Physics For Scientists And Engineers 6E - part 140

S E C T I O N   18 . 3 •  Standing Waves in a String Fixed at Both Ends

557

Example 18.5 Changing String Vibration with Water

Interactive

One  end  of  a  horizontal  string  is  attached  to  a  vibrating
blade  and  the  other  end  passes  over  a  pulley  as  in  Figure
18.13a.  A  sphere  of  mass  2.00 kg  hangs  on  the  end  of  the
string. The string is vibrating in its second harmonic. A con-
tainer of water is raised under the sphere so that the sphere
is  completely  submerged.  After  this  is  done,  the  string  vi-
brates in its fifth harmonic, as shown in Figure 18.13b. What
is the radius of the sphere?

Solution To conceptualize the problem, imagine what hap-
pens when the sphere is immersed in the water. The buoy-
ant force acts upward on the sphere, reducing the tension in
the  string.  The  change  in  tension  causes  a  change  in  the
speed of waves on the string, which in turn causes a change
in  the  wavelength.  This  altered  wavelength  results  in  the
string vibrating in its fifth normal mode rather than the sec-
ond.  We  categorize  the  problem  as  one  in  which  we  will
need  to  combine  our  understanding  of  Newton’s  second
law, buoyant forces, and standing waves on strings. We begin
to analyze the problem by studying Figure 18.13a. Newton’s
second law applied to the sphere tells us that the tension in
the string is equal to the weight of the sphere:

&F " T

1

#

mg " 0

T

1

"

mg " (2.00 kg)(9.80 m/s

2

) " 19.6 N

where  the  subscript  1  is  used  to  indicate  initial  variables
before we immerse the sphere in water. Once the sphere is

immersed  in  water,  the  tension  in  the  string  decreases  to
T

2

. Applying Newton’s second law to the sphere again in this

situation, we have

T

2

!

B # mg " 0

(1)

B " mg # T

2

The desired quantity, the radius of the sphere, will appear in
the  expression  for  the  buoyant  force  B.  Before  proceeding
in this direction, however, we must evaluate T

2

. We do this

from the standing wave information. We write the equation
for the frequency of a standing wave on a string (Equation
18.8)  twice,  once  before  we  immerse  the  sphere  and  once
after, and divide the equations:

where the frequency f is the same in both cases, because it
is determined by the vibrating blade. In addition, the linear
mass density + and the length L of the vibrating portion of
the  string  are  the  same  in  both  cases.  Solving  for  T

2

,  we

have

Substituting  this  into  Equation  (1),  we  can  evaluate  the
buoyant force on the sphere:

B " mg # T

2

"

19.6 N # 3.14 N " 16.5 N

Finally,  expressing  the  buoyant  force  (Eq.  14.5)  in terms
of the radius of the sphere, we solve for the radius:

B " ,

water

gV

sphere

"

,

water

g ( &r

3

)

To finalize this problem, note that only certain radii of the
sphere will result in the string vibrating in a normal mode.
This  is  because  the  speed  of  waves  on  the  string  must  be
changed to a value such that the length of the string is an in-
teger  multiple  of  half  wavelengths.  This  is  a  feature  of  the
quantization that we introduced earlier in this chapter—the
sphere  radii  that  cause  the  string  to  vibrate  in  a  normal
mode are quantized.

7.38 cm

"

7.38 - 10

#

2

 m "

r "

√

3

3B

4&,

water

g

"

√

3

3(16.5 N)

4&(1 000 kg/m

3

)(9.80 m/s

2

)

4

3

T

2

"

!

n

1

n

 

2

"

2

T

1

"

!

2
5

"

2

(19.6

  

N) " 3.14

  

N

f "

n

1

2L

√

T

1

+

f "

n

2

2L

√

T

2

+

 

9:

 

1 "

n

1

n

2

√

T

1

T

2

You can adjust the mass at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

(b)

(a)

Figure 18.13 (Example 18.5) When the sphere hangs in air,

the string vibrates in its second harmonic. When the sphere is

immersed in water, the string vibrates in its fifth harmonic.

18.4 Resonance

We  have  seen  that  a  system  such  as  a  taut  string  is  capable  of  oscillating  in  one  or
more normal modes of oscillation. 

If a periodic force is applied to such a system,

the amplitude of the resulting motion is greatest when the frequency of the ap-
plied force is equal to one of the natural frequencies of the system. We discussed
this  phenomenon,  known  as  resonance, briefly  in  Section  15.7.  Although  a
block–spring system or a simple pendulum has only one natural frequency, standing-
wave systems have a whole set of natural frequencies, such as that given by Equation
18.7 for a string. Because an oscillating system exhibits a large amplitude when driven
at any of its natural frequencies, these frequencies are often referred to as 

resonance

frequencies.

