Physics For Scientists And Engineers 6E - part 157

Thus the rate of energy transfer by conduction through the rod is

(20.15)

Substances that are good thermal conductors have large thermal conductivity val-

ues, whereas good thermal insulators have low thermal conductivity values. Table 20.3
lists thermal conductivities for various substances. Note that metals are generally better
thermal conductors than nonmetals.

For  a  compound  slab  containing  several  materials  of  thicknesses  L

1

,  L

2

,  .  .  .  and

thermal conductivities k

1

, k

2

, . . . , the rate of energy transfer through the slab at steady

state is

(20.16)

where T

c

and T

h

are the temperatures of the outer surfaces (which are held constant)

and the summation is over all slabs. Example 20.9 shows how this equation results from
a consideration of two thicknesses of materials.

! !

A(T

h

&

T

c

)

'

i

(L

i

/k

i

)

! !

k

 

A 

$

T

h

&

T

c

L

%

S E C T I O N   2 0 . 7     •     Energy Transfer Mechanisms

625

Example 20.9 Energy Transfer Through Two Slabs

Two slabs of thickness L

1

and L

2

and thermal conductivities

k

1

and k

2

are in thermal contact with each other, as shown

in  Figure  20.12.  The  temperatures  of  their  outer  surfaces
are T

c

and T

h

, respectively, and T

h

(

T

c

. Determine the tem-

perature at the interface and the rate of energy transfer by
conduction through the slabs in the steady-state condition.

Solution To conceptualize this problem, notice the phrase
“in  the  steady-state  condition.”  We  interpret  this  to  mean
that  energy  transfers  through  the  compound  slab  at  the
same rate at all points. Otherwise, energy would be building
up or disappearing at some point. Furthermore, the temper-
ature  will  vary  with  position  in  the  two  slabs,  most  likely  at
different  rates  in  each  part  of  the  compound  slab.  Thus,
there  will  be  some  fixed  temperature  T at  the  interface

when  the  system  is  in  steady  state.  We  categorize  this  as  a
thermal conduction problem and impose the condition that
the power is the same in both slabs of material. To analyze
the  problem,  we  use  Equation  20.15  to  express  the  rate  at
which energy is transferred through slab 1:

The rate at which energy is transferred through slab 2 is

When  a  steady  state  is  reached,  these  two  rates  must  be
equal; hence,

Solving for T gives

(3)

T !

Substituting Equation (3) into either Equation (1) or Equa-
tion (2), we obtain

(4)

! !

To finalize this problem, note that extension of this proce-
dure to several slabs of materials leads to Equation 20.16.

A(T

h

&

T

c

)

(L

1

/k

1

) " (L

2

/k

2

)

k

1

L

2

T

c

"

k

2

L

1

T

h

k

1

L

2

"

k

2

L

1

k

1

A 

$

T & T

c

L

1

%

!

k

2

A 

$

T

h

&

T

L

2

%

(2)

     

!

2

!

k

2

A 

$

T

h

&

T

L

2

%

(1)

     

!

1

!

k

1

A 

$

T & T

c

L

1

%

L

 

2

L

 

1

T

 

h

k

 

2

k

 

1

T

 

c

T

Figure 20.12 (Example 20.9) Energy transfer by conduction

through two slabs in thermal contact with each other. At steady

state, the rate of energy transfer through slab 1 equals the rate

of energy transfer through slab 2.

Home Insulation

In engineering practice, the term L/k for a particular substance is referred to as the 

R

value of the material. Thus, Equation 20.16 reduces to

(20.17)

where R

i

!

L

i

/k

i

. The R values for a few common building materials are given in Table

20.4. In the United States, the insulating properties of materials used in buildings are
usually expressed in U.S. customary units, not SI units. Thus, in Table 20.4, measure-
ments of R values are given as a combination of British thermal units, feet, hours, and
degrees Fahrenheit.

At any vertical surface open to the air, a very thin stagnant layer of air adheres to

the surface. One must consider this layer when determining the R value for a wall.
The thickness of this stagnant layer on an outside wall depends on the speed of the
wind.  Energy  loss  from  a  house  on  a  windy  day  is  greater  than  the  loss  on  a  day
when the air is calm. A representative R value for this stagnant layer of air is given in
Table 20.4.

! !

A(T

h

&

T

c

)

'

i

R

i

626

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

What  If?

