Physics For Scientists And Engineers 6E - part 182

S E C T I O N   2 3 . 7 •  Motion of Charged Particles in a Uniform Electric Field

725

Figure 23.23 shows the electric field lines in the vicinity of two equal positive point

charges.  Again,  the  lines  are  nearly  radial  at  points  close  to  either  charge,  and  the
same number of lines emerge from each charge because the charges are equal in mag-
nitude. At great distances from the charges, the field is approximately equal to that of
a single point charge of magnitude 2q.

Finally, in Figure 23.24 we sketch the electric field lines associated with a positive

charge # 2q and a negative charge " q. In this case, the number of lines leaving # 2q is
twice the number terminating at " q. Hence, only half of the lines that leave the posi-
tive  charge  reach  the  negative  charge.  The  remaining  half  terminate  on  a  negative
charge we assume to be at infinity. At distances that are much greater than the charge
separation, the electric field lines are equivalent to those of a single charge # q.

(a)

+

+

C

A

B

(b)

Figure 23.23 (a) The electric field lines for two positive point charges. (The locations

A, B, and C are discussed in Quick Quiz 23.7.) (b) Pieces of thread suspended in oil,

which align with the electric field created by two equal-magnitude positive charges.

Courtesy of Harold M. W

aage, Princeton University

+2q

–

–q

+

Active Figure 23.24 The electric

field lines for a point charge # 2q

and a second point charge " q.

Note that two lines leave # 2q for

every one that terminates on " q.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can choose the values and

signs for the two charges and

observe the electric field lines

for the configuration that you

have chosen.

Quick  Quiz  23.7

Rank the magnitudes of the electric field at points A, B,

and C shown in Figure 23.23a (greatest magnitude first).

Quick Quiz 23.8

Which of the following statements about electric field lines

associated with electric charges is false? (a) Electric field lines can be either straight or
curved. (b) Electric field lines can form closed loops. (c) Electric field lines begin on
positive charges and end on negative charges. (d) Electric field lines can never inter-
sect with one another.

23.7 Motion of Charged Particles in a Uniform

Electric Field

When  a  particle  of  charge  q and  mass  m is  placed  in  an  electric  field 

E,  the  electric

force exerted on the charge is q

E according to Equation 23.8. If this is the only force

exerted on the particle, it must be the net force and causes the particle to accelerate
according to Newton’s second law. Thus,

The acceleration of the particle is therefore

(23.12)

If 

E is uniform (that is, constant in magnitude and direction), then the acceleration is

constant. If the particle has a positive charge, its acceleration is in the direction of the

a !

q

E

m

F

e

!

q

 

E ! ma

726

C H A P T E R   2 3 •  Electric Fields

electric field. If the particle has a negative charge, its acceleration is in the direction
opposite the electric field.

Example 23.10 An Accelerating Positive Charge

from  which  we  can  find  the  kinetic  energy  of  the  charge 
after it has moved a distance 0x ! x

f

"

x

i

:

We can also obtain this result from the work–kinetic energy
theorem  because  the  work  done  by  the  electric  force  is 
F

e

0

x ! qE0x and W ! 0K.

K !

1

2

mv

f

 

2

!

1

2

m

 

 

&

2q

 

E

m

'

 0x ! q

 

E 0x

A positive point charge q of mass m is released from rest in a
uniform electric field 

E directed along the x axis, as shown

in Figure 23.25. Describe its motion.

Solution The  acceleration  is  constant  and  is  given  by
q

E/m. The motion is simple linear motion along the x axis.

Therefore, we can apply the equations of kinematics in one
dimension (see Chapter 2):

Choosing  the  initial  position  of  the  charge  as  x

i

!

0  and

assigning  v

i

!

0  because  the  particle  starts  from  rest,  the

position of the particle as a function of time is

The speed of the particle is given by

The third kinematic equation gives us

v

2

f

!

2ax

f

!

&

2q

 

E

m

'

 x

f

v

f

!

at !

q

 

E

m

  

t

x

f

!

