Physics For Scientists And Engineers 6E - part 153

For example, the energy required to raise the temperature of 0.500 kg of water by 3.00°C
is (0.500 kg)(4 186 J/kg $ °C)(3.00°C) ! 6.28 % 10

3

J. Note that when the temperature in-

creases, Q and #T are taken to be positive, and energy transfers into the system. When the
temperature decreases, Q and #T are negative, and energy transfers out of the system.

Specific heat varies with temperature. However, if temperature intervals are not too

great,  the  temperature  variation  can  be  ignored  and  c can  be  treated  as  a  constant.

2

For example, the specific heat of water varies by only about 1% from 0°C to 100°C at
atmospheric pressure. Unless stated otherwise, we shall neglect such variations.

Measured values of specific heats are found to depend on the conditions of the ex-

periment. In general, measurements made in a constant-pressure process are different
from those made in a constant-volume process. For solids and liquids, the difference
between the two values is usually no greater than a few percent and is often neglected.
Most  of  the  values  given  in  Table  20.1  were  measured  at  atmospheric  pressure  and
room  temperature.  The  specific  heats  for  gases  measured  at  constant  pressure  are
quite different from values measured at constant volume (see Chapter 21).

It is interesting to note from Table 20.1 that water has the highest specific heat of com-

mon materials. This high specific heat is responsible, in part, for the moderate tempera-
tures found near large bodies of water. As the temperature of a body of water decreases
during the winter, energy is transferred from the cooling water to the air by heat, increas-
ing the internal energy of the air. Because of the high specific heat of water, a relatively
large amount of energy is transferred to the air for even modest temperature changes of
the water. The air carries this internal energy landward when prevailing winds are favor-
able. For example, the prevailing winds on the West Coast of the United States are toward
the land (eastward). Hence, the energy liberated by the Pacific Ocean as it cools keeps
coastal areas much warmer than they would otherwise be. This explains why the western
coastal states generally have more favorable winter weather than the eastern coastal states,
where the prevailing winds do not tend to carry the energy toward land.

Conservation of Energy: Calorimetry

One technique for measuring specific heat involves heating a sample to some known
temperature T

x

, placing it in a vessel containing water of known mass and temperature

T

w

'

T

x

,  and  measuring  the  temperature  of  the  water  after  equilibrium  has  been

reached. This technique is called 

calorimetry, and devices in which this energy trans-

fer  occurs  are  called 

calorimeters. If  the  system  of  the  sample  and  the  water  is  iso-

lated,  the  law  of  the  conservation  of  energy  requires  that  the  amount  of  energy  that
leaves the sample (of unknown specific heat) equal the amount of energy that enters
the water.

3

S E C T I O N   2 0 . 2     •     Specific Heat and Calorimetry

609

2

The  definition  given  by  Equation  20.3  assumes  that  the  specific  heat  does  not  vary  with

temperature  over  the  interval  #T ! T

f

&

T

i

.  In  general,  if  c varies  with  temperature  over  the  inter-

val, then the correct expression for Q is 

3

For precise measurements, the water container should be included in our calculations because it

also  exchanges  energy  with  the  sample.  Doing  so  would  require  a  knowledge  of  its  mass  and
composition,  however.  If  the  mass  of  the  water  is  much  greater  than  that  of  the  container,  we  can
neglect the effects of the container.

Q ! m

 

"

T

f

T

i

c dT.

Quick Quiz 20.1

Imagine you have 1 kg each of iron, glass, and water, and

that all three samples are at 10°C. Rank the samples from lowest to highest tempera-
ture after 100 J of energy is added to each sample.

Quick Quiz 20.2

Considering the same samples as in Quick Quiz 20.1, rank

them  from  least  to  greatest  amount  of  energy  transferred  by  heat  if  each  sample  in-
creases in temperature by 20°C.

▲

PITFALL PREVENTION

20.4 Energy Can Be

Transferred by Any
Method

We  will  use  Q to  represent  the
amount  of  energy  transferred,
but keep in mind that the energy
transfer  in  Equation  20.4  could
be  by  any of  the  methods  intro-
duced  in  Chapter  7;  it  does  not
have to be heat. For example, re-
peatedly  bending  a  coat  hanger
wire raises the temperature at the
bending point by work.

