Physics For Scientists And Engineers 6E - part 156

Let us calculate the work done on the gas in the expansion from state i to state f.

The work done on the gas is given by Equation 20.8. Because the gas is ideal and the
process is quasi-static, we can use the expression PV ! nRT for each point on the path.
Therefore, we have

Because T is constant in this case, it can be removed from the integral along with n
and R:

To evaluate the integral, we used 

∫(dx/x) ! ln x. Evaluating this at the initial and final

volumes, we have

(20.13)

Numerically, this work W equals the negative of the shaded area under the PV curve
shown  in  Figure  20.8.  Because  the  gas  expands,  V

f

(

V

i

and  the  value  for  the  work

done on the gas is negative, as we expect. If the gas is compressed, then V

f

'

V

i

and

the work done on the gas is positive.

W ! nRT ln 

$

V

i

V

f

%

 

W ! &nRT 

"

V

f

V

i

 

 

dV

V

! &

nRT ln

 

V 

&

V

f

V

i

W ! &

"

V

f

V

i

 

 

P

 

dV ! &

"

V

f

V

i

 

 

nRT

V

 dV

S E C T I O N   2 0 . 6     •     Some Applications of the First Law of Thermodynamics

621

f

i

V

PV = constant

Isotherm

P

P

i

P

f

V

i

V

f

Figure 20.8 The PV diagram for

an isothermal expansion of an

ideal gas from an initial state to a

final state. The curve is a

hyperbola.

Quick Quiz 20.6

Characterize the paths in Figure 20.9 as isobaric, isovolu-

metric, isothermal, or adiabatic. Note that Q ! 0 for path B.

A

B

C

D

V

P

T

1

T

3

T

2

T

4

Figure 20.9 (Quick Quiz 20.6) Identify the nature of paths A, B, C, and D.

Example 20.6 An Isothermal Expansion

A 1.0-mol sample of an ideal gas is kept at 0.0°C during an
expansion from 3.0 L to 10.0 L.

(A)

How much work is done on the gas during the expan-

sion?

Solution Substituting  the  values  into  Equation  20.13,  we
have

W ! nRT

  

ln 

$

V

i

V

f

%

!

(B)

How  much  energy  transfer  by  heat  occurs  with  the

surroundings in this process?

&

2.7 % 10

3

 J

 

 ! (1.0 mol)(8.31 J/mol$K)(273 K)

 

ln

 

$

3.0 L

10.0 L

%

Example 20.7 Boiling Water

Suppose 1.00 g of water vaporizes isobarically at atmospheric
pressure  (1.013 % 10

5

Pa).  Its  volume  in  the  liquid  state  is

V

i

!

V

liquid

!

1.00 cm

3

,  and  its  volume  in  the  vapor  state  is

V

f

!

V

vapor

!

1 671 cm

3

. Find the work done in the expansion

and  the  change  in  internal  energy  of  the  system.  Ignore 
any  mixing  of  the  steam  and  the  surrounding  air—imagine 
that  the  steam  simply  pushes  the  surrounding  air  out  of 
the way.

Solution Because the expansion takes place at constant pres-
sure, the work done on the system (the vaporizing water) as it
pushes away the surrounding air is, from Equation 20.11,

! &

169 J

! &

(1.013 % 10

5

 

Pa)(1 671 % 10

&

6

 m

3

&

1.00 % 10

&

6

 m

3

)

W ! &P(V

f

&

V

i

)

To determine the change in internal energy, we must know
the  energy  transfer  Q needed  to  vaporize  the  water.  Using
Equation 20.6 and the latent heat of vaporization for water,
we have

Q ! mL

v

!

(1.00 % 10

&

3

kg)(2.26 % 10

6

J/kg)! 2 260 J

Hence, from the first law, the change in internal energy is

#

E

int

!

Q " W ! 2 260 J " (& 169 J) !

The  positive  value  for  #E

int

indicates  that  the  internal 

energy  of  the  system  increases.  We  see  that  most  of  the
energy  (2 090 J/2 260 J ! 93%)  transferred  to  the  liquid
goes into  increasing  the  internal  energy  of  the  system.
The  remaining  7%  of  the  energy  transferred  leaves  the
system  by  work  done  by  the  steam  on  the  surrounding
atmosphere.

2.09 k J

Example 20.8 Heating a Solid

A 1.0-kg bar of copper is heated at atmospheric pressure. If
its temperature increases from 20°C to 50°C,

(A)

what  is  the  work  done  on  the  copper  bar  by  the  sur-

rounding atmosphere?