Suppose  you  are  building  an  insulated  container

with two layers of insulation and the rate of energy transfer de-
termined  by  Equation  (4)  turns  out  to  be  too  high.  You  have
enough room to increase the thickness of one of the two lay-
ers by 20%. How would you decide which layer to choose?

Answer To  decrease  the  power  as  much  as  possible,  you
must increase the denominator in Equation (4) as much as

possible. Whichever thickness you choose to increase, L

1

or

L

2

, you will increase the corresponding term L/k in the de-

nominator by 20%. In order for this percentage change to
represent  the  largest  absolute  change,  you  want  to  take
20%  of  the  larger  term.  Thus,  you  should  increase  the
thickness of the layer that has the larger value of L/k.

Energy is conducted from the

inside to the exterior more rapidly

on the part of the roof where the

snow has melted. The dormer

appears to have been added and

insulated. The main roof does not

appear to be well insulated.

Courtesy of Dr

. Albert A. Bartlett, University of Colorado, Boulder

Quick Quiz 20.7

Will an ice cube wrapped in a wool blanket remain frozen

for (a) a shorter length of time (b) the same length of time (c) a longer length of time
than an identical ice cube exposed to air at room temperature?

Quick  Quiz  20.8

You  have  two  rods  of  the  same  length  and  diameter  but

they are formed from different materials. The rods will be used to connect two regions
of different temperature such that energy will transfer through the rods by heat. They
can be connected in series, as in Figure 20.13a, or in parallel, as in Figure 20.13b. In
which case is the rate of energy transfer by heat larger? (a) when the rods are in series
(b) when the rods are in parallel (c) The rate is the same in both cases.

T

h

T

c

Rod 1

Rod 2

(a)

T

h

T

c

Rod 1

Rod 2

(b)

Figure 20.13 (Quick Quiz 20.8) In which case is the rate of energy transfer larger?

Convection

At one time or another, you probably have warmed your hands by holding them over
an open flame. In this situation, the air directly above the flame is heated and expands.
As a result, the density of this air decreases and the air rises. This hot air warms your

S E C T I O N   2 0 . 7     •     Energy Transfer Mechanisms

627

Example 20.10 The R Value of a Typical Wall

Calculate the total R value for a wall constructed as shown in
Figure 20.14a. Starting outside the house (toward the front
in the figure) and moving inward, the wall consists of 4 in.
of brick, 0.5 in. of sheathing, an air space 3.5 in. thick, and
0.5 in. of drywall. Do not forget the stagnant air layers inside
and outside the house.

Solution Referring to Table 20.4, we find that

R

1

(outside stagnant air layer) ! 0.17 ft

2

$

°F $ h/Btu

R

2

(brick)

!

4.00 ft

2

$

°F $ h/Btu

R

3

(sheathing)

!

1.32 ft

2

$

°F $ h/Btu

R

4

(air space)

!

1.01 ft

2

$

°F $ h/Btu

R

5

(drywall)

!

0.45 ft

2

$

°F $ h/Btu

R

6

(inside stagnant air layer) ! 0.17 ft

2

$

°F $ h/Btu

R

total

!

What  If?

You  are  not  happy  with  this  total  R value  for  the

wall. You cannot change the overall structure, but you can fill
the air space as in Figure 20.14b. What material should you

7.12 ft

2

$ )

F$h/Btu

choose  to  fill  the  air  space  in  order  to  maximize the  total
R value?

Answer Looking at Table 20.4, we see that 3.5 in. of fiber-
glass insulation is over ten times as effective at insulating the
wall  as  3.5 in.  of  air.  Thus,  we  could  fill  the  air  space  with
fiberglass  insulation.  The  result  is  that  we  add  10.90
ft

2

$

°F $ h/Btu of R value and we lose 1.01 ft

2

$

°F $ h/Btu due

to the air space we have replaced, for a total change of 10.90
ft

2

$

°F $ h/Btu & 1.01 ft

2

$

°F $ h/Btu ! 9.89 ft

2

$

°F $ h/Btu.

The  new  total  R value  is  7.12 ft

2

$

°F $ h/Btu " 9.89

ft

2

$

°F $ h/Btu ! 17.01 ft

2

$

°F $ h/Btu.

R Values for Some Common Building Materials

Table 20.4

R value 

Material

(ft

2

!