Figure  18.14  shows  the  response  of  an  oscillating  system  to  various  driving  fre-

quencies, where one of the resonance frequencies of the system is denoted by f

0

. Note

that the amplitude of oscillation of the system is greatest when the frequency of the
driving force equals the resonance frequency. The maximum amplitude is limited by
friction in the system. If a driving force does work on an oscillating system that is ini-
tially at rest, the input energy is used both to increase the amplitude of the oscillation
and to overcome the friction force. Once maximum amplitude is reached, the work
done by the driving force is used only to compensate for mechanical energy loss due
to friction.

Examples of Resonance

A  playground  swing  is  a  pendulum  having  a  natural  frequency  that  depends  on  its
length. Whenever we use a series of regular impulses to push a child in a swing, the
swing goes higher if the frequency of the periodic force equals the natural frequency
of the swing. We can demonstrate a similar effect by suspending pendulums of differ-
ent lengths from a horizontal support, as shown in Figure 18.15. If pendulum A is set
into oscillation, the other pendulums begin to oscillate as a result of waves transmitted
along the beam. However, pendulum C, the length of which is close to the length of A,
oscillates  with  a  much  greater  amplitude  than  pendulums  B  and  D,  the  lengths  of
which are much different from that of pendulum A. Pendulum C moves the way it does
because  its  natural  frequency  is  nearly  the  same  as  the  driving  frequency  associated
with pendulum A.

Next, consider a taut string fixed at one end and connected at the opposite end to

an oscillating blade, as illustrated in Figure 18.16. The fixed end is a node, and the
end connected to the blade is very nearly a node because the amplitude of the blade’s
motion is small compared with that of the elements of the string. As the blade oscil-
lates,  transverse  waves  sent  down  the  string  are  reflected  from  the  fixed  end.  As  we
learned in Section 18.3, the string has natural frequencies that are determined by its
length,  tension,  and  linear  mass  density  (see  Eq.  18.8).  When  the  frequency  of  the
blade  equals  one  of  the  natural  frequencies  of  the  string,  standing  waves  are  pro-
duced  and  the  string  oscillates  with  a  large  amplitude.  In  this  resonance  case,  the
wave  generated  by  the  oscillating  blade  is  in  phase  with  the  reflected  wave,  and  the
string absorbs energy from the blade. If the string is driven at a frequency that is not
one of its natural frequencies, then the oscillations are of low amplitude and exhibit
no stable pattern.

Once the amplitude of the standing-wave oscillations is a maximum, the mechani-

cal energy delivered by the blade and absorbed by the system is transformed to internal
energy because of the damping forces caused by friction in the system. If the applied
frequency  differs  from  one  of  the  natural  frequencies,  energy  is  transferred  to  the
string at first, but later the phase of the wave becomes such that it forces the blade to
receive energy from the string, thereby reducing the energy in the string.

Resonance is very important in the excitation of musical instruments based on air

columns. We shall discuss this application of resonance in Section 18.5.

558

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

Amplitude

f

0

Frequency of driving force

Figure 18.14 Graph of the ampli-

tude (response) versus driving fre-

quency for an oscillating system.

The amplitude is a maximum at

the resonance frequency f

0

.

A

B

C

D

Figure 18.15 An example of reso-

nance. If pendulum A is set into os-

cillation, only pendulum C, whose

length matches that of A, eventu-

ally oscillates with large amplitude,

or resonates. The arrows indicate

motion in a plane perpendicular to

the page.

Vibrating

blade

Figure 18.16 Standing waves are

set up in a string when one end is

connected to a vibrating blade.

When the blade vibrates at one of

the natural frequencies of the

string, large-amplitude standing

waves are created.

18.5 Standing Waves in Air Columns

Standing waves can be set up in a tube of air, such as that inside an organ pipe, as the
result  of  interference  between  longitudinal  sound  waves  traveling  in  opposite  direc-
tions. The phase relationship between the incident wave and the wave reflected from
one end of the pipe depends on whether that end is open or closed. This relationship
is analogous to the phase relationships between incident and reflected transverse waves
at the end of a string when the end is either fixed or free to move (see Figs. 16.14 and
16.15).

In a pipe closed at one end, 

the closed end is a displacement node because the

wall  at  this  end  does  not  allow  longitudinal  motion  of  the  air. As  a  result,  at  a
closed end of a pipe, the reflected sound wave is 180° out of phase with the incident
wave.  Furthermore,  because  the  pressure  wave  is  90° out  of  phase  with  the  displace-
ment  wave  (see  Section  17.2), 

the  closed  end  of  an  air  column  corresponds  to  a

pressure antinode (that is, a point of maximum pressure variation).

The  open  end  of  an  air  column  is  approximately  a  displacement  antinode

2

and a pressure node. We can understand why no pressure variation occurs at an open
end by noting that the end of the air column is open to the atmosphere; thus, the pres-
sure at this end must remain constant at atmospheric pressure.

