Physics For Scientists And Engineers 6E - part 137

when two pebbles are thrown into a pond and hit the surface at different places, the
expanding  circular  surface  waves  do  not  destroy  each  other  but  rather  pass  through
each other. The complex pattern that is observed can be viewed as two independent
sets of expanding circles. Likewise, when sound waves from two sources move through
air, they pass through each other.

Figure  18.1  is  a  pictorial  representation  of  the  superposition  of  two  pulses.  The

wave  function  for  the  pulse  moving  to  the  right  is  y

1

,  and  the  wave  function  for  the

pulse moving to the left is y

2

. The pulses have the same speed but different shapes, and

the displacement of the elements of the medium is in the positive y direction for both
pulses. When the waves begin to overlap (Fig. 18.1b), the wave function for the result-
ing  complex  wave  is  given  by  y

1

!

y

2

.  When  the  crests  of  the  pulses  coincide

(Fig. 18.1c), the resulting wave given by y

1

!

y

2

has a larger amplitude than that of the

individual pulses. The two pulses finally separate and continue moving in their original
directions (Fig. 18.1d). Note that the pulse shapes remain unchanged after the interac-
tion, as if the two pulses had never met!

The combination of separate waves in the same region of space to produce a resultant

wave is called 

interference. For the two pulses shown in Figure 18.1, the displacement of

the elements of the medium is in the positive y direction for both pulses, and the resultant
pulse  (created  when  the  individual  pulses  overlap)  exhibits  an  amplitude  greater  than
that of either individual pulse. Because the displacements caused by the two pulses are in
the same direction, we refer to their superposition as 

constructive interference.

Now consider two pulses traveling in opposite directions on a taut string where one

pulse is inverted relative to the other, as illustrated in Figure 18.2. In this case, when
the pulses begin to overlap, the resultant pulse is given by y

1

!

y

2

, but the values of the

function y

2

are negative. Again, the two pulses pass through each other; however, be-

cause the displacements caused by the two pulses are in opposite directions, we refer to
their superposition as 

destructive interference.

SECTION 18.1 •  Superposition and Interference

545

(c)

(d)

(b)

(a)

y

2

y

1

y

1

+ y

2

y

1

+ y

2

y

2

y

1

Active Figure 18.1 (a–d) Two pulses traveling on a stretched string in opposite direc-

tions pass through each other. When the pulses overlap, as shown in (b) and (c), the

net displacement of the string equals the sum of the displacements produced by each

pulse. Because each pulse produces positive displacements of the string, we refer to

their superposition as constructive interference. (e) Photograph of the superposition of

two equal, symmetric pulses traveling in opposite directions on a stretched spring. 

Education Development Center

, Newton, MA

▲

PITFALL PREVENTION

18.1 Do Waves Really

Interfere?

In  popular  usage,  the  term  inter-
fere implies that an agent affects a
situation in some way so as to pre-
clude  something  from  happen-
ing.  For  example,  in  American
football,  pass  interference means
that  a  defending  player  has  af-
fected  the  receiver  so  that  he  is
unable  to  catch  the  ball.  This  is
very  different  from  its  use  in
physics, where waves pass through
each  other  and  interfere,  but  do
not  affect  each  other  in  any  way.
In  physics,  interference  is  similar
to the notion of combination as de-
scribed in this chapter.

Constructive interference

Destructive interference

(e)

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you can choose the

amplitude and orientation of each of the pulses and study the interference

between them as they pass each other.

546

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

(a)

(b)

(d)

(e)

y

1

y

2

y

1

y

2

y

2

y

1

y

2

y

1

(c)

y

1

+ y

2

Active Figure 18.2 (a–e) Two pulses traveling in opposite directions and having dis-

placements that are inverted relative to each other. When the two overlap in (c), their

displacements partially cancel each other. (f ) Photograph of the superposition of two

symmetric pulses traveling in opposite directions, where one is inverted relative to the

other. 

Education Development Center

, Newton, MA

Quick Quiz 18.1

Two pulses are traveling toward each other, each at 10 cm/s

on a long string, as shown in Figure 18.3. Sketch the shape of the string at t " 0.6 s.

Quick Quiz 18.2

Two pulses move in opposite directions on a string and are

identical  in  shape  except  that  one  has  positive  displacements  of  the  elements  of  the
string  and  the  other  has  negative  displacements.  At  the  moment  that  the  two  pulses
completely overlap on the string, (a) the energy associated with the pulses has disap-
peared (b) the string is not moving (c) the string forms a straight line (d) the pulses
have vanished and will not reappear.

1 cm

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can choose the amplitude and

orientation of each of the

pulses and watch the interfer-

ence as they pass each other.

Figure 18.3 (Quick Quiz 18.1) The pulses on this string are traveling at 10 cm/s.