1

2

at

 

2

!

q

 

E

2m

 t

 

2

v

f

2

!

v

2

i

#

2a(x

f

"

x

i

)

 v

f

!

v

i

#

at

 x

f

!

x

i

#

v

i

t #

1

2

at

2

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

E

v

v = 0

q

x

+

+

Figure 23.25 (Example 23.10) A positive point charge q in a

uniform electric field E undergoes constant acceleration in the

direction of the field.

The electric field in the region between two oppositely charged flat metallic plates

is approximately uniform (Fig. 23.26). Suppose an electron of charge " e is projected
horizontally  into  this  field  from  the  origin  with  an  initial  velocity  v

i

iˆ at  time  t ! 0.

Because the electric field 

E in Figure 23.26 is in the positive y direction, the accelera-

tion of the electron is in the negative y direction. That is,

(23.13)

Because the acceleration is constant, we can apply the equations of kinematics in two
dimensions (see Chapter 4) with v

xi

!

v

i

and v

yi

!

0. After the electron has been in the

a ! "

e

 

E

m

e

 

 

jˆ

(0, 0)

!

E

–

(x, y)

–

v

x

y

– – – – – – – – – – – –

+ + + + + + + + + + + +

v

i

iˆ

Active Figure 23.26 An electron is

projected horizontally into a uniform

electric field produced by two

charged plates. The electron under-

goes a downward acceleration (oppo-

site E), and its motion is parabolic

while it is between the plates.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can choose the strength of the

electric field and the mass and

charge of the projected

particle.

S E C T I O N   2 3 . 7 •  Motion of Charged Particles in a Uniform Electric Field

727

electric field for a time interval, the components of its velocity at time t are

(23.14)

(23.15)

Its position coordinates at time t are

(23.16)

(23.17)

Substituting the value t ! x

f

/v

i

from Equation 23.16 into Equation 23.17, we see that y

f

is  proportional  to  x

f

2

.  Hence,  the  trajectory  is  a  parabola.  This  should  not  be  a 

surprise—consider the analogous situation of throwing a ball horizontally in a uniform
gravitational  field  (Chapter  4).  After  the  electron  leaves  the  field,  the  electric  force 
vanishes and the electron continues to move in a straight line in the direction of

v in

Figure 23.26 with a speed v - v

i

.

Note that we have neglected the gravitational force acting on the electron. This is a

good approximation when we are dealing with atomic particles. For an electric field of
10

4

N/C, the ratio of the magnitude of the electric force eE to the magnitude of the

gravitational force mg is on the order of 10

14

for an electron and on the order of 10

11

for a proton.

y

f

!

1

2

a

y

t

2

! "

1

2

 

e

 

E

m

e

 t

2

x

f

!

v

i

t

v

y

!

a

y

t ! "

eE
m

e

 t

v

x

!

v

i

!

constant

 

▲

PITFALL PREVENTION 

23.4 Just Another Force

Electric  forces  and  fields  may
seem  abstract  to  you.  However,
once  F

e

is evaluated,  it  causes  a

particle to move according to our
well-established understanding of
forces and motion from Chapters
5  and  6.  Keeping  this  link  with
the  past  in  mind  will  help  you
solve problems in this chapter.

Solution The  horizontal  distance  across  the  field  is  ! !
0.100 m. Using Equation 23.16 with x

f

!

!

, we find that the

time at which the electron exits the electric field is

(C)

If the vertical position of the electron as it enters the field

is y

i

!

0, what is its vertical position when it leaves the field?

Solution Using  Equation  23.17  and  the  results  from  parts
(A) and (B), we find that

If the electron enters just below the negative plate in Figure
23.26 and the separation between the plates is less than the
value we have just calculated, the electron will strike the pos-
itive plate.

"

1.95 cm

! "

0.019 5 m !

y

f

!

1

2

a

y

t

  

2

! "

1

2

(3.51 & 10

13

 m/s

2

)(3.33 & 10

"

8

 s)

2

 

3.33 & 10

"

8

 s

t !

!

v

i

!

0.100 m

3.00 & 10

6

 m/s

!

An  electron  enters  the  region  of  a  uniform  electric  field
as shown  in  Figure  23.26,  with  v

i

!