You may wonder how a sound wave can reflect from an open end, as there may not

appear to be a change in the medium at this point. It is indeed true that the medium

S E C T I O N   18 . 5 •  Standing Waves in Air Columns

559

Quick Quiz 18.6

A wine glass can be shattered through resonance by main-

taining a certain frequency of a high-intensity sound wave. Figure 18.17a shows a side
view of a wine glass vibrating in response to such a sound wave. Sketch the standing-
wave pattern in the rim of the glass as seen from above. If an integral number of waves
“fit” around the circumference of the vibrating rim, how many wavelengths fit around
the rim in Figure 18.17a?

(a)

(b)

Figure 18.17 (Quick Quiz 18.6) (a) Standing-wave pattern in a vibrating wine glass.

The glass shatters if the amplitude of vibration becomes too great. (b) A wine glass shat-

tered by the amplified sound of a human voice. 

Courtesy of Professor Thomas D. Rossing, Northern Illinois University

© 

1992 Ben Rose/The Image Bank

2

Strictly speaking, the open end of an air column is not exactly a displacement antinode. A com-

pression reaching an open end does not reflect until it passes beyond the end. For a tube of circular
cross  section,  an  end  correction  equal  to  approximately  0.6R,  where  R is  the  tube’s  radius,  must  be
added to the length of the air column. Hence, the effective length of the air column is longer than the
true length L. We ignore this end correction in this discussion.

through which the sound wave moves is air both inside and outside the pipe. However,
sound is a pressure wave, and a compression region of the sound wave is constrained
by the sides of the pipe as long as the region is inside the pipe. As the compression re-
gion exits at the open end of the pipe, the constraint of the pipe is removed and the
compressed air is free to expand into the atmosphere. Thus, there is a change in the
character of the medium between the inside of the pipe and the outside even though
there is no change in the material of the medium. This change in character is sufficient
to allow some reflection.

With the boundary conditions of nodes or antinodes at the ends of the air column,

we have a set of normal modes of oscillation, as we do for the string fixed at both ends.
Thus, the air column has quantized frequencies.

The first three normal modes of oscillation of a pipe open at both ends are shown

in Figure 18.18a. Note that both ends are displacement antinodes (approximately). In
the  first  normal  mode,  the  standing  wave  extends  between  two  adjacent  antinodes,
which is a distance of half a wavelength. Thus, the wavelength is twice the length of the
pipe,  and  the  fundamental  frequency  is  f

1

"

v/2L.  As  Figure  18.18a  shows,  the  fre-

quencies of the higher harmonics are 2f

1

, 3f

1

, . . . . Thus, we can say that

560

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

L

λ

1

 = 2L

f

1

 = — = —

v

λ

1

v

2L

λ

2

 = L

f

2

 = — = 2f

1

v

L

λ

3

 = — L

f

3

 = — = 3f

1

3v

2L

2

3

(a) Open at both ends

λ

1

 = 4L

f

1

 = — = —

v

λ

1

v

4L

λ

3

 = — L

f

3

 = — = 3f

1

3v

4L

λ

5

 = — L

f

5

 = — = 5f

1

5v

4L

4

5

4

3

First harmonic

Second harmonic

Third harmonic

First harmonic

Third harmonic

Fifth harmonic

(b) Closed at one end, open at the other

A

A

N

A

A

A

A

N

N

A

A

A

A

N

N

N

N

A

N

A

N

A

A

N

N

A

N

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Figure 18.18 Motion of elements of air in standing longitudinal waves in a pipe,

along with schematic representations of the waves. In the schematic representations,

the structure at the left end has the purpose of exciting the air column into a normal

mode. The hole in the upper edge of the column assures that the left end acts as an

open end. The graphs represent the displacement amplitudes, not the pressure ampli-

tudes. (a) In a pipe open at both ends, the harmonic series created consists of all inte-

ger multiples of the fundamental frequency: f

1

, 2f

1

, 3f

1

, . . . . (b) In a pipe closed at

one end and open at the other, the harmonic series created consists of only odd-integer

multiples of the fundamental frequency: f

1

, 3f

1

, 5f

1

, . . . .

In a pipe open at both ends, the natural frequencies of oscillation form a harmonic
series that includes all integral multiples of the fundamental frequency.

▲

PITFALL PREVENTION

18.3 Sound Waves in Air

Are Longitudinal, not
Transverse

Note  that  the  standing  longitudi-
nal  waves  are  drawn  as  transverse
waves  in  Figure  18.18.  This  is  be-
cause it is difficult to draw longitu-
dinal  displacements—they  are  in
the same direction as the propaga-
tion.  Thus,  it  is  best  to  interpret
the  curves  in  Figure  18.18  as  a
graphical  representation  of  the
waves  (our  diagrams  of  string
waves  are  pictorial  representa-
tions), with the vertical axis repre-
senting  horizontal  displacement
of the elements of the medium.