lines per unit area through a surface perpendicular to the lines is proportional to
the magnitude of 

E in that region.

A  charged  particle  of  mass  m and  charge  q moving  in  an  electric  field 

E has  an

acceleration

(23.12)

a !

q

 

E

m

E ! k

e

 

%

 

dq
r

 

 

2

 

 

rˆ

E ! k

e

  

 

$

 

i

q

i

r

 

i

2

 

 

rˆ

i

E ! k

e 

 

q

r

 

2

 

 

rˆ

1. Explain  what  is  meant  by  the  term  “a  neutral  atom.’’

Explain what “a negatively charged atom’’ means.

2. A charged comb often attracts small bits of dry paper that

then fly away when they touch the comb. Explain.

3. Sparks are often seen or heard on a dry day when fabrics

are removed from a clothes dryer in dim light. Explain.

4. Hospital  personnel  must  wear  special  conducting  shoes

while working around oxygen in an operating room. Why?
Contrast  with  what  might  happen  if  people  wore  rubber-
soled shoes.

5. Explain  from  an  atomic  viewpoint  why  charge  is  usually

transferred by electrons.

6. A  light,  uncharged  metallic  sphere  suspended  from  a

thread  is  attracted  to  a  charged  rubber  rod.  After  it
touches the rod, the sphere is repelled by the rod. Explain.

7. A foreign student who grew up in a tropical country but is

studying in the United States may have had no experience
with static electricity sparks or shocks until he or she first
experiences an American winter. Explain.

8. Explain the similarities and differences between Newton’s

law of universal gravitation and Coulomb’s law.
A balloon is negatively charged by rubbing and then clings
to  a  wall.  Does  this  mean  that  the  wall  is  positively
charged? Why does the balloon eventually fall?

9.

10. A light strip of aluminum foil is draped over a horizontal

wooden  pencil.  When  a  rod  carrying  a  positive  charge  is
brought  close  to  the  foil,  the  two  parts  of  the  foil  stand
apart. Why? What kind of charge is on the foil?

11. When  defining  the  electric  field,  why  is  it  necessary  to

specify that the magnitude of the test charge be very small?

12. How could you experimentally distinguish an electric field

from a gravitational field?

13. A large metallic sphere insulated from ground is charged

with an electrostatic generator while a student standing on
an  insulating  stool  holds  the  sphere.  Why  is  it  safe  to  do
this? Why would it not be safe for another person to touch
the sphere after it had been charged?

14. Is it possible for an electric  field to exist in empty space?

Explain. Consider point A in Figure 23.23(a). Does charge
exist at this point? Does a force exist at this point? Does a
field exist at this point?

15. When is it valid to approximate a charge distribution by a

point charge?

16. Explain  why  electric  field  lines  never  cross.  Suggestion:

Begin  by  explaining  why  the  electric  field  at  a  particular
point must have only one direction.

17. Figures  23.14  and  23.15  show  three  electric  field  vectors

at  the  same  point.  With  a  little  extrapolation,  Figure

Q U E S T I O N S

730

C H A P T E R   2 3 •  Electric Fields

23.21  would  show  many  electric  field  lines  at  the
same point.  Is  it  really  true  that  “no  two  field  lines  can
cross’’?  Are  the  diagrams  drawn  correctly?  Explain  your
answers.

18. A free electron and a free proton are released in identical

electric fields. Compare the electric forces on the two par-
ticles. Compare their accelerations.

19. Explain  what  happens  to  the  magnitude  of  the  electric

field created by a point charge as r approaches zero.

20. An  object  with  negative  charge  is  placed  in  a  region  of

space where the electric field is directed vertically upward.
What is the direction of the electric force exerted on this
charge?

21. A charge 4q is at a distance r from a charge " q. Compare

the  number  of  electric  field  lines  leaving  the  charge  4q
with  the  number  entering  the  charge  " q.  Where  do  the
extra lines beginning on 4q end?

22. Consider  two  equal  point  charges  separated  by  some

distance d. At what point (other than 4) would a third test
charge experience no net force?

23. Explain  the  differences  between  linear,  surface,  and

volume charge densities, and give examples of when each
would be used.

24. If the electron in Figure 23.26 is projected into the electric

field  with  an  arbitrary  velocity v

i

(at  an  arbitrary  angle  to

E), will its trajectory still be parabolic? Explain.
Would  life  be  different  if  the  electron  were  positively
charged and the proton were negatively charged? Does the
choice of signs have any bearing on physical and chemical
interactions? Explain.