3.00 & 10

6

m/s  and 

E ! 200 N/C.  The  horizontal  length  of  the  plates  is
! !

0.100 m.

(A)

Find  the  acceleration  of  the  electron  while  it  is  in  the

electric field.

Solution The charge on the electron has an absolute value
of  1.60 & 10

"

19

C,  and  m

e

!

9.11 & 10

"

31

kg.  Therefore,

Equation 23.13 gives

(B)

If  the  electron  enters  the  field  at  time  t ! 0,  find  the

time at which it leaves the field.

"

3.51 & 10

13

ˆj m/s

2

!

a ! "

e

 

E

m

e

 

 

jˆ ! "

(1.60 & 10

"

19

 C)(200 N/C)

9.11 & 10

"

31

 kg

 

 

jˆ

Example 23.11 An Accelerated Electron

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can predict the required initial velocity for the exiting
electron to just miss the right edge of the lower plate, for random values of the electric field.

The Cathode Ray Tube

The  example  we  just  worked  describes  a  portion  of  a  cathode  ray  tube  (CRT).  This
tube,  illustrated  in  Figure  23.27,  is  commonly  used  to  obtain  a  visual  display  of  elec-
tronic  information  in  oscilloscopes,  radar  systems,  television  receivers,  and  computer
monitors.  The  CRT  is  a  vacuum  tube  in  which  a  beam  of  electrons  is  accelerated
and deflected under the influence of electric or magnetic fields. The electron beam is

Interactive

728

C H A P T E R   2 3 •  Electric Fields

produced by an assembly called an electron gun located in the neck of the tube. These
electrons, if left undisturbed, travel in a straight-line path until they strike the front of
the  CRT,  the  “screen,’’  which  is  coated  with  a  material  that  emits  visible  light  when
bombarded with electrons.

In an oscilloscope, the electrons are deflected in various directions by two sets of

plates placed at right angles to each other in the neck of the tube. (A television CRT
steers the beam with a magnetic field, as discussed in Chapter 29.) An external electric
circuit is used to control the amount of charge present on the plates. The placing of
positive charge on one horizontal plate and negative charge on the other creates an
electric field between the plates and allows the beam to be steered from side to side.
The vertical deflection plates act in the same way, except that changing the charge on
them deflects the beam vertically.

Electron

gun

Vertical

deflection

plates

Horizontal

deflection

plates

Electron

beam

Fluorescent

screen

Horizontal

input

Vertical

input

C

A

Figure 23.27 Schematic diagram of a

cathode ray tube. Electrons leaving the

cathode C are accelerated to the anode A.

In addition to accelerating electrons, the

electron gun is also used to focus the beam

of electrons, and the plates deflect the

beam.

Electric charges have the following important properties:

• Charges  of  opposite  sign  attract  one  another  and  charges  of  the  same  sign  repel

one another.

• Total charge in an isolated system is conserved.
• Charge is quantized.

Conductors are materials in which electrons move freely. Insulators are materials

in which electrons do not move freely.

Coulomb’s  law  states that the electric force exerted by a charge q

1

on  a  second

charge q

2

is

(23.6)

where r is the distance between the two charges and 

rˆ is a unit vector directed from q

1

toward  q

2

.  The  constant  k

e

,  which  is  called  the  Coulomb  constant,  has  the  value

k

e

!

8.99 & 10

9

N ' m

2

/C

2

.

The  smallest  unit  of  free  charge  e known  to  exist  in  nature  is  the  charge  on  an

electron (" e) or proton (# e), where e ! 1.602 19 & 10

"

19

C.

The electric field 

E at some point in space is defined as the electric force F

e

that

acts on a small positive test charge placed at that point divided by the magnitude q

0

of

the test charge:

(23.7)

Thus, the electric force on a charge q placed in an electric field 

E is given by

(23.8)

F

e

!

q

E

E # 

 

F

e

q

 

0

 

F

12

!

k

e 

 

q

 

1

q

 

2

r

 

 

2

 

 

rˆ

S U M M A R Y

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