Physics For Scientists And Engineers 6E - part 151

Problems

601

The rectangular plate shown in Figure P19.55 has an area
A

i

equal to !w. If the temperature increases by "T, each di-

mension increases according to the equation "L # &L

i

"

T,

where  & is  the  average  coefficient  of  linear  expansion.
Show  that  the  increase  in  area  is  "A # 2&A

i

"

T.  What

approximation does this expression assume?

55.

r

2

r

1

θ

(a)

(b)

Figure P19.54

Charles D. Winters

w

w

  +  ∆w

!

  +  ∆!

!

T

i

T 

+ 

∆T

T

i

Figure P19.55

(a)

T

250 m

T + 20

°C

(b)

y

Figure P19.61 Problems 61 and 62.

below  the  surface,  the  volume  of  the  balloon  at  the  sur-
face, the pressure at the surface, and the density of the wa-
ter.  (Assume  water  temperature  does  not  change  with
depth.) (b) Does the buoyant force increase or decrease as
the balloon is submerged? (c) At what depth is the buoy-
ant force half the surface value?

59.

A copper wire and a lead wire are joined together, end to
end. The compound wire has an effective coefficient of lin-
ear expansion of 20.0 ) 10

!

6

(°C)

!

1

. What fraction of the

length of the compound wire is copper?

60.

Review  problem.  Following  a  collision  in  outer  space,  a
copper disk at 850°C is rotating about its axis with an an-
gular  speed  of  25.0 rad/s.  As  the  disk  radiates  infrared
light,  its  temperature  falls  to  20.0°C.  No  external  torque
acts on the disk. (a) Does the angular speed change as the
disk cools off? Explain why. (b) What is its angular speed at
the lower temperature?

61.

Two concrete spans of a 250-m-long bridge are placed end
to  end  so  that  no  room  is  allowed  for  expansion  (Fig.
P19.61a). If a temperature increase of 20.0°C occurs, what
is  the  height  y to  which  the  spans  rise  when  they  buckle
(Fig. P19.61b)?

56.

Review problem. A clock with a brass pendulum has a period
of 1.000 s at 20.0°C. If the temperature increases to 30.0°C,
(a)  by  how  much  does  the  period  change,  and  (b)  how
much time does the clock gain or lose in one week?

57.

Review  problem.  Consider  an  object  with  any  one  of  the
shapes displayed in Table 10.2. What is the percentage in-
crease  in  the  moment  of  inertia  of  the  object  when  it  is
heated from 0°C to 100°C if it is composed of (a) copper
or  (b)  aluminum?  Assume  that  the  average  linear  expan-
sion coefficients shown in Table 19.1 do not vary between
0°C and 100°C.

58.

(a) Derive an expression for the buoyant force on a spheri-
cal balloon, submerged in water, as a function of the depth

62.

Two concrete spans of a bridge of length L are placed end
to  end  so  that  no  room  is  allowed  for  expansion  (Fig.
P19.61a).  If  a  temperature  increase  of  "T occurs,  what  is
the height y to which the spans rise when they buckle (Fig.
P19.61b)?

63.

(a) Show that the density of an ideal gas occupying a vol-
ume V is given by , # PM/RT, where M is the molar mass.
(b)  Determine  the  density  of  oxygen  gas  at  atmospheric
pressure and 20.0°C.

64.

(a) Use the equation of state for an ideal gas and the defi-
nition of the coefficient of volume expansion, in the form
' #

(1/V ) dV/dT, to show that the coefficient of volume

expansion for an ideal gas at constant pressure is given by
' #

1/T, where T is the absolute temperature. (b) What

value does this expression predict for ' at 0°C? Compare
this result with the experimental values for helium and air
in  Table  19.1.  Note  that  these  are  much  larger  than  the
coefficients  of  volume  expansion  for  most  liquids  and
solids.
Starting with Equation 19.10, show that the total pressure
P in a container filled with a mixture of several ideal gases
is P # P

1

$

P

2

$

P

3

$ + + +

, where P

1

, P

2

, . . . , are the pres-

sures  that  each  gas  would  exert  if  it  alone  filled  the  con-
tainer (these individual pressures are called the partial pres-

65.

602

C H A P T E R   19 •  Temperature

sures of  the  respective  gases).  This  result  is  known  as
Dalton’s law of partial pressures.

66.

