Physics For Scientists And Engineers 6E - part 139

string.  The  ends  of  the  string,  because  they  are  fixed,  must  necessarily  have  zero
displacement and are, therefore, nodes by definition. The boundary condition results
in the string having a number of natural patterns of oscillation, called 

normal modes,

each of which has a characteristic frequency that is easily calculated. This situation in
which only certain frequencies of oscillation are allowed is called 

quantization. Quan-

tization is a common occurrence when waves are subject to boundary conditions and
will be a central feature in our discussions of quantum physics in the extended version
of this text.

Figure  18.11  shows  one  of  the  normal  modes  of  oscillation  of  a  string  fixed  at

both  ends.  Except  for  the  nodes,  which  are  always  stationary,  all  elements  of  the
string  oscillate  vertically  with  the  same  frequency  but  with  different  amplitudes  of
simple harmonic motion. Figure 18.11 represents snapshots of the standing wave at
various times over one half of a period. The red arrows show the velocities of various
elements of the string at various times. As we found in Quick Quizzes 18.3 and 18.4,

S E C T I O N   18 . 3 •  Standing Waves in a String Fixed at Both Ends

553

L

(a)

(c)

(b)

(d)

n = 2

n

 = 3

L = 

λ

2

L

 = – 

λ

3

3

2

n

 = 1

L = –

 

λ

1

1

2

f

1

f

3

f

2

N

A

N

λ

λ

λ

Active Figure 18.10 (a) A string of length L fixed at both ends. The normal modes of

vibration form a harmonic series: (b) the fundamental, or first harmonic; (c) the sec-

ond harmonic; (d) the third harmonic.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can choose the mode number

and see the corresponding

standing wave.

N

N

N

t

 = 0

(a)

(b)

t

 = T/ 8

t = T/4

(c)

t = 3T/ 8

(d)

(e)

t = T/ 2

Figure 18.11 A standing-wave pattern in a taut string. The five

“snapshots” were taken at intervals of one eighth of the period.

(a) At t " 0, the string is momentarily at rest. (b) At t " T/8,

the string is in motion, as indicated by the red arrows, and dif-

ferent parts of the string move in different directions with dif-

ferent speeds. (c) At t " T/4, the string is moving but horizon-

tal (undeformed). (d) The motion continues as indicated.

(e) At t " T/2, the string is again momentarily at rest, but the

crests and troughs of (a) are reversed. The cycle continues 

until ultimately, when a time interval equal to T has passed, the

configuration shown in (a) is repeated.

all  elements  of  the  string  have  zero  velocity  at  the  extreme  positions  (Figs.  18.11a
and  18.11e)  and  elements  have  varying  velocities  at  other  positions  (Figs.  18.11b
through 18.11d).

The normal modes of oscillation for the string can be described by imposing the

requirements that the ends be nodes and that the nodes and antinodes be separated
by  one  fourth  of  a  wavelength.  The  first  normal  mode  that  is  consistent  with  the
boundary conditions, shown in Figure 18.10b, has nodes at its ends and one antinode
in the middle. This is the longest-wavelength mode that is consistent with our require-
ments. This first normal mode occurs when the length of the string is half the wave-
length '

1

, as indicated in Figure 18.10b, or '

1

"

2L. The next normal mode (see Fig.

18.10c) of wavelength '

2

occurs when the wavelength equals the length of the string,

that is, when '

2

"

L. The third normal mode (see Fig. 18.10d) corresponds to the case

in  which  '

3

"

2L/3.  In  general,  the  wavelengths  of  the  various  normal  modes  for  a

string of length L fixed at both ends are

(18.6)

where the index n refers to the nth normal mode of oscillation. These are the possible
modes of oscillation for the string. The actual modes that are excited on a string are
discussed shortly.

The  natural  frequencies  associated  with  these  modes  are  obtained  from  the  rela-

tionship f " v/', where the wave speed v is the same for all frequencies. Using Equa-
tion 18.6, we find that the natural frequencies f

n

of the normal modes are

(18.7)

These natural frequencies are also called the quantized frequencies associated with the vi-
brating string fixed at both ends.

