Physics For Scientists And Engineers 6E - part 155

The energy transfer Q into or out of a system by heat also depends on the process.

Consider the situations depicted in Figure 20.6. In each case, the gas has the same ini-
tial volume, temperature, and pressure, and is assumed to be ideal. In Figure 20.6a, the
gas is thermally insulated from its surroundings except at the bottom of the gas-filled
region, where it is in thermal contact with an energy reservoir. An energy reservoir is a
source of energy that is considered to be so great that a finite transfer of energy to or
from the reservoir does not change its temperature. The piston is held at its initial po-
sition by an external agent—a hand, for instance. When the force holding the piston is
reduced slightly, the piston rises very slowly to its final position. Because the piston is
moving upward, the gas is doing work on the piston. During this expansion to the final
volume V

f

, just enough energy is transferred by heat from the reservoir to the gas to

maintain a constant temperature T

i

.

Now  consider  the  completely  thermally  insulated  system  shown  in  Figure  20.6b.

When the membrane is broken, the gas expands rapidly into the vacuum until it occu-
pies a volume V

f

and is at a pressure P

f

. In this case, the gas does no work because it

does not apply a force—no force is required to expand into a vacuum. Furthermore,
no energy is transferred by heat through the insulating wall.

The initial and final states of the ideal gas in Figure 20.6a are identical to the initial

and final states in Figure 20.6b, but the paths are different. In the  first case, the gas
does work on the piston, and energy is transferred slowly to the gas by heat. In the sec-
ond  case,  no  energy  is  transferred  by  heat,  and  the  value  of  the  work  done  is  zero.
Therefore, we conclude that 

energy transfer by heat, like work done, depends on

the initial, final, and intermediate states of the system. In other words, because
heat and work depend on the path, neither quantity is determined solely by the end
points of a thermodynamic process.

S E C T I O N   2 0 . 4     •     Work and Heat in Thermodynamic Processes

617

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can choose one of the three

paths and see the movement of

the piston in Figure 20.3 and of

a point on the PV diagram in

this figure.

f

P

f

P

i

V

V

i

V

f

P

i

(a)

f

P

f

P

i

V

V

i

V

f

P

i

(b)

f

P

f

P

i

V

V

i

V

f

P

i

(c)

Active Figure 20.5 The work done on a gas as it is taken from an initial state to a

final state depends on the path between these states.

Energy reservoir

at T

i

Gas at T

i

(a)

Insulating

wall

Final

position

Initial

position

Insulating

wall

Gas at T

i

(b)

Membrane

Vacuum

Figure 20.6 (a) A gas at

temperature T

i

expands slowly

while absorbing energy from a

reservoir in order to maintain a

constant temperature. (b) A gas

expands rapidly into an evacuated

region after a membrane is

broken.

20.5 The First Law of Thermodynamics

When we introduced the law of conservation of energy in Chapter 7, we stated that the
change in the energy of a system is equal to the sum of all transfers of energy across
the boundary of the system. The first law of thermodynamics is a special case of the law
of  conservation  of  energy  that  encompasses  changes  in  internal  energy  and  energy
transfer by heat and work. It is a law that can be applied to many processes and pro-
vides a connection between the microscopic and macroscopic worlds.

We have discussed two ways in which energy can be transferred between a system

and its surroundings. One is work done on the system, which requires that there be a
macroscopic  displacement  of  the  point  of  application  of  a  force.  The  other  is  heat,
which occurs on a molecular level whenever a temperature difference exists across the
boundary of the system. Both mechanisms result in a change in the internal energy of
the system and therefore usually result in measurable changes in the macroscopic vari-
ables of the system, such as the pressure, temperature, and volume of a gas.

