Physics For Scientists And Engineers 6E - part 136

Problems

541

hears  the  sonic  boom,  followed  2.80 s  later  by  the  sound
of the  rocket  engine.  What  is  the  Mach  number  of  the
aircraft?

62. A  police  car  is  traveling  east  at  40.0 m/s  along  a  straight

road, overtaking a car ahead of it moving east at 30.0 m/s.
The police car has a malfunctioning siren that is stuck at
1 000 Hz. (a) Sketch the appearance of the wave fronts of
the  sound  produced  by  the  siren.  Show  the  wave  fronts
both to the east and to the west of the police car. (b) What
would  be  the  wavelength  in  air  of  the  siren  sound  if  the
police  car  were  at  rest?  (c)  What  is  the  wavelength  in
front of  the  police  car?  (d)  What  is  it  behind  the  police
car?  (e)  What  is  the  frequency  heard  by  the  driver  being
chased?

63. The speed of a one-dimensional compressional wave trav-

eling along a thin copper rod is 3.56 km/s. A copper bar is
given a sharp compressional blow at one end. The sound
of the blow, traveling through air at 0°C, reaches the oppo-
site end of the bar 6.40 ms later than the sound transmit-
ted  through  the  metal  of  the  bar.  What  is  the  length  of
the bar? 

64.

A  jet  flies  toward  higher  altitude  at  a  constant  speed  of
1 963 m/s in a direction making an angle 0 with the hori-
zontal (Fig. P17.64). An observer on the ground hears the
jet  for  the  first  time  when  it  is  directly  overhead.  Deter-
mine the value of 0 if the speed of sound in air is 340 m/s.

With particular experimental methods, it is possible to

produce and observe in a long thin rod both a longitudi-
nal wave and a transverse wave whose speed depends pri-
marily on tension in the rod. The speed of the longitudi-
nal  wave  is  determined  by  the  Young’s  modulus  and  the
density of the material as 

. The transverse wave can be

modeled as a wave in a stretched string. A particular metal
rod  is  150 cm  long  and  has  a  radius  of  0.200 cm  and  a
mass  of  50.9 g.  Young’s  modulus  for  the  material  is
6.80 & 10

10

N/m

2

. What must the tension in the rod be if

the ratio of the speed of longitudinal waves to the speed of
transverse waves is 8.00?

68.

A  siren  creates  sound  with  a  level  - at  a  distance  d from
the speaker. The siren is powered by a battery that delivers
a total energy E. Let e represent the efficiency of the siren.
(That is, e is equal to the output sound energy divided by
the  supplied  energy).  Determine  the  total  time  the  siren
can sound.

69.

The Doppler equation presented in the text is valid when
the motion between the observer and the source occurs on
a straight line, so that the source and observer are moving
either directly toward or directly away from each other. If
this restriction is relaxed, one must use the more general
Doppler equation

where 0

O

and 0

S

are defined in Figure P17.69a. (a) Show

that if the observer and source are moving away from each
other,  the  preceding  equation  reduces  to  Equation  17.13
with  negative  values  for  both  v

O

and  v

S

.  (b)  Use  the  pre-

ceding  equation  to  solve  the  following  problem.  A  train
moves at a constant speed of 25.0 m/s toward the intersec-
tion shown in Figure P17.69b. A car is stopped near the in-
tersection, 30.0 m from the tracks. If the train’s horn emits
a frequency of 500 Hz, what is the frequency heard by the
passengers in the car when the train is 40.0 m from the in-
tersection? Take the speed of sound to be 343 m/s.

f . #

!

v $ v

O

 

 

cos0

O

v * v

S

 

 

cos0

S

"

 f

√Y/!

67.

θ

Figure P17.64

A  meteoroid  the  size  of  a  truck  enters  the  earth’s  atmos-
phere  at  a  speed  of  20.0 km/s  and  is  not  significantly
slowed  before  entering  the  ocean.  (a)  What  is  the  Mach
angle of the shock wave from the meteoroid in the atmos-
phere?  (Use  331 m/s  as  the  sound  speed.)  (b)  Assuming
that the meteoroid survives the impact with the ocean sur-
face,  what  is  the  (initial)  Mach  angle  of  the  shock  wave
that the meteoroid produces in the water? (Use the wave
speed for seawater given in Table 17.1.)