26. Why  should  a  ground  wire  be  connected  to  the  metal

support rod for a television antenna?

27. Suppose  someone  proposes  the  idea  that  people  are

bound to the Earth by electric forces rather than by grav-
ity. How could you prove this idea is wrong?

28. Consider two electric dipoles in empty space. Each dipole

has  zero  net  charge.  Does  an  electric  force  exist  between
the dipoles—that is, can two objects with zero net charge
exert electric forces on each other? If so, is the force one
of attraction or of repulsion?

25.

Section 23.1 Properties of Electric Charges

1. (a) Find to three significant digits the charge and the mass

of  an  ionized  hydrogen  atom,  represented  as  H

#

.  Sugges-

tion: Begin  by  looking  up  the  mass  of  a  neutral  atom  on
the  periodic  table  of  the  elements.  (b)  Find  the  charge
and  the  mass  of  Na

#

,  a  singly  ionized  sodium  atom.

(c) Find the charge and the average mass of a chloride ion
Cl

"

that joins with the Na

#

to make one molecule of table

salt. (d) Find the charge and the mass of Ca

##

!

Ca

2#

, a

doubly  ionized  calcium  atom.  (e)  You  can  model  the
center  of  an  ammonia  molecule  as  an  N

3"

ion.  Find  its

charge  and  mass.  (f)  The  plasma  in  a  hot  star  contains
quadruply ionized nitrogen atoms, N

4#

. Find their charge

and mass. (g) Find the charge and the mass of the nucleus
of  a  nitrogen  atom.  (h)  Find  the  charge  and  the  mass  of
the molecular ion H

2

O

"

.

2. (a)  Calculate  the  number  of  electrons  in  a  small,  electri-

cally neutral silver pin that has a mass of 10.0 g. Silver has
47 electrons per atom, and its molar mass is 107.87 g/mol.
(b) Electrons are added to the pin until the net negative
charge  is  1.00 mC.  How  many  electrons  are  added  for
every 10

9

electrons already present?

Section 23.2 Charging Objects by Induction
Section 23.3 Coulomb’s Law

The Nobel laureate Richard Feynman once said that

if two persons stood at arm’s length from each other and
each  person  had  1%  more  electrons  than  protons,  the

3.

force of repulsion between them would be enough to lift
a “weight’’ equal to that of the entire Earth. Carry out an
order-of-magnitude  calculation  to  substantiate  this
assertion.

4. Two  protons  in  an  atomic  nucleus  are  typically  separated

by a distance of 2 & 10

"

15

m. The electric repulsion force

between  the  protons  is  huge,  but  the  attractive  nuclear
force is even stronger and keeps the nucleus from bursting
apart. What is the magnitude of the electric force between
two protons separated by 2.00 & 10

"

15

m?

5. (a)  Two  protons  in  a  molecule  are  separated  by  3.80 &

10

"

10

m. Find the electric force exerted by one proton on

the other. (b) How does the magnitude of this force com-
pare  to  the  magnitude  of  the  gravitational  force  between
the  two  protons?  (c)  What  If?  What  must  be  the  charge-
to-mass ratio of a particle if the magnitude of the gravita-
tional  force  between  two  of  these  particles  equals  the
magnitude of electric force between them?

6.

Two  small  silver  spheres,  each  with  a  mass  of  10.0 g,  are
separated by 1.00 m. Calculate the fraction of the electrons
in  one  sphere  that  must  be  transferred  to  the  other  in
order  to  produce  an  attractive  force  of  1.00 & 10

4

N

(about  1 ton)  between  the  spheres.  (The  number  of
electrons per atom of silver is 47, and the number of atoms
per gram is Avogadro’s number divided by the molar mass
of silver, 107.87 g/mol.)
Three point charges are located at the corners of an equi-
lateral triangle as shown in Figure P23.7. Calculate the re-
sultant electric force on the 7.00-*C charge.

7.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

Problems

731

8. Suppose  that  1.00 g  of  hydrogen  is  separated  into  elec-

trons  and  protons.  Suppose  also  that  the  protons  are
placed  at  the  Earth’s  north  pole  and  the  electrons  are
placed  at  the  south  pole.  What  is  the  resulting  compres-
sional force on the Earth?