To better understand these ideas on a quantitative basis, suppose that a system un-

dergoes a change from an initial state to a final state. During this change, energy trans-
fer by heat Q to the system occurs, and work W is done on the system. As an example,
suppose that the system is a gas in which the pressure and volume change from P

i

and

V

i

to P

f

and V

f

. If the quantity Q " W is measured for various paths connecting the ini-

tial and final equilibrium states, we find that it is the same for all paths connecting the
two states. We conclude that the quantity Q " W is determined completely by the ini-
tial and final states of the system, and we call this quantity the 

change in the internal

energy of  the  system.  Although  Q and  W both  depend  on  the  path,  the  quantity
Q " W is independent of the path. If we use the symbol E

int

to represent the internal

energy, then the change in internal energy #E

int

can be expressed as

5

(20.9)

where all quantities must have the same units of measure for energy. Equation 20.9 is
known as the 

first law of thermodynamics. One of the important consequences of

the first law of thermodynamics is that there exists a quantity known as internal energy
whose value is determined by the state of the system. The internal energy is therefore a
state variable like pressure, volume, and temperature.

When a system undergoes an infinitesimal change in state in which a small amount

of energy dQ is transferred by heat and a small amount of work dW is done, the inter-
nal energy changes by a small amount dE

int

. Thus, for infinitesimal processes we can

express the first law as

6

dE

int

!

dQ " dW

The first law of thermodynamics is an energy conservation equation specifying that

the only type of energy that changes in the system is the internal energy E

int

. Let us

investigate some special cases in which this condition exists. 

First,  consider  an  isolated  system—that  is,  one  that  does  not  interact  with  its  sur-

roundings. In this case, no energy transfer by heat takes place and the work done on

#

E

int

!

Q " W

618

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

▲

PITFALL PREVENTION

20.8 Dual Sign

Conventions

Some  physics  and  engineering
textbooks present the first law as
#

E

int

!

Q & W, with a minus sign

between  the  heat  and  work.  The
reason for this is that work is de-
fined  in  these  treatments  as  the
work done by the gas rather than
on the  gas,  as  in  our  treatment.
The equivalent equation to Equa-
tion  20.8  in  these  treatments  de-
fines  work  as  W !

.  Thus,

if  positive  work  is  done  by  the
gas,  energy  is  leaving  the  system,
leading  to  the  negative  sign  in
the first law.

In your studies in other chem-

istry or engineering courses, or in
your reading of other physics text-
books, be sure to note which sign
convention  is  being  used  for  the
first law.

"

V

f

V

i

 

P

 

dV

First law of thermodynamics

5

It is an unfortunate accident of history that the traditional symbol for internal energy is U, which is

also  the  traditional  symbol  for  potential  energy,  as  introduced  in  Chapter  8.  To  avoid  confusion
between potential energy and internal energy, we use the symbol E

int

for internal energy in this book. If

you take an advanced course in thermodynamics, however, be prepared to see U used as the symbol for
internal energy.

6

Note that dQ and dW are not true differential quantities because Q and W are not state variables;

however, dE

int

is. Because dQ and dW are inexact differentials, they are often represented by the symbols

d–Q and  d–W.  For  further  details  on  this  point,  see  an  advanced  text  on  thermodynamics,  such  as
R. P. Bauman,  Modern  Thermodynamics  and  Statistical  Mechanics,  New  York,  Macmillan  Publishing  Co.,
1992.

the  system  is  zero;  hence,  the  internal  energy  remains  constant.  That  is,  because
Q ! W ! 0,  it  follows  that  #E

int

!

0,  and  thus  E

int, i

!

E

int,  f

. We  conclude  that 

the

internal energy E

int

of an isolated system remains constant.

Next, consider the case of a system (one not isolated from its surroundings) that is

taken  through  a 

cyclic  process—that  is,  a  process  that  starts  and  ends  at  the  same

state. In this case, the change in the internal energy must again be zero, because E

int

is

a state variable, and therefore the energy Q added to the system must equal the nega-
tive of the work W done on the system during the cycle. That is, in a cyclic process,

#

E

int

!