(f)

Superposition of Sinusoidal Waves

Let us now apply the principle of superposition to two sinusoidal waves traveling in the
same direction in a linear medium. If the two waves are traveling to the right and have
the  same  frequency,  wavelength,  and  amplitude  but  differ  in  phase,  we  can  express
their individual wave functions as

y

1

"

A sin(kx # $t)

y

2

"

A sin(kx # $t ! %)

where, as usual, k " 2&/', $ " 2&f, and % is the phase constant, which we discussed in
Section 16.2. Hence, the resultant wave function y is

y " y

1

!

y

2

"

A[sin(kx # $t) ! sin(kx # $t ! %)]

To simplify this expression, we use the trigonometric identity

If  we  let  a " kx # $t and  b " kx # $t ! %,  we  find  that  the  resultant  wave  function
y reduces to

This result has several important features. The resultant wave function y also is sinus-
oidal and has the same frequency and wavelength as the individual waves because the
sine function incorporates the same values of k and $ that appear in the original wave
functions. The amplitude of the resultant wave is 2A cos(%/2), and its phase is %/2. If
the phase constant % equals 0, then cos (%/2) " cos 0 " 1, and the amplitude of the
resultant  wave  is  2A—twice  the  amplitude  of  either  individual  wave.  In  this  case  the
waves are said to be everywhere in phase and thus interfere constructively. That is, the
crests  and  troughs  of  the  individual  waves  y

1

and  y

2

occur  at  the  same  positions  and

combine to form the red curve y of amplitude 2A shown in Figure 18.4a. Because the

y " 2A cos 

!

%

2

"

 sin 

!

kx

 

#

$

t !

%

2

"

sin a ! sin b " 2 cos 

!

a # b

2

"

 sin 

!

a ! b

2

"

SECTION 18.1 •  Superposition and Interference

547

y

= 0

°

y

1

 and y

2

 are identical

x

y

y

1

y

2

y

x

x

y

(a)

(b)

(c)

φ

y

y

1

y

2

= 180

°

φ

= 60

°

φ

y

Active Figure 18.4 The superposition

of two identical waves y

1

and y

2

(blue

and green) to yield a resultant wave

(red). (a) When y

1

and y

2

are in phase,

the result is constructive interference.

(b) When y

1

and y

2

are 

&

rad out of

phase, the result is destructive interfer-

ence. (c) When the phase angle has a

value other than 0 or 

&

rad, the resul-

tant wave y falls somewhere between the

extremes shown in (a) and (b).

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can change the phase relation-

ship between the waves and

observe the wave representing

the superposition.

Resultant of two traveling

sinusoidal waves 

individual waves are in phase, they are indistinguishable in Figure 18.4a, in which they
appear  as  a  single  blue  curve.  In  general,  constructive  interference  occurs  when
cos(%/2) " ( 1. This is true, for example, when % " 0, 2&, 4&, . . . rad—that is, when
%

is an even multiple of &.

When % is equal to & rad or to any odd multiple of &, then cos(%/2) " cos(&/2) "

0, and the crests of one wave occur at the same positions as the troughs of the second
wave (Fig. 18.4b). Thus, the resultant wave has zero amplitude everywhere, as a conse-
quence of destructive interference. Finally, when the phase constant has an arbitrary
value other than 0 or an integer multiple of & rad (Fig. 18.4c), the resultant wave has
an amplitude whose value is somewhere between 0 and 2A.

Interference of Sound Waves

One  simple  device  for  demonstrating  interference  of  sound  waves  is  illustrated  in
Figure 18.5. Sound from a loudspeaker S is sent into a tube at point P, where there is a
T-shaped junction. Half of the sound energy travels in one direction, and half travels in
the  opposite  direction.  Thus,  the  sound  waves  that  reach  the  receiver  R  can  travel
along either of the two paths. The distance along any path from speaker to receiver is
called the 

path length r. The lower path length r

1

is fixed, but the upper path length

r

2

can be varied by sliding the U-shaped tube, which is similar to that on a slide trom-

bone. When the difference in the path lengths )r "

#r

2

#

r

1

# is either zero or some in-

teger multiple of the wavelength ' (that is )r " n', where n " 0, 1, 2, 3, . . .), the two
waves reaching the receiver at any instant are in phase and interfere constructively, as
shown in Figure 18.4a. For this case, a maximum in the sound intensity is detected at
the receiver. If the path length r

2

is adjusted such that the path difference )r " '/2,

3'/2, . . . , n'/2 (for n odd), the two waves are exactly & rad, or 180°, out of phase at
the receiver and hence cancel each other. In this case of destructive interference, no
sound  is  detected  at  the  receiver.  This  simple  experiment  demonstrates  that  a  phase
difference may arise between two waves generated by the same source when they travel
along paths of unequal lengths. This important phenomenon will be indispensable in
our investigation of the interference of light waves in Chapter 37.

It is often useful to express the path difference in terms of the phase angle % be-

tween  the  two  waves.  Because  a  path  difference  of  one  wavelength  corresponds  to  a
phase angle of 2& rad, we obtain the ratio %/2& " )

r/' or

(18.1)

Using  the  notion  of  path  difference,  we  can  express  our  conditions  for  constructive
and destructive interference in a different way. If the path difference is any even multi-
ple of '/2, then the phase angle % " 2

n&, where n " 0, 1, 2, 3, . . . , and the interfer-

ence  is  constructive.  For  path  differences  of  odd  multiples  of  '/2,  % " (2n ! 1)&,
where  n " 0, 1, 2, 3, . . . ,  and  the  interference  is  destructive.  Thus,  we  have  the
conditions

)

r "

%

2&

 '

548

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

r

1

r

2

R

Speaker

S

P

Receiver

Figure 18.5 An acoustical system for demonstrat-

ing interference of sound waves. A sound wave

from the speaker (S) propagates into the tube

and splits into two parts at point P. The two waves,

which combine at the opposite side, are detected

at the receiver (R). The upper path length r

2

can

be varied by sliding the upper section.

Relationship between path

difference and phase angle