9. Two identical conducting small spheres are placed with their

centers  0.300 m  apart.  One  is  given  a  charge  of  12.0 nC
and the  other  a  charge  of  " 18.0 nC.  (a)  Find  the  electric
force  exerted  by  one  sphere  on  the  other.  (b)  What  If?
The spheres  are  connected  by  a  conducting  wire.  Find
the electric  force  between  the  two  after  they  have  come  to
equilibrium.

10.

Two small beads having positive charges 3q and q are fixed
at  the  opposite  ends  of  a  horizontal,  insulating  rod,  ex-
tending  from  the  origin  to  the  point  x ! d.  As  shown  in
Figure  P23.10,  a  third  small  charged  bead  is  free  to  slide
on  the  rod.  At  what  position  is  the  third  bead  in  equilib-
rium? Can it be in stable equilibrium?

Section 23.4 The Electric Field

What are the magnitude and direction of the electric field
that  will  balance  the  weight  of  (a)  an  electron  and  (b)  a
proton? (Use the data in Table 23.1.)

14. An object having a net charge of 24.0 *C is placed in a uni-

form  electric  field  of  610 N/C  directed  vertically. What  is
the mass of this object if it “floats’’ in the field?

15.

In  Figure  P23.15,  determine  the  point  (other  than  infin-
ity) at which the electric field is zero.

13.

Figure P23.7 Problems 7 and 18.

0.50 m

7.00 

  C

–4.00 

  C

60

°

x

y

+

+

–

µ

µ

2.00 

  C

µ

d

+3q

+q

Figure P23.10

11.

Review  problem. In  the  Bohr  theory  of  the  hydrogen
atom, an electron moves in a circular orbit about a proton,
where the radius of the orbit is 0.529 & 10

"

10

m. (a) Find

the electric force between the two. (b) If this force causes
the  centripetal  acceleration  of  the  electron,  what  is  the
speed of the electron?

12.

Review  problem.  Two  identical  particles,  each  having
charge # q, are fixed in space and separated by a distance
d. A third point charge " Q is free to move and lies initially
at  rest  on  the  perpendicular  bisector  of  the  two  fixed
charges  a  distance  x from  the  midpoint  between  the  two
fixed charges (Fig. P23.12). (a) Show that if x is small com-
pared with d, the motion of " Q will be simple harmonic
along the perpendicular bisector. Determine the period of
that motion. (b) How fast will the charge " Q be moving
when it is at the midpoint between the two fixed charges,
if initially  it  is  released  at  a  distance  a 55 d from  the
midpoint?

Figure P23.12

+q

+q

–Q

x

y

d/2

d/2

x

1.00 m

– 2.50

 

µ

C

6.00

 

µ

C

µ

µ

Figure P23.15

16. An airplane is flying through a thundercloud at a height of

2 000 m. (This is a very dangerous thing to do because of
updrafts,  turbulence,  and  the  possibility  of  electric  dis-
charge.) If a charge concentration of # 40.0 C is above the
plane at a height of 3 000 m within the cloud and a charge
concentration of " 40.0 C is at height 1 000 m, what is the
electric field at the aircraft?

17.

Two  point  charges  are  located  on  the  x axis.  The  first  is
a charge  # Q at  x ! " a.  The  second  is  an  unknown
charge  located  at  x ! # 3a.  The  net  electric  field  these
charges  produce  at  the  origin  has  a  magnitude  of
2k

e

Q /a

2

.  What  are  the  two  possible  values  of  the

unknown charge?

18.

Three charges are at the corners of an equilateral triangle
as shown in Figure P23.7. (a) Calculate the electric field at
the position of the 2.00-*C charge due to the 7.00-*C and
"

4.00-*C charges. (b) Use your answer to part (a) to de-

termine the force on the 2.00-*C charge.

19.

Three  point  charges  are  arranged  as  shown  in  Figure
P23.19.  (a)  Find  the  vector  electric  field  that  the  6.00-nC
and  " 3.00-nC  charges  together  create  at  the  origin.
(b) Find the vector force on the 5.00-nC charge.

732

C H A P T E R   2 3 •  Electric Fields

20.

Two 2.00-*C point charges are located on the x axis. One
is at x ! 1.00 m, and the other is at x ! " 1.00 m. (a) De-
termine  the  electric  field  on  the  y axis  at  y ! 0.500 m.
(b) Calculate  the  electric  force  on  a  " 3.00-*C  charge
placed on the y axis at y ! 0.500 m.

21.

Four point charges are at the corners of a square of side a
as shown in Figure P23.21. (a) Determine the magnitude
and direction of the electric field at the location of charge
q. (b) What is the resultant force on q?

