Physics For Scientists And Engineers 6E - part 142

allows us to write the expression for y as

(18.13)

Graphs of the individual waves and the resultant wave are shown in Figure 18.22. From
the factors in Equation 18.13, we see that the resultant sound for a listener standing at
any given point has an effective frequency equal to the average frequency (f

1

!

f

2

)/2

and an amplitude given by the expression in the square brackets:

(18.14)

That is, the 

amplitude and therefore the intensity of the resultant sound vary in

time. The broken blue line in Figure 18.22b is a graphical representation of Equation
18.14 and is a sine wave varying with frequency ( f

1

#

f

2

)/2.

Note  that  a  maximum  in  the  amplitude  of  the  resultant  sound  wave  is  detected

whenever

This means there are two maxima in each period of the resultant wave. Because the am-
plitude varies with frequency as ( f

1

#

f

2

)/2, the number of beats per second, or the

beat frequency f

beat

, is twice this value. That is,

(18.15)

For  instance,  if  one  tuning  fork  vibrates  at  438 Hz  and  a  second  one  vibrates  at

442 Hz, the resultant sound wave of the combination has a frequency of 440 Hz (the
musical note A) and a beat frequency of 4 Hz. A listener would hear a 440-Hz sound
wave go through an intensity maximum four times every second.

f

 

beat

"

# f

1

#

f

2

#

cos 2&

 

!

f

 

1

#

f

 

2

2

"

t " (

 

1

A

 

resultant

"

2A cos 2&

 

 

!

f

1

#

f

2

2

"

 t

y "

$

2A

  

cos 2&

 

 

!

f

1

#

f

 

2

2

"

 t

%

 cos

 

 2&

 

 

!

f

1

!

f

 

2

2

"

 t

S E C T I O N   18 . 7 •  Beats: Interference in Time

565

y

(a)

(b)

y

t

t

Active Figure 18.22 Beats are formed by the combination of two waves of slightly dif-

ferent frequencies. (a) The individual waves. (b) The combined wave has an amplitude

(broken line) that oscillates in time.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can choose the two frequencies

and see the corresponding

beats.

Resultant of two waves of

different frequencies but equal

amplitude

Beat frequency

Quick  Quiz  18.9

You  are  tuning  a  guitar  by  comparing  the  sound  of  the

string with that of a standard tuning fork. You notice a beat frequency of 5 Hz when
both sounds are present. You tighten the guitar string and the beat frequency rises to
8 Hz. In order to tune the string exactly to the tuning fork, you should (a) continue to
tighten the string (b) loosen the string (c) impossible to determine.

18.8 Nonsinusoidal Wave Patterns

The sound wave patterns produced by the majority of musical instruments are nonsi-
nusoidal.  Characteristic  patterns  produced  by  a  tuning  fork,  a  flute,  and  a  clarinet,
each playing the same note, are shown in Figure 18.23. Each instrument has its own
characteristic pattern. Note, however, that despite the differences in the patterns, each
pattern is periodic. This point is important for our analysis of these waves.

It is relatively easy to distinguish the sounds coming from a violin and a saxophone

even when they are both playing the same note. On the other hand, an individual un-
trained in music may have difficulty distinguishing a note played on a clarinet from the
same note played on an oboe. We can use the pattern of the sound waves from various
sources to explain these effects.

This is in contrast to a musical instrument that makes a noise, such as the drum, in

which the combination of frequencies do not form a harmonic series. When frequen-
cies that are integer multiples of a fundamental frequency are combined, the result is a
musical sound. A listener can assign a pitch to the sound, based on the fundamental
frequency. Pitch is a psychological reaction to a sound that allows the listener to place
the sound on a scale of low to high (bass to treble). Combinations of frequencies that
are  not  integer  multiples  of  a  fundamental  result  in  a  noise,  rather  than  a  musical
sound. It is much harder for a listener to assign a pitch to a noise than to a musical
sound.

The wave patterns produced by a musical instrument are the result of the superpo-

sition of various harmonics. This superposition results in the corresponding richness
of musical tones. The human perceptive response associated with various mixtures of
harmonics is the quality or timbre of the sound. For instance, the sound of the trumpet
is perceived to have a “brassy” quality (that is, we have learned to associate the adjec-
tive  brassy with  that  sound);  this  quality  enables  us  to  distinguish  the  sound  of  the
trumpet from that of the saxophone, whose quality is perceived as “reedy.” The clar-
inet  and  oboe,  however,  both  contain  air  columns  excited  by  reeds;  because  of  this
similarity,  it  is  more  difficult  for  the  ear  to  distinguish  them  on  the  basis  of  their
sound quality.

The problem of analyzing nonsinusoidal wave patterns appears at first sight to be a

formidable  task.  However,  if  the  wave  pattern  is  periodic,  it  can  be  represented  as
closely as desired by the combination of a sufficiently large number of sinusoidal waves
that form a harmonic series. In fact, we can represent any periodic function as a series
of  sine  and  cosine  terms  by  using  a  mathematical  technique  based  on 

Fourier’s

theorem.

3

The corresponding sum of terms that represents the periodic wave pattern

566

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

Example 18.8 The Mistuned Piano Strings

Tuning fork

Flute

Clarinet

(a)

(b)

(c)

t

t

t

Figure 18.23 Sound wave patterns

produced by (a) a tuning fork,

(b) a flute, and (c) a clarinet, each

at approximately the same fre-

quency. (Adapted from C. A. Culver,

Musical Acoustics, 4th ed., New

York, McGraw-Hill Book Company,

1956, p. 128.)