Because 

(see Eq. 16.18), where T is the tension in the string and + is its

linear mass density, we can also express the natural frequencies of a taut string as

(18.8)

The lowest frequency f

1

, which corresponds to n " 1, is called either the 

fundamental

or the 

fundamental frequency and is given by

(18.9)

The frequencies of the remaining normal modes are integer multiples of the fun-

damental frequency. Frequencies of normal modes that exhibit an integer-multiple re-
lationship  such  as  this  form  a 

harmonic  series, and  the  normal  modes  are  called

f

1

"

1

2L

 

√

T
+

 f

n

"

n

2L

 

√

T
+

   

n " 1, 2, 3,

 

* * *

v "

√T/+

f

n

  

"

  

v

'

n

  

"

  

n 

 

v

2L

                  

n

  

"

  

1,

   

2,

  

3,

 

* * *

'

n

"

2L

n

   

n " 1, 2, 3,

  

. . .

554

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

Multiflash photographs of standing-wave patterns in a cord driven by a vibrator at its

left end. The single-loop pattern represents the first normal mode (the fundamental),

n " 1). The double-loop pattern represents the second normal mode (n " 2), and the

triple-loop pattern represents the third normal mode (n " 3). 

Fundamental frequency of a

taut string

Frequencies of normal modes

as functions of string tension

and linear mass density

Frequencies of normal modes

as functions of wave speed and

length of string

Wavelengths of normal modes

© 

1991 Richard Megna/Fundamental

Photographs

harmonics. The fundamental frequency f

1

is the frequency of the first harmonic; the

frequency f

2

"

2f

1

is the frequency of the second harmonic; and the frequency f

n

"

nf

1

is the frequency of the nth harmonic. Other oscillating systems, such as a drumhead,
exhibit  normal  modes,  but  the  frequencies  are  not  related  as  integer  multiples  of
a fundamental. Thus, we do not use the term harmonic in association with these types
of systems.

In obtaining Equation 18.6, we used a technique based on the separation distance

between nodes and antinodes. We can obtain this equation in an alternative manner.
Because  we  require  that  the  string  be  fixed  at  x " 0  and  x " L, the  wave  function
y(x, t) given by Equation 18.3 must be zero at these points for all times. That is, the
boundary conditions require that y(0, t) " 0 and y(L, t) " 0 for all values of t. Because
the standing wave is described by y " 2A(sin kx) cos $t, the first boundary condition,
y(0, t) " 0, is automatically satisfied because sin kx " 0 at x " 0. To meet the second
boundary condition, y(L, t) " 0, we require that sin kL " 0. This condition is satisfied
when the angle kL equals an integer multiple of & rad. Therefore, the allowed values
of k are given by

1

k

n

L " n&

n " 1, 2, 3, . . . 

(18.10)

Because k

n

"

2&/'

n

, we find that

which is identical to Equation 18.6.

Let us examine further how these various harmonics are created in a string. If we

wish to excite just a single harmonic, we must distort the string in such a way that its
distorted  shape  corresponds  to  that  of  the  desired  harmonic.  After  being  released,
the  string  vibrates  at  the  frequency  of  that  harmonic.  This  maneuver  is  difficult  to
perform, however, and it is not how we excite a string of a musical instrument. If the
string is distorted such that its distorted shape is not that of just one harmonic, the
resulting  vibration  includes  various  harmonics.  Such  a  distortion  occurs  in  musical
instruments  when  the  string  is  plucked  (as  in  a  guitar),  bowed  (as  in  a  cello),  or
struck (as in a piano). When the string is distorted into a nonsinusoidal shape, only
waves  that  satisfy  the  boundary  conditions  can  persist  on  the  string.  These  are  the
harmonics.

The frequency of a string that defines the musical note that it plays is that of the

fundamental. The frequency of the string can be varied by changing either the tension
or the string’s length. For example, the tension in guitar and violin strings is varied by
a  screw  adjustment  mechanism  or  by  tuning  pegs  located  on  the  neck  of  the  instru-
ment.  As  the  tension  is  increased,  the  frequency  of  the  normal  modes  increases  in
accordance with Equation 18.8. Once the instrument is “tuned,” players vary the fre-
quency  by  moving  their  fingers  along  the  neck,  thereby  changing  the  length  of  the
oscillating  portion  of  the  string.  As  the  length  is  shortened,  the  frequency  increases
because, as Equation 18.8 specifies, the normal-mode frequencies are inversely propor-
tional to string length.

!