Solution Because  the  process  is  isobaric,  we  can  find  the
work  done  on  the  copper  bar  using  Equation  20.11,
W ! &P(V

f

&

V

i

). We can calculate the change in volume of

the copper bar using Equation 19.6. Using the average lin-
ear  expansion  coefficient  for  copper  given  in  Table  19.1,
and remembering that + ! 3,, we obtain

The volume V

i

is equal to m/-, and Table 14.1 indicates that

the density of copper is 8.92 % 10

3

kg/m

3

. Hence,

 ! 1.7 % 10

&

7

 m

3

#

V ! (1.5 % 10

&

3

)

$

1.0 kg

8.92 % 10

3

 kg/m

3

%

!

[5.1 % 10

&

5 

()C)

&

1

](50)C & 20)C)V

i

!

1.5 % 10

&

3

 V

i

#

V ! +V

i

 

 

#

T

The work done on the copper bar is

!

Because this work is negative, work is done by the copper bar
on the atmosphere.

(B)

What quantity of energy is transferred to the copper bar

by heat?

Solution Taking  the  specific  heat  of  copper  from  Table
20.1 and using Equation 20.4, we find that the energy trans-
ferred by heat is

! 1.2 % 10

4

 J

Q ! mc 

 

#

T ! (1.0 kg)(387 J/kg$)C)(30)C)

&

1.7 % 10

&

2

 J

W  ! &P 

 

#

V ! &(1.013 % 10

5

 N/m

2

)(1.7 % 10

&

7

 m

3

)

622

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

Solution From the first law, we find that

#

E

int

!

Q " W

0 ! Q " W

Q ! &W !

(C)

If the gas is returned to the original volume by means of

an isobaric process, how much work is done on the gas?

Solution The work done in an isobaric process is given by
Equation 20.11. In this case, the initial volume is 10.0 L and
the final volume is 3.0 L, the reverse of the situation in part
(A). We are not given the pressure, so we need to incorpo-

2.7 % 10

3

 J

rate the ideal gas law:

!

Notice that we use the initial temperature and volume to de-
termine  the  value  of  the  constant  pressure  because  we  do
not know the final temperature. The work done on the gas
is positive because the gas is being compressed.

1.6 % 10

3

 J

%

(3.0 % 10

&

3

 m

3

&

10.0 % 10

&

3

 m

3

)

 ! &

(1.0 mol)(8.31 J/mol$K)(273 K)

10.0 % 10

&

3

 m

3

W ! &P(V

f

&

V

i

) ! &

 

nRT

i

V

i

 

 (V

f

&

V

i

)

20.7 Energy Transfer Mechanisms

In Chapter 7, we introduced a global approach to energy analysis of physical processes
through Equation 7.17, #E

system

!

T, where T represents energy transfer. Earlier in this

chapter, we discussed two of the terms on the right-hand side of this equation, work and
heat. In this section, we explore more details about heat as a means of energy transfer
and consider two other energy transfer methods that are often related to temperature
changes—convection (a form of matter transfer) and electromagnetic radiation.

Thermal Conduction

The process of energy transfer by heat can also be called 

conduction or thermal con-

duction. In this process, the transfer can be represented on an atomic scale as an ex-
change  of  kinetic  energy  between  microscopic  particles—molecules,  atoms,  and  free
electrons—in  which  less-energetic  particles  gain  energy  in  collisions  with  more  ener-
getic  particles.  For  example,  if  you  hold  one  end  of  a  long  metal  bar  and  insert  the
other end into a flame, you will find that the temperature of the metal in your hand
soon increases. The energy reaches your hand by means of conduction. We can under-
stand the process of conduction by examining what is happening to the microscopic
particles  in  the  metal.  Initially,  before  the  rod  is  inserted  into  the  flame,  the  micro-
scopic particles are vibrating about their equilibrium positions. As the flame heats the
rod, the particles near the flame begin to vibrate with greater and greater amplitudes.
These particles, in turn, collide with their neighbors and transfer some of their energy
in the collisions. Slowly, the amplitudes of vibration of metal atoms and electrons far-
ther and farther from the flame increase until, eventually, those in the metal near your
hand are affected. This increased vibration is detected by an increase in the tempera-
ture of the metal and of your potentially burned hand.