3

Developed by Jean Baptiste Joseph Fourier (1786–1830).

Two  identical  piano  strings  of  length  0.750 m  are  each
tuned exactly to 440 Hz. The tension in one of the strings is
then increased by 1.0%. If they are now struck, what is the
beat frequency between the fundamentals of the two strings?

Solution We find the ratio of frequencies if the tension in
one string is 1.0% larger than the other:

"

1.005

f

2

f

1

"

(v

 

2

/2L)

(v

1

/2L)

"

v

2

v

1

"

√T

2

/+

√T

1

/+

"

√

T

2

T

1

"

√

1.010T

1

T

1

Thus, the frequency of the tightened string is

f

2

"

1.005f

1

"

1.005(440 Hz) " 442 Hz

and the beat frequency is 

f

beat

"

442 Hz # 440 Hz " 2 Hz.

is called a 

Fourier series. Let y(t) be any function that is periodic in time with period

T,  such  that  y(t ! T ) " y(t).  Fourier’s  theorem  states  that  this  function  can  be
written as

(18.16)

where the lowest frequency is f

1

"

1/T. The higher frequencies are integer multiples

of the fundamental, f

n

"

nf

1

, and the coefficients A

n

and B

n

represent the amplitudes

of the various waves. Figure 18.24 represents a harmonic analysis of the wave patterns
shown  in  Figure  18.23.  Note  that  a  struck  tuning  fork  produces  only  one  harmonic
(the first), whereas the flute and clarinet produce the first harmonic and many higher
ones.

Note  the  variation  in  relative  intensity  of  the  various  harmonics  for  the  flute

and the clarinet. In general, any musical sound consists of a fundamental frequency
f plus  other  frequencies  that  are  integer  multiples  of  f,  all  having  different
intensities.

y(t) "

&

n

(A

n 

sin 2&f

n

t ! B

n 

cos 2&f

n

t)

S E C T I O N   18 . 8 •  Nonsinusoidal Wave Patterns

567

Relative intensity

Tuning

fork

1   2   3   4   5   6

Relative intensity

1   2   3   4   5   6   7

Flute

Relative intensity

1   2   3   4   5   6   7   8   9

Clarinet

Harmonics

(c)

Harmonics

(b)

Harmonics

(a)

Figure 18.24 Harmonics of the wave patterns shown in Figure 18.23. Note the varia-

tions in intensity of the various harmonics. (Adapted from C. A. Culver, Musical Acoustics,

4th ed., New York, McGraw-Hill Book Company, 1956.)

(b)

(a)

(c)

Each musical instrument has its own characteristic sound and mixture of harmonics.

Instruments shown are (a) the violin, (b) the saxophone, and (c) the trumpet. 

Fourier’s theorem

▲

PITFALL PREVENTION

18.4 Pitch vs. Frequency

Do not confuse the term pitch with
frequency. Frequency is the physical
measurement  of  the  number  of
oscillations  per  second.  Pitch  is  a
psychological  reaction  to  sound
that enables a person to place the
sound on a scale from high to low,
or  from  treble  to  bass.  Thus,  fre-
quency is the stimulus and pitch is
the response. Although pitch is re-
lated mostly (but not completely)
to  frequency,  they  are  not  the
same. A phrase such as “the pitch
of the sound” is incorrect because
pitch is not a physical property of
the sound.

Photographs courtesy of (a) 

©

1989 Gary Buss/FPG; 

(b) and (c) 

©

1989 Richard Laird/FPG

We  have  discussed  the  analysis of  a  wave  pattern  using  Fourier’s  theorem.  The

analysis involves determining the coefficients of the harmonics in Equation 18.16 from
a knowledge of the wave pattern. The reverse process, called Fourier synthesis, can also
be performed. In this process, the various harmonics are added together to form a re-
sultant  wave  pattern.  As  an  example  of  Fourier  synthesis,  consider  the  building  of  a
square wave, as shown in Figure 18.25. The symmetry of the square wave results in only
odd  multiples  of  the  fundamental  frequency  combining  in  its  synthesis.  In  Figure
18.25a, the orange curve shows the combination of f and 3f. In Figure 18.25b, we have
added  5f to  the  combination  and  obtained  the  green  curve.  Notice  how  the  general
shape of the square wave is approximated, even though the upper and lower portions
are not flat as they should be.

Figure  18.25c  shows  the  result  of  adding  odd  frequencies  up  to  9f.  This  ap-

proximation  (purple  curve)  to  the  square  wave  is  better  than  the  approximations
in parts  a  and  b.  To  approximate  the  square  wave  as  closely  as  possible,  we  would 
need  to  add  all  odd  multiples  of  the  fundamental  frequency,  up  to  infinite 
frequency.

Using  modern  technology,  we  can  generate  musical  sounds  electronically  by 

mixing  different  amplitudes  of  any  number  of  harmonics.  These  widely  used  elec-
tronic  music  synthesizers  are  capable  of  producing  an  infinite  variety  of  musical 
tones.

568

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

(c)

f + 3f + 5f + 7f + 9f

Square wave

f + 3f + 5f + 7f + 9f + ...

(b)

f + 3f + 5f

5f

f

3f

(a)

f

f + 3f

3f

Active Figure 18.25 Fourier synthesis of a square wave, which is represented by the sum of odd

multiples of the first harmonic, which has frequency f. (a) Waves of frequency f and 3f are added.

(b) One more odd harmonic of frequency 5f is added. (c) The synthesis curve approaches closer

to the square wave when odd frequencies up to 9f are added.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can add in harmonics with

frequencies higher than 9f to

try to synthesize a square wave.