Physics For Scientists And Engineers 6E - part 149

A common misconception is that the pressure inside the bottle is increased when the
bottle is shaken. On the contrary, because the temperature of the bottle and its con-
tents remains constant as long as the bottle is sealed, so does the pressure, as can be
shown by replacing the cork with a pressure gauge. The correct explanation is as fol-
lows.  Carbon  dioxide  gas  resides  in  the  volume  between  the  liquid  surface  and  the
cork.  Shaking  the  bottle  displaces  some  of  this  carbon  dioxide  gas  into  the  liquid,
where it forms bubbles, and these bubbles become attached to the inside of the bottle.
(No new gas is generated by shaking.) When the bottle is opened, the pressure is re-
duced; this causes the volume of the bubbles to increase suddenly. If the bubbles are
attached to the bottle (beneath the liquid surface), their rapid expansion expels liquid
from the bottle. If the sides and bottom of the bottle are first tapped until no bubbles
remain beneath the surface, then when the champagne is opened, the drop in pres-
sure will not force liquid from the bottle.

The ideal gas law is often expressed in terms of the total number of molecules N.

Because the total number of molecules equals the product of the number of moles n
and Avogadro’s number N

A

, we can write Equation 19.8 as

(19.10)

where k

B

is 

Boltzmann’s constant, which has the value

(19.11)

It is common to call quantities such as P, V, and T the 

thermodynamic variables of an

ideal gas. If the equation of state is known, then one of the variables can always be ex-
pressed as some function of the other two.

k

B

#

R

N

A

#

1.38 ) 10

!

23

 

 J/K

PV # Nk

B

T

PV # nRT #

N

N

A

 RT

S E C T I O N   19 . 5 •  Macroscopic Description of an Ideal Gas

593

▲

PITFALL PREVENTION

19.3 So Many k’s

There  are  a  variety  of  physical
quantities for which the letter k is
used—we  have  seen  two  previ-
ously,  the  force  constant  for  a
spring (Chapter 15) and the wave
number  for  a  mechanical  wave
(Chapter  16).  Boltzmann’s  con-
stant is another k, and we will see k
used  for  thermal  conductivity  in
Chapter  20  and  for  an  electrical
constant  in  Chapter  23.  In  order
to make some sense of this confus-
ing  state  of  affairs,  we  will  use  a
subscript for Boltzmann’s constant
to  help  us  recognize  it.  In  this
book, we will see Boltzmann’s con-
stant as k

B

, but keep in mind that

you may see Boltzmann’s constant
in other resources as simply k.

Boltzmann’s constant

Quick Quiz 19.5

A common material for cushioning objects in packages is

made by trapping bubbles of air between sheets of plastic. This material is more effec-
tive at keeping the contents of the package from moving around inside the package on
(a) a hot day (b) a cold day (c) either hot or cold days.

Quick  Quiz  19.6

A  helium-filled  rubber  balloon  is  left  in  a  car  on  a  cold

winter night. Compared to its size when it was in the warm car the afternoon before,
the size the next morning is (a) larger (b) smaller (c) unchanged.

Quick Quiz 19.7

On a winter day, you turn on your furnace and the temper-

ature of the air inside your home increases. Assuming that your home has the normal
amount  of  leakage  between  inside  air  and  outside  air,  the  number  of  moles  of  air 
in  your  room  at  the  higher  temperature  is  (a)  larger  than  before (b)  smaller  than 
before (c) the same as before.

Example 19.5 How Many Moles of Gas in a Container?

and T # 20°C # 293 K. Using Equation 19.8, we find that

4.11 ) 10

!

6

 mol

#

n #

PV

RT

#

(100 Pa)(1.00 ) 10

!

4

 m

3

)

(8.314 J/mol+K)(293 K)

An  ideal  gas  occupies  a  volume  of  100 cm

3

at  20°C

and 100 Pa.  Find  the  number  of  moles  of  gas  in  the
container.

Solution The  quantities  given  are  volume,  pressure,  and
temperature:  V # 100 cm

3

#

1.00 ) 10

!