Conservation of energy allows us to write the mathematical representation of this

energy statement as

Q

cold

! &

Q

hot

(20.5)

The  negative  sign  in  the  equation  is  necessary  to  maintain  consistency  with  our  sign
convention for heat. 

Suppose m

x

is the mass of a sample of some substance whose specific heat we wish

to determine. Let us call its specific heat c

x

and its initial temperature T

x

. Likewise, let

m

w

, c

w

, and T

w

represent corresponding values for the water. If T

f

is the final equilib-

rium temperature after everything is mixed, then from Equation 20.4, we find that the
energy transfer for the water is m

w

c

w

(T

f

&

T

w

), which is positive because T

f

(

T

w

, and

that  the  energy  transfer  for  the  sample  of  unknown  specific  heat  is  m

x

c

x

(T

f

&

T

x

),

which is negative. Substituting these expressions into Equation 20.5 gives

m

w

c

w

(T

f

&

T

w

) ! &m

x

c

x

(T

f

&

T

x

)

Solving for c

x

gives

c

x

!

m

w

c

w

 

(T

f

&

T

w

)

m

x

 

(T

x

&

T

f

)

610

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

Example 20.2 Cooling a Hot Ingot

A  0.050 0-kg  ingot  of  metal  is  heated  to  200.0°C  and  then
dropped into a beaker containing 0.400 kg of water initially
at 20.0°C. If the final equilibrium temperature of the mixed
system is 22.4°C, find the specific heat of the metal.

Solution According to Equation 20.5, we can write

m

w

c

w

(T

f

&

T

w

) ! & m

x

c

x

(T

f

&

T

x

)

(0.400 kg)(4 186 J/kg $ °C)(22.4°C & 20.0°C)

! &

(0.050 0 kg)(c

x

)(22.4°C & 200.0°C)

From this we find that

The  ingot  is  most  likely  iron,  as  we  can  see  by  comparing
this  result  with  the  data  given  in  Table  20.1.  Note  that  the
temperature  of  the  ingot  is  initially  above  the  steam  point.
Thus, some of the water may vaporize when we drop the in-

453 J/kg$)C

c

x

!

got into the water. We assume that we have a sealed system
and that this steam cannot escape. Because the final equilib-
rium temperature is lower than the steam point, any steam
that does result recondenses back into water.

What If?

Suppose you are performing an experiment in the

laboratory that uses this technique to determine the specific
heat of a sample and you wish to decrease the overall uncer-
tainty in your final result for c

x

. Of the data given in the text of

this example, changing which value would be most effective
in decreasing the uncertainty?

Answer The largest experimental uncertainty is associated
with the small temperature difference of 2.4°C for T

f

&

T

w

.

For  example,  an  uncertainty  of  0.1°C  in  each  of  these  two
temperature  readings  leads  to  an  8%  uncertainty  in  their
difference.  In  order  for  this  temperature  difference  to  be
larger experimentally, the most effective change is to decrease
the amount of water.

Example 20.3 Fun Time for a Cowboy

A cowboy fires a silver bullet with a muzzle speed of 200 m/s
into the pine wall of a saloon. Assume that all the internal
energy  generated  by  the  impact  remains  with  the  bullet.
What is the temperature change of the bullet?

Solution The kinetic energy of the bullet is

Because nothing in the environment is hotter than the bul-
let,  the  bullet  gains  no  energy  by  heat.  Its  temperature  in-
creases  because  the  kinetic  energy  is  transformed  to  extra

K !

1

2

 

mv

 

2

internal energy when the bullet is stopped by the wall. The
temperature  change  is  the  same  as  that  which  would  take
place if energy Q ! K were transferred by heat from a stove
to the bullet. If we imagine this latter process taking place,
we can calculate #T from Equation 20.4. Using 234 J/kg $ °C
as the specific heat of silver (see Table 20.1), we obtain

Note  that  the  result  does  not  depend  on  the  mass  of  the
bullet.