0

and

Q ! &W

(cyclic process)

On a PV diagram, a cyclic process appears as a closed curve. (The processes described in
Figure 20.5 are represented by open curves because the initial and final states differ.) It
can be shown that 

in a cyclic process, the net work done on the system per cycle

equals the area enclosed by the path representing the process on a PV diagram.

20.6 Some Applications of the First Law 

of Thermodynamics

The first law of thermodynamics that we discussed in the preceding section relates the
changes in internal energy of a system to transfers of energy by work or heat. In this
section,  we  consider  applications  of  the  first  law  to  processes  through  which  a  gas  is
taken. As a model, we consider the sample of gas contained in the piston–cylinder ap-
paratus in Figure 20.7. This figure shows work being done on the gas and energy trans-
ferring in by heat, so the internal energy of the gas is rising. In the following discussion
of various processes, refer back to this figure and mentally alter the directions of the
transfer of energy so as to reflect what is happening in the process.

Before we apply the first law of thermodynamics to specific systems, it is useful to

first  define  some  idealized  thermodynamic  processes.  An 

adiabatic  process is  one

during which no energy enters or leaves the system by heat—that is, Q ! 0. An adia-
batic  process  can  be  achieved  either  by  thermally  insulating  the  walls  of  the  system,
such as the cylinder in Figure 20.7, or by performing the process rapidly, so that there
is negligible time for energy to transfer by heat. Applying the first law of thermodynam-
ics to an adiabatic process, we see that

#

E

int

!

W

(adiabatic process)

(20.10)

From this result, we see that if a gas is compressed adiabatically such that W is positive,
then #E

int

is positive and the temperature of the gas increases. Conversely, the temper-

ature of a gas decreases when the gas expands adiabatically.

Adiabatic processes are very important in engineering practice. Some common ex-

amples are the expansion of hot gases in an internal combustion engine, the liquefac-
tion of gases in a cooling system, and the compression stroke in a diesel engine.

The  process  described  in  Figure  20.6b,  called  an 

adiabatic  free  expansion, is

unique. The process is adiabatic because it takes place in an insulated container. Be-
cause the gas expands into a vacuum, it does not apply a force on a piston as was de-
picted  in  Figure  20.6a,  so  no  work  is  done  on  or  by  the  gas.  Thus,  in  this  adiabatic
process, both Q ! 0 and W ! 0. As a result, #E

int

!

0 for this process, as we can see

from the first law. That is, 

the initial and final internal energies of a gas are equal

in an adiabatic free expansion. As we shall see in the next chapter, the internal en-
ergy of an ideal gas depends only on its temperature. Thus, we expect no change in
temperature during an adiabatic free expansion. This prediction is in accord with the
results  of  experiments  performed  at  low  pressures.  (Experiments  performed  at  high
pressures for real gases show a slight change in temperature after the expansion. This
change  is  due  to  intermolecular  interactions,  which  represent  a  deviation  from  the
model of an ideal gas.)

S E C T I O N   2 0 . 6     •     Some Applications of the First Law of Thermodynamics

619

▲

PITFALL PREVENTION

20.9 The First Law

With  our  approach  to  energy  in
this book, the first law of thermo-
dynamics  is  a  special  case  of
Equation  7.17.  Some  physicists
argue that the first law is the gen-
eral  equation  for  energy  conser-
vation,  equivalent  to  Equation
7.17.  In  this  approach,  the  first
law  is  applied  to  a  closed  system
(so that there is no matter trans-
fer),  heat  is  interpreted  so  as  to
include  electromagnetic  radia-
tion,  and  work  is  interpreted  so
as  to  include  electrical  transmis-
sion  (“electrical  work”)  and  me-
chanical 

waves 

(“molecular

work”).  Keep  this  in  mind  if  you
run  across  the  first  law  in  your
reading of other physics books.