24. Consider an infinite number of identical charges (each of

charge  q)  placed  along  the  x axis  at  distances  a,  2a,  3a,
4a, . . . , from the origin. What is the electric field at the
origin due to this distribution? Suggestion: Use the fact that

Section 23.5 Electric Field of a Continuous 

Charge Distribution

25. A  rod  14.0 cm  long  is  uniformly  charged  and  has  a  total

charge of " 22.0 *C. Determine the magnitude and direc-
tion of the electric field along the axis of the rod at a point
36.0 cm from its center.

26.

A continuous line of charge lies along the x axis, extend-
ing  from  x ! # x

0

to  positive  infinity.  The  line  carries

charge with a uniform linear charge density 3

0

. What are

the  magnitude  and  direction  of  the  electric  field  at  the
origin?
A  uniformly  charged  ring  of  radius  10.0 cm  has  a  total
charge of 75.0 *C. Find the electric  field on the axis of
the  ring  at  (a)  1.00 cm,  (b)  5.00 cm,  (c)  30.0 cm,  and
(d) 100 cm from the center of the ring.

28.

A line of charge starts at x ! # x

0

and extends to positive

infinity.  The  linear  charge  density  is  3 ! 3

0

x

0

/x.  Deter-

mine the electric field at the origin.

29.

Show  that  the  maximum  magnitude  E

max

of  the  electric

field  along  the  axis  of  a  uniformly  charged  ring  occurs  at

(see Fig. 23.18) and has the value 

30. A uniformly charged disk of radius 35.0 cm carries charge

with a density of 7.90 & 10

"

3

C/m

2

. Calculate the electric

field  on  the  axis  of  the  disk  at  (a)  5.00 cm,  (b)  10.0 cm,
(c) 50.0 cm, and (d) 200 cm from the center of the disk.

31.

Example 23.9 derives the exact expression for the electric
field  at  a  point  on  the  axis  of  a  uniformly  charged  disk.
Consider a disk, of radius R ! 3.00 cm, having a uniformly
distributed charge of # 5.20 *C. (a) Using the result of Ex-
ample  23.9,  compute  the  electric  field  at  a  point  on  the
axis and 3.00 mm from the center. What If? Compare this
answer  with  the  field  computed  from  the  near-field  ap-
proximation  E ! 2/2)

0

.  (b)  Using  the  result  of  Example

23.9, compute the electric field at a point on the axis and
30.0 cm  from  the  center  of  the  disk.  What  If? Compare
this with the electric field obtained by treating the disk as a
#

5.20-*C point charge at a distance of 30.0 cm.

32.

The  electric  field  along  the  axis  of  a  uniformly  charged
disk of radius R and total charge Q was calculated in Exam-
ple 23.9. Show that the electric field at distances x that are
large compared with R approaches that of a point charge
Q ! 2(R

2

.  (Suggestion: First  show  that  x/(x

2

#

R

2

)

1/2

!

(1 # R

2

/x

2

)

"

1/2

and  use  the  binomial  expansion 

(1 # 6)

n

" 1 # n6 when 6 55 1.)

A uniformly charged insulating rod of length 14.0 cm

is  bent  into  the  shape  of  a  semicircle  as  shown  in  Figure
P23.33. The rod has a total charge of " 7.50 *C. Find the
magnitude  and  direction  of  the  electric  field  at  O,  the
center of the semicircle.

33.

Q

 

/(6

√

3()

0

a

 

2

).

x ! a/

√

2

27.

1 #

1

2

2

#

1

3

2

#

1

4

2

# ' ' ' !

(

2

6

Figure P23.21

Figure P23.22

a

a

a

a

q

3q

4q

2q

2a

x

–q

q

y

Figure P23.19

0.100 m

x

–3.00 nC

5.00 nC

0.300 m

6.00 nC

y

22.

Consider the electric dipole shown in Figure P23.22. Show
that  the  electric  field  at  a  distant point  on  the  # x axis  is
E

x

" 4k

e

qa/x

3

.

23.

Consider n equal positive point charges each of magnitude
Q /n placed  symmetrically  around  a  circle  of  radius  R.
(a) Calculate the magnitude of the electric field at a point
a distance x on the line passing through the center of the
circle  and  perpendicular  to  the  plane  of  the  circle. 
(b) Explain why this result is identical to that of the calcu-
lation done in Example 23.8.