85.5)C

(1)

     

#

T !

Q

mc

!

K

mc

!

1

2

 

m(200 m/s)

2

m(234 J/kg$)C)

!

▲

PITFALL PREVENTION

20.5 Remember the

Negative Sign

It  is  critical to  include  the  nega-
tive  sign  in  Equation  20.5.  The
negative  sign  in  the  equation  is
necessary  for  consistency  with
our  sign  convention  for  energy
transfer. The energy transfer Q

hot

has  a  negative  value  because  en-
ergy is leaving the hot substance.
The negative sign in the equation
assures that the right-hand side is
a  positive  number,  consistent
with  the  left-hand  side,  which  is
positive  because  energy  is  enter-
ing the cold water.

20.3 Latent Heat

A substance often undergoes a change in temperature when energy is transferred be-
tween it and its surroundings. There are situations, however, in which the transfer of
energy does not result in a change in temperature. This is the case whenever the physi-
cal characteristics of the substance change from one form to another; such a change is
commonly referred to as a 

phase change. Two common phase changes are from solid

to liquid (melting) and from liquid to gas (boiling); another is a change in the crys-
talline structure of a solid. All such phase changes involve a change in internal energy
but no change in temperature. The increase in internal energy in boiling, for example,
is  represented  by  the  breaking  of  bonds  between  molecules  in  the  liquid  state;  this
bond breaking allows the molecules to move farther apart in the gaseous state, with a
corresponding increase in intermolecular potential energy.

As you might expect, different substances respond differently to the addition or re-

moval of energy as they change phase because their internal molecular arrangements
vary.  Also,  the  amount  of  energy  transferred  during  a  phase  change  depends  on  the
amount of substance involved. (It takes less energy to melt an ice cube than it does to
thaw a frozen lake.) If a quantity Q of energy transfer is required to change the phase
of  a  mass  m of  a  substance,  the  ratio  L

! Q/m characterizes  an  important  thermal

property of that substance. Because this added or removed energy does not result in a
temperature  change,  the  quantity  L is  called  the 

latent  heat (literally,  the  “hidden”

heat) of the substance. The value of L for a substance depends on the nature of the
phase change, as well as on the properties of the substance.

From the definition of latent heat, and again choosing heat as our energy transfer

mechanism, we find that the energy required to change the phase of a given mass m of
a pure substance is

Q ! * mL

(20.6)

Latent heat of fusion L

f

is the term used when the phase change is from solid to liq-

uid (to fuse means “to combine by melting”), and 

latent heat of vaporization L

v

is the

term used when the phase change is from liquid to gas (the liquid “vaporizes”).

4

The

latent  heats  of  various  substances  vary  considerably,  as  data  in  Table  20.2  show.  The
positive sign in Equation 20.6 is used when energy enters a system, causing melting or
vaporization. The negative sign corresponds to energy leaving a system, such that the
system freezes or condenses.

To  understand  the  role  of  latent  heat  in  phase  changes,  consider  the  energy

required to convert a 1.00-g cube of ice at & 30.0°C to steam at 120.0°C. Figure 20.2
indicates the experimental results obtained when energy is gradually added to the ice.
Let us examine each portion of the red curve.

S E C T I O N   2 0 . 3     •     Latent Heat

611

What If?

Suppose that the cowboy runs out of silver bul-

lets and fires a lead bullet at the same speed into the wall.
Will  the  temperature  change  of  the  bullet  be  larger  or
smaller?

Answer Consulting  Table  20.1,  we  find  that  the  specific
heat  of  lead  is  128 J/kg $ °C,  which  is  smaller  than  that  for
silver. Thus, a given amount of energy input will raise lead to
a higher temperature than silver and the final temperature

of the lead bullet will be larger. In Equation (1), we substi-
tute the new value for the specific heat:

Note  that  there  is  no  requirement  that  the  silver  and  lead
bullets  have  the  same  mass  to  determine  this  temperature.
The only requirement is that they have the same speed.

#

T !