P

A

V

Q

W

∆ E

int

Active Figure 20.7 The first law of

thermodynamics equates the

change in internal energy E

int

in a

system to the net energy transfer to

the system by heat Q and work W.

In the situation shown here, the

internal energy of the gas

increases.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can choose one of the four

processes for the gas

discussed in this section and

see the movement of the piston

and of a point on a PV diagram.

A  process  that  occurs  at  constant  pressure  is  called  an 

isobaric  process. In  Figure

20.7, an isobaric process could be established by allowing the piston to move freely so that
it is always in equilibrium between the net force from the gas pushing upward and the
weight of the piston plus the force due to atmospheric pressure pushing downward. In
Figure 20.5, the first process in part (a) and the second process in part (b) are isobaric.

In such a process, the values of the heat and the work are both usually nonzero.

The work done on the gas in an isobaric process is simply

W ! & P(V

f

&

V

i

)

(isobaric process)

(20.11)

where P is the constant pressure.

A process that takes place at constant volume is called an 

isovolumetric process.

In Figure 20.7, clamping the piston at a fixed position would ensure an isovolumetric
process. In Figure 20.5, the second process in part (a) and the first process in part (b)
are isovolumetric.

In such a process, the value of the work done is zero because the volume does not

change. Hence, from the first law we see that in an isovolumetric process, because W ! 0,

#

E

int

!

Q

(isovolumetric process)

(20.12)

This expression specifies that 

if energy is added by heat to a system kept at con-

stant volume, then all of the transferred energy remains in the system as an in-
crease in its internal energy. For example, when a can of spray paint is thrown into a
fire, energy enters the system (the gas in the can) by heat through the metal walls of
the  can.  Consequently,  the  temperature,  and  thus  the  pressure,  in  the  can  increases
until the can possibly explodes.

A process that occurs at constant temperature is called an 

isothermal process. In

Figure 20.7, this process can be established by immersing the cylinder in Figure 20.7 in
an ice-water bath or by putting the cylinder in contact with some other constant-tem-
perature reservoir. A plot of P versus V at constant temperature for an ideal gas yields a
hyperbolic curve called an isotherm. The internal energy of an ideal gas is a function of
temperature  only.  Hence,  in  an  isothermal  process  involving  an  ideal  gas,  #E

int

!

0.

For an isothermal process, then, we conclude from the first law that the energy transfer
Q must be equal to the negative of the work done on the gas—that is, Q ! &W. Any
energy that enters the system by heat is transferred out of the system by work; as a re-
sult, no change in the internal energy of the system occurs in an isothermal process.

Isothermal Expansion of an Ideal Gas

Suppose that an ideal gas is allowed to expand quasi-statically at constant temperature.
This process is described by the PV diagram shown in Figure 20.8. The curve is a hyper-
bola (see Appendix B, Eq. B.23), and the ideal gas law with T constant indicates that
the equation of this curve is PV ! constant. 

620

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

Isobaric process

Isovolumetric process

Isothermal process

Quick Quiz 20.5

In the last three columns of the following table, fill in the

boxes with &, ", or 0. For each situation, the system to be considered is identified.

Situation

System

Q

W

#

E

int

(a) Rapidly pumping up 

Air in the pump

a bicycle tire

(b) Pan of room-temperature

Water in the pan

water sitting on a hot stove

(c) Air quickly leaking out 

Air originally in the 

of a balloon

balloon

▲

PITFALL PREVENTION

20.10 Q Y 0 in an

Isothermal Process

Do not fall into the common trap
of thinking that there must be no
transfer  of  energy  by  heat  if  the
temperature does not change, as
is  the  case  in  an  isothermal
process.  Because  the  cause  of
temperature  change  can  be  ei-
ther  heat  or work,  the  tempera-
ture  can  remain  constant  even  if
energy  enters  the  gas  by  heat.
This  can  only  happen  if  the  en-
ergy  entering  the  gas  by  heat
leaves by work.