°

F !

h/Btu)

Hardwood siding (1 in. thick)

0.91

Wood shingles (lapped)

0.87

Brick (4 in. thick)

4.00

Concrete block (filled cores)

1.93

Fiberglass insulation (3.5 in. thick)

10.90

Fiberglass insulation (6 in. thick)

18.80

Fiberglass board (1 in. thick)

4.35

Cellulose fiber (1 in. thick)

3.70

Flat glass (0.125 in. thick)

0.89

Insulating glass (0.25-in. space)

1.54

Air space (3.5 in. thick)

1.01

Stagnant air layer

0.17

Drywall (0.5 in. thick)

0.45

Sheathing (0.5 in. thick)

1.32

Sheathing

Insulation

Brick

Air

space

(a)

(b)

Dry wall

Figure 20.14 (Example 20.10) An exterior house wall

containing (a) an air space and (b) insulation.

Interactive

Study  the  R  values  of  various  types  of  common  building  materials  at  the  Interactive  Worked  Example  link  at
http://www.pse6.com.

hands as it flows by. 

Energy transferred by the movement of a warm substance is

said  to  have  been  transferred  by  convection. When  the  movement  results  from
differences in density, as with air around a fire, it is referred to as natural convection. Air
flow at a beach is an example of natural convection, as is the mixing that occurs as sur-
face water in a lake cools and sinks (see Section 19.4). When the heated substance is
forced to move by a fan or pump, as in some hot-air and hot-water heating systems, the
process is called forced convection.

If it were not for convection currents, it would be very difficult to boil water. As wa-

ter is heated in a teakettle, the lower layers are warmed first. This water expands and
rises to the top because its density is lowered. At the same time, the denser, cool water
at the surface sinks to the bottom of the kettle and is heated.

The  same  process  occurs  when  a  room  is  heated  by  a  radiator.  The  hot  radiator

warms the air in the lower regions of the room. The warm air expands and rises to the
ceiling because of its lower density. The denser, cooler air from above sinks, and the
continuous air current pattern shown in Figure 20.15 is established.

Radiation

The  third  means  of  energy  transfer  that  we  shall  discuss  is 

radiation. All  objects 

radiate  energy  continuously  in  the  form  of  electromagnetic  waves  (see  Chapter  34)
produced  by  thermal  vibrations  of  the  molecules.  You  are  likely  familiar  with 
electromagnetic  radiation  in  the  form  of  the  orange  glow  from  an  electric  stove
burner, an electric space heater, or the coils of a toaster.

The rate at which an object radiates energy is proportional to the fourth power of

its absolute temperature. This is known as 

Stefan’s law and is expressed in equation

form as

(20.18)

where ! is the power in watts radiated from the surface of the object, / is a constant
equal to 5.669 6 % 10

&

8

W/m

2

$

K

4

, A is the surface area of the object in square me-

ters, e is the 

emissivity, and T is the surface temperature in kelvins. The value of e can

vary between zero and unity, depending on the properties of the surface of the object.
The emissivity is equal to the 

absorptivity, which is the fraction of the incoming radia-

tion that the surface absorbs.

Approximately  1 340 J  of  electromagnetic  radiation  from  the  Sun  passes 

perpendicularly through each 1 m

2

at the top of the Earth’s atmosphere every second.

This  radiation  is  primarily  visible  and  infrared  light  accompanied  by  a  significant
amount  of  ultraviolet  radiation.  We  shall  study  these  types  of  radiation  in  detail  in
Chapter 34. Some of this energy is reflected back into space, and some is absorbed by
the atmosphere. However, enough energy arrives at the surface of the Earth each day
to supply all our energy needs on this planet hundreds of times over—if only it could
be captured and used efficiently. The growth in the number of solar energy–powered
houses built in this country reflects the increasing efforts being made to use this abun-
dant energy. Radiant energy from the Sun affects our day-to-day existence in a number
of  ways.  For  example,  it  influences  the  Earth’s  average  temperature,  ocean  currents,
agriculture, and rain patterns.

What happens to the atmospheric temperature at night is another example of the

effects of energy transfer by radiation. If there is a cloud cover above the Earth, the wa-
ter vapor in the clouds absorbs part of the infrared radiation emitted by the Earth and
re-emits it back to the surface. Consequently, temperature levels at the surface remain
moderate. In the absence of this cloud cover, there is less in the way to prevent this ra-
diation  from  escaping  into  space;  thus  the  temperature  decreases  more  on  a  clear
night than on a cloudy one.

As an object radiates energy at a rate given by Equation 20.18, it also absorbs elec-

tromagnetic radiation. If the latter process did not occur, an object would eventually

! ! /

AeT

4

628

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

Figure 20.15 Convection currents

are set up in a room warmed by a

radiator.

Stefan’s law