Q

mc

!

K

mc

!

1

2

 

m(200 m/s)

2

m(128 J/kg$)C)

!

156)C

4

When a gas cools, it eventually condenses—that is, it returns to the liquid phase. The energy given

up per unit mass is called the latent heat of condensation and is numerically equal to the latent heat of
vaporization. Likewise, when a liquid cools, it eventually solidifies, and the latent heat of solidification is
numerically equal to the latent heat of fusion.

Latent heat

▲

PITFALL PREVENTION

20.6 Signs Are Critical

Sign  errors  occur  very  often
when  students  apply  calorimetry
equations,  so  we  will  make  this
point  once  again.  For  phase
changes,  use  the  correct  explicit
sign in Equation 20.6, depending
on whether you are adding or re-
moving  energy  from  the  sub-
stance. In Equation 20.4, there is
no  explicit  sign  to  consider,  but
be sure that your #T is always the
final  temperature  minus  the  ini-
tial  temperature.  In  addition,
make  sure  that  you  always in-
clude  the  negative  sign  on  the
right-hand side of Equation 20.5.

612

C H A P T E R   2 0     •     Heat and the First Law of Thermodynamics

Latent Heats of Fusion and Vaporization

Table 20.2

Latent Heat

Latent Heat of

Melting 

of Fusion

Boiling 

Vaporization

Substance

Point (°C)

( J/kg)

Point (°C)

( J/kg)

Helium

&

269.65

5.23 % 10

3

&

268.93

2.09 % 10

4

Nitrogen

&

209.97

2.55 % 10

4

&

195.81

2.01 % 10

5

Oxygen

&

218.79

1.38 % 10

4

&

182.97

2.13 % 10

5

Ethyl alcohol

&

114

1.04 % 10

5

78

8.54 % 10

5

Water

0.00

3.33 % 10

5

100.00

2.26 % 10

6

Sulfur

119

3.81 % 10

4

444.60

3.26 % 10

5

Lead

327.3

2.45 % 10

4

1 750

8.70 % 10

5

Aluminum

660

3.97 % 10

5

2 450

1.14 % 10

7

Silver

960.80

8.82 % 10

4

2 193

2.33 % 10

6

Gold

1 063.00

6.44 % 10

4

2 660

1.58 % 10

6

Copper

1 083

1.34 % 10

5

1 187

5.06 % 10

6

Part  A. On  this  portion  of  the  curve,  the  temperature  of  the  ice  changes  from
&

30.0°C to 0.0°C. Because the specific heat of ice is 2 090 J/kg $ °C, we can calculate

the amount of energy added by using Equation 20.4:

Q ! m

i

c

i

#

T ! (1.00 % 10

&

3

kg)(2 090 J/kg $ °C)(30.0°C) ! 62.7 J

Part  B. When  the  temperature  of  the  ice  reaches  0.0°C,  the  ice–water  mixture  re-
mains at this temperature—even though energy is being added—until all the ice melts.
The energy required to melt 1.00 g of ice at 0.0°C is, from Equation 20.6,

Q ! m

i

L

f

!

(1.00 % 10

&

3

kg)(3.33 % 10

5

J/kg) ! 333 J

Thus,  we  have  moved  to  the  396 J  (! 62.7 J " 333 J)  mark  on  the  energy  axis  in
Figure 20.2.

Part C. Between 0.0°C and 100.0°C, nothing surprising happens. No phase change
occurs, and so all energy added to the water is used to increase its temperature. The
amount of energy necessary to increase the temperature from 0.0°C to 100.0°C is

Q ! m

w

c

w

#

T ! (1.00 % 10

&

3

kg)(4.19 % 10

3

J/kg $ °C)(100.0°C) ! 419 J

120

90

60

30

0

T (

°C)

B

Ice +

water

Water

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3110

3070

815

396

62.7

Ice

Water + steam

E

Steam

A

D

–30

C

Energy added ( J)

Figure 20.2 A plot of temperature versus energy added when 1.00 g of ice initially at
&

30.0°C is converted to steam at 120.0°C.