4

m

3

,  P # 100 Pa,

594

C H A P T E R   19 •  Temperature

Example 19.6 Filling a Scuba Tank

The initial pressure of the air is 14.7 lb/in.

2

, its final pressure

is  3 000 lb/in.

2

,  and  the  air  is  compressed  from  an  initial

volume  of  66.0 ft

3

to  a  final  volume  of  0.350 ft

3

.  The  initial

temperature,  converted  to  SI  units,  is  295 K.  Solving  for  T

f

,

we obtain

319 K

#

T

f

#

#

P

f

V

f

P

i

V

i

$

 T

i

#

(3 000 lb/in.

2

)(0.350 ft

3

)

(14.7 lb/in.

2

)(66.0 ft

3

)

 (295 K)

P

i

V

i

T

i

#

P

f

V

f

T

f

A  certain  scuba  tank  is  designed  to  hold  66.0 ft

3

of

air when it is at atmospheric pressure at 22°C. When this
volume  of  air  is  compressed  to  an  absolute  pressure  of 
3 000 lb/in.

2

and  stored  in  a  10.0-L  (0.350-ft

3

)  tank,  the

air  becomes  so  hot  that  the  tank  must  be  allowed  to
cool before  it  can  be  used.  Before  the  air  cools,  what  is
its temperature?  (Assume  that  the  air  behaves  like  an
ideal gas.)

Solution If  no  air  escapes  during  the  compression,  then
the  number  of  moles  n of  air  remains  constant;  therefore,
using  PV # nRT,  with  n and  R constant,  we  obtain  a  rela-
tionship between the initial and final values:

Two objects are in 

thermal equilibrium with each other if they do not exchange en-

ergy when in thermal contact.

The 

zeroth law of thermodynamics states that if objects A and B are separately in

thermal equilibrium with a third object C, then objects A and B are in thermal equilib-
rium with each other.

Temperature is the property that determines whether an object is in thermal equi-

librium with other objects. 

Two objects in thermal equilibrium with each other are

at the same temperature.

S U M M A R Y

Example 19.7 Heating a Spray Can

creases.  Does  this  alter  our  answer  for  the  final  pressure
significantly?

Because  the  thermal  expansion  coefficient  of  steel  is  very
small, we do not expect much of an effect on our final an-
swer.  The  change  in  the  volume  of  the  can  is  found  using
Equation 19.6 and the value for & for steel from Table 19.1:

So  the  final  volume  of  the  can  is  125.71 cm

3

.  Starting

from Equation (1) again, the equation for the final pressure
becomes

This differs from Equation (2) only in the factor V

i

/V

f

. Let

us evaluate this factor:

Thus,  the  final  pressure  will  differ  by  only  0.6%  from  the
value  we  calculated  without  considering  the  thermal  ex-
pansion  of  the  can.  Taking  99.4%  of  the  previous  final
pressure, the final pressure including thermal expansion is
318 kPa.

V

i

V

f

#

125.00 cm

3

125.71 cm

3

#

0.994 # 99.4%

P

f

#

#

T

f

T

i

$#

V

i

V

f

$

 P

i

 # 0.71 cm

3

 # 3(11 ) 10

!

6

 %C

!

1

)(125.00 cm

3

)(173%C)

"

V # 'V

i 

"

T # 3&V

i 

"

T

A spray can containing a propellant gas at twice atmospheric
pressure (202 kPa) and having a volume of 125.00 cm

3

is at

22°C. It is then tossed into an open fire. When the tempera-
ture  of  the  gas  in  the  can  reaches  195°C,  what  is  the  pres-
sure  inside  the  can?  Assume  any  change  in  the  volume  of
the can is negligible.

Solution We employ the same approach we used in Exam-
ple 19.6, starting with the expression

Because the initial and final volumes of the gas are assumed
to be equal, this expression reduces to

Solving for P

f

gives

Obviously, the higher the temperature, the higher the pres-
sure exerted by the trapped gas. Of course, if the pressure
increases  sufficiently,  the  can  will  explode.  Because  of  this
possibility, you should never dispose of spray cans in a fire.

What  If?