A sample of dry air that has a mass of 100.00 g, collected at
sea level, is analyzed and found to consist of the following
gases:

nitrogen (N

2

) # 75.52 g

oxygen (O

2

) # 23.15 g

argon (Ar) # 1.28 g
carbon dioxide (CO

2

) # 0.05 g

plus  trace  amounts  of  neon,  helium,  methane,  and  other
gases. (a) Calculate the partial pressure (see Problem 65)
of each gas when the pressure is 1.013 ) 10

5

Pa. (b) Deter-

mine  the  volume  occupied  by  the  100-g  sample  at  a  tem-
perature  of  15.00°C  and  a  pressure  of  1.00 atm.  What  is
the density of the air for these conditions? (c) What is the
effective molar mass of the air sample?

67.

Helium gas is sold in steel tanks. If the helium is used to
inflate a balloon, could the balloon lift the spherical tank
the helium came in? Justify your answer. Steel will rupture
if subjected to tensile stress greater than its yield strength
of 5 ) 10

8

N/m

2

. Suggestion: You may consider a steel shell

of radius r and thickness t containing helium at high pres-
sure  and  on  the  verge  of  breaking  apart  into  two  hemi-
spheres.

68.

A cylinder that has a 40.0-cm radius and is 50.0 cm deep is
filled  with  air  at  20.0°C  and  1.00 atm  (Fig.  P19.68a).  A
20.0-kg piston is now lowered into the cylinder, compress-
ing the air trapped inside (Fig. P19.68b). Finally, a 75.0-kg
man  stands  on  the  piston,  further  compressing  the  air,
which  remains  at  20°C  (Fig.  P19.68c).  (a)  How  far  down
("h)  does  the  piston  move  when  the  man  steps  onto  it?
(b) To what temperature should the gas be heated to raise
the piston and man back to h

i

?

small.  If  & is  large,  one  must  integrate  the  relationship
dL/dT # &L to  determine  the  final  length.  (a)  Assuming
that  the  coefficient  of  linear  expansion  is  constant  as  L
varies, determine a general expression for the final length.
(b)  Given  a  rod  of  length  1.00 m  and  a  temperature
change of 100.0°C, determine the error caused by the ap-
proximation  when  & # 2.00 ) 10

!

5

(°C)

!

1

(a  typical

value for a metal) and when & # 0.020 0 (°C)

!

1

(an unre-

alistically large value for comparison).

70.

A steel wire and a copper wire, each of diameter 2.000 mm,
are joined end to end. At 40.0°C, each has an unstretched
length  of  2.000 m;  they  are  connected  between  two  fixed
supports 4.000 m apart on a tabletop, so that the steel wire
extends from x # ! 2.000 m to x # 0, the copper wire ex-
tends from x # 0 to x # 2.000 m, and the tension is negligi-
ble.  The  temperature  is  then  lowered  to  20.0°C.  At  this
lower  temperature,  find  the  tension  in  the  wire  and  the
x coordinate  of  the  junction  between  the  wires.  (Refer  to
Tables 12.1 and 19.1.)
Review  problem.  A  steel  guitar  string  with  a  diameter  of
1.00 mm is stretched between supports 80.0 cm apart. The
temperature is 0.0°C. (a) Find the mass per unit length of
this  string.  (Use  the  value  7.86 ) 10

3

kg/m

3

for  the  den-

sity.) (b) The fundamental frequency of transverse oscilla-
tions  of  the  string  is  200 Hz.  What  is  the  tension  in  the
string? (c) If the temperature is raised to 30.0°C, find the
resulting  values  of  the  tension  and  the  fundamental  fre-
quency.  Assume  that  both  the  Young’s  modulus  (Table
12.1)  and  the  average  coefficient  of  expansion  (Table
19.1) have constant values between 0.0°C and 30.0°C.

72.

In  a  chemical  processing  plant,  a  reaction  chamber  of
fixed  volume  V

0

is  connected  to  a  reservoir  chamber  of

fixed volume 4V

0

by a passage containing a thermally insu-

lating porous plug. The plug permits the chambers to be
at different temperatures. The plug allows gas to pass from
either chamber to the other, ensuring that the pressure is
the  same  in  both.  At  one  point  in  the  processing,  both
chambers contain gas at a pressure of 1.00 atm and a tem-
perature of 27.0°C. Intake and exhaust valves to the pair of
chambers are closed. The reservoir is maintained at 27.0°C
while the reaction chamber is heated to 400°C. What is the
pressure in both chambers after this is done?

73.

A 1.00-km  steel  railroad  rail  is  fastened  securely  at

both ends when the temperature is 20.0°C. As the temper-
ature increases, the rail begins to buckle. If its shape is an
arc  of  a  vertical  circle,  find  the  height  h of  the  center  of
the rail when the temperature is 25.0°C. You will need to
solve a transcendental equation.

74.