2&

'

n

"

 L " n&

   

or 

   

'

n

"

2L

n

S E C T I O N   18 . 3 •  Standing Waves in a String Fixed at Both Ends

555

1

We exclude n " 0 because this value corresponds to the trivial case in which no wave exists (k " 0).

Quick Quiz 18.5

When a standing wave is set up on a string fixed at both

ends, (a) the number of nodes is equal to the number of antinodes (b) the wavelength
is equal to the length of the string divided by an integer (c) the frequency is equal to
the number of nodes times the fundamental frequency (d) the shape of the string at
any time is symmetric about the midpoint of the string.

556

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

Example 18.3 Give Me a C Note!

Middle C on a piano has a fundamental frequency of 262 Hz,
and the first A above middle C has a fundamental frequency
of 440 Hz.

(A)

Calculate the frequencies of the next two harmonics of

the C string.

Solution Knowing that the frequencies of higher harmon-
ics  are  integer  multiples  of  the  fundamental  frequency
f

1

"

262 Hz, we find that

f

2

"

2f

1

"

f

3

"

3f

1

"

(B)

If the A and C strings have the same linear mass density +

and length L, determine the ratio of tensions in the two strings.

Solution Using Equation 18.9 for the two strings vibrating
at their fundamental frequencies gives

f

1A

"

1

2L

 

√

T

A

+

   

and

   

f

1C

"

1

2L

 

√

T

C

+

786 Hz

524 Hz

Setting up the ratio of these frequencies, we find that

What If?

What if we look inside a real piano? In this case,

the assumption we made in part (B) is only partially true. The
string  densities  are  equal,  but  the  length  of  the  A  string  is
only 64 percent of the length of the C string. What is the ratio
of their tensions?

Answer Using Equation 18.8 again, we set up the ratio of
frequencies:

T

A

T

C

"

(0.64)

2 

!

440
262

"

2

"

1.16

f

1A

f

1C

"

L

 

C

L

 

A

 

√

T

A

T

C

"

!

100

64

"

 

√

T

A

T

C

2.82

T

A

T

C

"

!

f

1A

f

1C

"

2

"

!

440
262

"

2

"

f

1A

f

1C

"

√

T

A

T

C

Example 18.4 Guitar Basics

The  high  E  string  on  a  guitar  measures  64.0 cm  in  length
and  has  a  fundamental  frequency  of  330 Hz.  By  pressing
down so that the string is in contact with the first fret (Fig.
18.12), the string is shortened so that it plays an F note that
has a frequency of 350 Hz. How far is the fret from the neck
end of the string?

Solution Equation  18.7  relates  the  string’s  length  to  the
fundamental  frequency.  With  n " 1,  we  can  solve  for  the
speed of the wave on the string,

Because we have not adjusted the tuning peg, the tension in
the string, and hence the wave speed, remain constant. We
can  again  use  Equation  18.7,  this  time  solving  for  L and

v "

2L

n

 f

n

"

2(0.640 m)

1

 (330 Hz) " 422 m/s

substituting the new frequency to find the shortened string
length:

The  difference  between  this  length  and  the  measured
length of 64.0 cm is the distance from the fret to the neck
end of the string, or 

What  If?

What if we wish to play an F sharp, which we do

by pressing down on the second fret from the neck in Figure
18.12? The frequency of F sharp is 370 Hz. Is this fret another
3.7 cm from the neck?

Answer If  you  inspect  a  guitar  fingerboard,  you  will  find
that the frets are not equally spaced. They are far apart near
the neck and close together near the opposite end. Conse-
quently,  from  this  observation,  we  would  not  expect  the  F
sharp fret to be another 3.7 cm from the end.

Let  us  repeat  the  calculation  of  the  string  length,  this

time for the frequency of F sharp:

This  gives  a  distance  of  0.640 m # 0.571 m " 0.069 m "
6.9 cm  from  the  neck.  Subtracting  the  distance  from  the
neck  to  the  first  fret,  the  separation  distance  between  the
first and second frets is 6.9 cm # 3.7 cm " 3.2 cm.

L " n 

 

v

2f

n

"

(1) 

422 m/s

2(370 Hz)

"

0.571 m

3.7 cm.

L " n 

 

v

2f

n

"

(1) 

422 m/s

2(350 Hz)

"

0.603 m " 60.3 cm

Figure 18.12 (Example 18.4) Playing an F note on a guitar. 

Charles D. Winters

Explore this situation at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Interactive