Suppose  we  include  a  volume  change  due  to

thermal  expansion  of  the  steel  can  as  the  temperature  in-

320 kPa

#

(2)

     

P

f

#

#

T

f

T

i

$

 P

i

#

#

468 K
295 K

$

(202 kPa)

P

i

T

i

#

P

f

T

f

(1)

     

P

i

V

i

T

i

#

P

f

V

f

T

f

Take a practice test for

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Questions

595

The SI unit of absolute temperature is the 

kelvin, which is defined to be the frac-

tion 1/273.16 of the temperature of the triple point of water.

When  the  temperature  of  an  object  is  changed  by  an  amount  "T,  its  length

changes by an amount "L that is proportional to "T and to its initial length L

i

:

(19.4)

where the constant & is the 

average coefficient of linear expansion. The average

coefficient of volume expansion ' for a solid is approximately equal to 3&.

An 

ideal gas is one for which PV/nT is constant. An ideal gas is described by the

equation of state,

(19.8)

where n equals the number of moles of the gas, V is its volume, R is the universal gas
constant (8.314 J/mol + K), and T is the absolute temperature. A real gas behaves ap-
proximately as an ideal gas if it has a low density.

PV # nRT

"

L # &L

i

 

"

T

1. Is it possible for two objects to be in thermal equilibrium if

they are not in contact with each other? Explain.
A piece of copper is dropped into a beaker of water. If the
water’s  temperature  rises,  what  happens  to  the  tempera-
ture  of  the  copper?  Under  what  conditions  are  the  water
and copper in thermal equilibrium?

3. In describing his upcoming trip to the Moon, and as por-

trayed  in  the  movie  Apollo  13 (Universal,  1995),  astronaut
Jim Lovell said, “I’ll be walking in a place where there’s a
400-degree difference between sunlight and shadow.” What
is it that is hot in sunlight and cold in shadow? Suppose an
astronaut  standing  on  the  Moon  holds  a  thermometer  in
his  gloved  hand.  Is  it  reading  the  temperature  of  the  vac-
uum at the Moon’s surface? Does it read any temperature?
If so, what object or substance has that temperature?

4. Rubber has a negative average coefficient of linear expan-

sion. What happens to the size of a piece of rubber as it is
warmed?

5. Explain  why  a  column  of  mercury  in  a  thermometer  first

descends slightly and then rises when the thermometer is
placed into hot water.

6. Why  should  the  amalgam  used  in  dental  fillings  have  the

same  average  coefficient  of  expansion  as  a  tooth?  What
would occur if they were mismatched?

2.

7. Markings to indicate length are placed on a steel tape in a

room  that  has  a  temperature  of  22°C.  Are  measurements
made with the tape on a day when the temperature is 27°C
too long, too short, or accurate? Defend your answer.

8. Determine the number of grams in a mole of the following

gases: (a) hydrogen (b) helium (c) carbon monoxide.

9. What  does  the  ideal  gas  law  predict  about  the  volume  of

a sample  of  gas  at  absolute  zero?  Why  is  this  prediction
incorrect?

10. An inflated rubber balloon filled with air is immersed in a

flask of liquid nitrogen that is at 77 K. Describe what hap-
pens to the balloon, assuming that it remains flexible while
being cooled.

11. Two identical cylinders at the same temperature each con-

tain the same kind of gas and the same number of moles
of  gas.  If  the  volume  of  cylinder  A  is  three  times  greater
than the volume of cylinder B, what can you say about the
relative pressures in the cylinders?

12. After  food  is  cooked  in  a  pressure  cooker,  why  is  it  very

important to cool off the container with cold water before
attempting to remove the lid?

13. The shore of the ocean is very rocky at a particular place.

The rocks form a cave sloping upward from an underwater
opening, as shown in Figure Q19.13a. (a) Inside the cave is

Q U E S T I O N S

(a)

(b)

Rock

Trapped air

Water

Ocean level

at high tide

Ocean level

at low tide

Figure Q19.13

596

C H A P T E R   19 •  Temperature

a pocket of trapped air. As the level of the ocean rises and
falls  with  the  tides,  will  the  level  of  water  in  the  cave  rise
and  fall?  If  so,  will  it  have  the  same  amplitude  as  that  of
the  ocean?  (b)  What  If?  Now  suppose  that  the  cave  is
deeper in the water, so that it is completely submerged and
filled with water at high tide, as shown in Figure Q19.13b.
At  low  tide,  will  the  level  of  the  water  in  the  cave  be  the
same as that of the ocean?