The rate of thermal conduction depends on the properties of the substance being

heated. For example, it is possible to hold a piece of asbestos in a flame indefinitely.
This implies that very little energy is conducted through the asbestos. In general, met-
als are good thermal conductors, and materials such as asbestos, cork, paper, and fiber-
glass are poor conductors. Gases also are poor conductors because the separation dis-
tance  between  the  particles  is  so  great.  Metals  are  good  thermal  conductors  because
they  contain  large  numbers  of  electrons  that  are  relatively  free  to  move  through  the
metal  and  so  can  transport  energy  over  large  distances.  Thus,  in  a  good  conductor,
such as copper, conduction takes place by means of both the vibration of atoms and
the motion of free electrons.

Conduction occurs only if there is a difference in temperature between two parts of

the  conducting  medium.  Consider  a  slab  of  material  of  thickness  #x and  cross-sec-
tional area A. One face of the slab is at a temperature T

c

, and the other face is at a tem-

perature T

h

(

T

c

(Fig. 20.10). Experimentally, it is found that the energy Q transfers in

a time interval #t from the hotter face to the colder one. The rate ! ! Q /#t at which
this energy transfer occurs is found to be proportional to the cross-sectional area and
the temperature difference #T ! T

h

&

T

c

, and inversely proportional to the thickness:

'

S E C T I O N   2 0 . 7     •     Energy Transfer Mechanisms

623

(C)

What is the increase in internal energy of the copper bar?

Solution From the first law of thermodynamics, we have

! 1.2 % 10

4

 J

#

E

int

!

Q " W ! 1.2 % 10

4

 J " (&1.7 % 10

&

2

 J)

Note  that  almost  all  of  the  energy  transferred  into  the
system  by  heat  goes  into  increasing  the  internal  energy  of
the copper bar. The fraction of energy used to do work on
the  surrounding  atmosphere  is  only  about  10

&

6

!  Hence,

when  the  thermal  expansion  of  a  solid  or  a  liquid  is  ana-
lyzed, the small amount of work done on or by the system is
usually ignored.

A pan of boiling water sits on a

stove burner. Energy enters the

water through the bottom of the

pan by thermal conduction.

Charles D. Winters

T

c

Energy transfer

for T

h 

> T

c

T

h

A

∆x

Figure 20.10 Energy transfer

through a conducting slab with a

cross-sectional area A and a

thickness #x. The opposite faces

are at different temperatures

T

c

and T

h

.

Note that ! has units of watts when Q is in joules and #t is in seconds. This is not

surprising because ! is power—the rate of energy transfer by heat. For a slab of infini-
tesimal thickness dx and temperature difference dT, we can write the 

law of thermal

conduction as

(20.14)

where  the  proportionality  constant  k is  the 

thermal  conductivity of  the  material

and |dT/dx | is the 

temperature gradient (the rate at which temperature varies with

position).

Suppose that a long, uniform rod of length L is thermally insulated so that energy

cannot escape by heat from its surface except at the ends, as shown in Figure 20.11.
One  end  is  in  thermal  contact  with  an  energy  reservoir  at  temperature  T

c

,  and  the

other end is in thermal contact with a reservoir at temperature T

h

(

T

c

. When a steady

state  has  been  reached,  the  temperature  at  each  point  along  the  rod  is  constant  in
time. In this case if we assume that k is not a function of temperature, the temperature
gradient is the same everywhere along the rod and is

&

dT

dx

&

!

T

h

&

T

c

L

! !

kA

 

&

dT

dx

&

! !

Q

#

t

 . A 

 

#

T

#

x

624

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

Law of thermal conduction

T

h

Insulation

T

h 

> T

c

T

c

L

Energy

transfer

Figure 20.11 Conduction of

energy through a uniform,

insulated rod of length L. The

opposite ends are in thermal

contact with energy reservoirs at

different temperatures.

Thermal Conductivities

Table 20.3

Thermal Conductivity 

Substance

(W/m ! °C)

Metals (at 25°C)

Aluminum

238

Copper

397

Gold

314

Iron

79.5

Lead

34.7

Silver

427

Nonmetals 

(approximate values)

Asbestos

0.08

Concrete

0.8

Diamond

2 300

Glass

0.8

Ice

2

Rubber

0.2

Water

0.6

Wood

0.08

Gases (at 20°C)

Air

0.023 4

Helium

0.138

Hydrogen

0.172

Nitrogen

0.023 4

Oxygen

0.023 8