Review  problem.  A  perfectly  plane  house  roof  makes  an
angle - with the horizontal. When its temperature changes,
between  T

c

before  dawn  each  day  to  T

h

in  the  middle  of

each afternoon, the roof expands and contracts uniformly
with a coefficient of thermal expansion &

1

. Resting on the

roof is a flat rectangular metal plate with expansion coeffi-
cient &

2

, greater than &

1

. The length of the plate is L, mea-

sured  up  the  slope  of  the  roof.  The  component  of  the
plate’s weight perpendicular to the roof is supported by a
normal  force  uniformly  distributed  over  the  area  of  the
plate. The coefficient of kinetic friction between the plate
and the roof is *

k

. The plate is always at the same tempera-

71.

50.0 cm

(a)

(b)

h

i

∆h

(c)

Figure P19.68

69.

The  relationship  L

f

#

L

i

(1 $ & "T )  is  an  approximation

that  works  when  the  average  coefficient  of  expansion  is

Answers to Quick Quizzes

603

ture  as  the  roof,  so  we  assume  its  temperature  is  continu-
ously changing. Because of the difference in expansion co-
efficients, each bit of the plate is moving relative to the roof
below  it,  except  for  points  along  a  certain  horizontal  line
running across the plate. We call this the stationary line. If
the temperature is rising, parts of the plate below the sta-
tionary line are moving down relative to the roof and feel a
force  of  kinetic  friction  acting  up  the  roof.  Elements  of
area  above  the  stationary  line  are  sliding  up  the  roof  and
on them kinetic friction acts downward parallel to the roof.
The stationary line occupies no area, so we assume no force
of static friction acts on the plate while the temperature is
changing.  The  plate  as  a  whole  is  very  nearly  in  equilib-
rium,  so  the  net  friction  force  on  it  must  be  equal  to  the
component of its weight acting down the incline. (a) Prove
that the stationary line is at a distance of

below the top edge of the plate. (b) Analyze the forces that
act on the plate when the temperature is falling, and prove
that the stationary line is at that same distance above the
bottom  edge  of  the  plate.  (c)  Show  that  the  plate  steps
down the roof like an inchworm, moving each day by the
distance

(d) Evaluate the distance an aluminum plate moves each
day  if  its  length  is  1.20 m,  if  the  temperature  cycles  be-
tween 4.00°C and 36.0°C, and if the roof has slope 18.5°,

 

L(&

2

!

&

1

)(T

h

!

T

c

)tan-

*

k

L

2

#

1 !

tan-

*

k

$

coefficient  of  linear  expansion  1.50 ) 10

!

5

(°C)

!

1

,

and coefficient of friction 0.420 with the plate. (e) What
If? What  if  the  expansion  coefficient  of  the  plate  is
less than  that  of  the  roof?  Will  the  plate  creep  up  the
roof?

Answers to Quick Quizzes

19.1 (c). The direction of the transfer of energy depends only

on  temperature  and  not  on  the  size  of  the  object  or  on
which object has more mass.

19.2 (c).  The  phrase  “twice  as  hot”  refers  to  a  ratio  of  tem-

peratures. When the given temperatures are converted to
kelvins, only those in part (c) are in the correct ratio.

19.3 (c). Gasoline has the largest average coefficient of volume

expansion.

19.4 (c). A cavity in a material expands in the same way as if it

were filled with material.

19.5 (a).  On  a  cold  day,  the  trapped  air  in  the  bubbles  is  re-

duced  in  pressure,  according  to  the  ideal  gas  law.  Thus,
the volume of the bubbles may be smaller than on a hot
day, and the package contents can shift more.

19.6 (b). Because of the decreased temperature of the helium,

the pressure in the balloon is reduced. The atmospheric
pressure  around  the  balloon  then  compresses  it  to  a
smaller size until the pressure in the balloon reaches the
atmospheric pressure.

19.7 (b). Because  of  the  increased  temperature,  the  air  ex-

pands. Consequently, some of the air leaks to the outside,
leaving less air in the house.

Chapter 20

Heat and the First Law 

of Thermodynamics

C H A P T E R   O U T L I N E

20.1 Heat and Internal Energy

20.2 Specific Heat and Calorimetry

20.3 Latent Heat

20.4 Work and Heat in

Thermodynamic Processes

20.5 The First Law of

Thermodynamics

20.6 Some Applications of the First

Law of Thermodynamics

20.7 Energy Transfer Mechanisms

▲

In this photograph of Bow Lake in Banff National Park, Alberta, we see evidence of

water in all three phases. In the lake is liquid water, and solid water in the form of snow
appears on the ground. The clouds in the sky consist of liquid water droplets that have
condensed from the gaseous water vapor in the air. Changes of a substance from one phase
to another are a result of energy transfer. (Jacob Taposchaner/Getty Images)

604