14. In Colonization: Second Contact (Harry Turtledove, Ballantine

Publishing Group, 1999), the Earth has been partially settled
by  aliens  from  another  planet,  whom  humans  call  Lizards.
Laboratory study by humans of Lizard science requires “shift-
ing back and forth between the metric system and the one
the Lizards used, which was also based on powers of ten but
used  different  basic  quantities  for  everything  but  tempera-
ture.” Why might temperature be an exception?

15. The  pendulum  of  a  certain  pendulum  clock  is  made  of

brass. When the temperature increases, does the period of
the clock increase, decrease, or remain the same? Explain.

16. An  automobile  radiator  is  filled  to  the  brim  with  water

while the engine is cool. What happens to the water when
the  engine  is  running  and  the  water  is  heated?  What  do
modern automobiles have in their cooling systems to pre-
vent the loss of coolants?

17. Metal lids on glass jars can often be loosened by running

hot water over them. How is this possible?
When  the  metal  ring  and  metal  sphere  in  Figure  Q19.18

are  both  at  room  temperature,  the  sphere  can  just  be
passed through the ring. After the sphere is heated, it can-
not be passed through the ring. Explain. What If? What if
the ring is heated and the sphere is left at room tempera-
ture? Does the sphere pass through the ring?

18.

Figure Q19.18

Section 19.2 Thermometers and the Celsius

Temperature Scale

Section 19.3 The Constant-Volume Gas

Thermometer and the 

Absolute Temperature Scale

A constant-volume  gas  thermometer  is  calibrated  in

dry ice (that is, carbon dioxide in the solid state, which has
a  temperature  of  ! 80.0°C)  and  in  boiling  ethyl  alcohol
(78.0°C). The two pressures are 0.900 atm and 1.635 atm.
(a)  What  Celsius  value  of  absolute  zero  does  the  calibra-
tion yield? What is the pressure at (b) the freezing point of
water and (c) the boiling point of water?

2. In  a  constant-volume  gas  thermometer,  the  pressure  at

20.0°C  is  0.980 atm.  (a)  What  is  the  pressure  at  45.0°C?
(b) What  is  the  temperature  if  the  pressure  is  0.500 atm?
Liquid  nitrogen  has  a  boiling  point  of  ! 195.81°C  at  at-
mospheric  pressure.  Express  this  temperature  (a)  in  de-
grees Fahrenheit and (b) in kelvins.

4. Convert the following to equivalent temperatures on the Cel-

sius and Kelvin scales: (a) the normal human body tempera-
ture, 98.6°F; (b) the air temperature on a cold day, ! 5.00°F.

5. The  temperature  difference  between  the  inside  and  the

outside  of  an  automobile  engine  is  450°C.  Express  this

3.

1.

temperature  difference  on  (a)  the  Fahrenheit  scale  and
(b) the Kelvin scale.

6. On a Strange temperature scale, the freezing point of wa-

ter is ! 15.0°S and the boiling point is $ 60.0°S. Develop a
linear conversion equation between this temperature scale
and the Celsius scale.

7. The  melting  point  of  gold  is  1 064°C,  and  the  boiling

point is 2 660°C. (a) Express these temperatures in kelvins.
(b)  Compute  the  difference  between  these  temperatures
in Celsius degrees and kelvins.

Section 19.4 Thermal Expansion of Solids 

and Liquids

8. The New River Gorge bridge in West Virginia is a steel arch

bridge 518 m in length. How much does the total length of
the  roadway  decking  change  between  temperature  ex-
tremes  of  ! 20.0°C  and  35.0°C?  The  result  indicates  the

Note: Table 19.1 is available for use in solving problems in
this section.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

Courtesy of Central Scientific Company