66. An  interstate  highway  has  been  built  through  a  poor

neighborhood in a city. In the afternoon, the sound level
in  a  rented  room  is  80.0 dB,  as  100  cars  pass  outside  the
window  every  minute.  Late  at  night,  when  the  tenant  is
working  in  a  factory,  the  traffic  flow  is  only  five  cars  per
minute. What is the average late-night sound level?

65.

f

S

v

S

f

O

v

O

(b)

25.0 m/s

(a)

θ

O

θ

θ

S

θ

Figure P17.69

70.

Equation  17.7  states  that,  at  distance  r away  from  a  point
source with power !

av

, the wave intensity is

Study  Figure  17.9  and  prove  that,  at  distance  r straight 
in  front  of  a  point  source  with  power  !

av

moving  with 

I #

!

av

4,r

2

constant speed v

S

, the wave intensity is

Three  metal  rods  are  located  relative  to  each  other  as
shown in Figure P17.71, where L

1

$

L

2

#

L

3

. The speed

of sound in a rod is given by 

, where ! is the den-

sity  and  Y is  Young’s  modulus  for  the  rod.  Values  of 
density  and  Young’s  modulus  for  the  three  materials  are 
!

1

#

2.70 & 10

3

kg/m

3

,  Y

1

#

7.00 & 10

10

N/m

2

,  !

2

#

11.3 & 10

3

kg/m

3

,  Y

2

#

1.60 & 10

10

N/m

2

,  !

3

#

8.80 &

10

3

kg/m

3

,  Y

3

#

11.0 & 10

10

N/m

2

.  (a)  If  L

3

#

1.50 m,

what  must  the  ratio  L

1

/L

2

be  if  a  sound  wave  is  to  travel

the length of rods 1 and 2 in the same time as it takes for
the wave to travel the length of rod 3? (b) If the frequency
of the source is 4.00 kHz, determine the phase difference
between the wave traveling along rods 1 and 2 and the one
traveling along rod 3.

v #

√Y/!

71.

I #

!

av

4,r

2

 

!

v * v

S

v

"

542

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

wave determines the size of the oscillations of elements of
air but does not affect the speed of the wave through the
air.

17.2 (c).  Because  the  bottom  of  the  bottle  is  a  rigid  barrier,

the displacement of elements of air at the bottom is zero.
Because  the  pressure  variation  is  a  minimum  or  a  maxi-
mum  when  the  displacement  is  zero,  and  the  pulse  is
moving downward, the pressure variation at the bottom is
a maximum.

17.3 (c). The ear trumpet collects sound waves from the large

area of its opening and directs it toward the ear. Most of
the sound in this large area would miss the ear in the ab-
sence of the trumpet.

17.4 (b). The large area of the guitar body sets many elements

of air into oscillation and allows the energy to leave the
system  by  mechanical  waves  at  a  much  larger  rate  than
from the thin vibrating string.

17.5 (c). The only parameter that adds directly is intensity. Be-

cause  of  the  logarithm  function  in  the  definition  of
sound level, sound levels cannot be added directly.

17.6 (b).  The  factor  of  100  is  two  powers  of  ten.  Thus,  the

logarithm  of  100  is  2,  which  multiplied  by  10  gives
20 dB.

17.7 (e).  The  wave  speed  cannot  be  changed  by  moving  the

source, so (a) and (b) are incorrect. The detected wave-
length is largest at A, so (c) and (d) are incorrect. Choice
(f) is incorrect because the detected frequency is lowest
at location A.

17.8 (e).  The  intensity  of  the  sound  increases  because  the

train is moving closer to you. Because the train moves at a
constant  velocity,  the  Doppler-shifted  frequency  remains
fixed.

17.9 (b). The Mach number is the ratio of the plane’s speed

(which does not change) to the speed of sound, which is
greater in the warm air than in the cold. The denomina-
tor of this ratio increases while the numerator stays con-
stant.  Therefore,  the  ratio  as  a  whole—the  Mach  num-
ber—decreases.

1

2

3

L

3

L

2

L

1

72.

The smallest wavelength possible for a sound wave in air is

on the order of the separation distance between air mole-
cules.  Find  the  order  of  magnitude  of  the  highest-fre-
quency sound wave possible in air, assuming a wave speed
of 343 m/s, density 1.20 kg/m

3

, and an average molecular

mass of 4.82 & 10

*

26

kg.

Answers to Quick Quizzes

17.1 (c). Although the speed of a wave is given by the product

of its wavelength (a) and frequency (b), it is not affected
by changes in either one. The amplitude (d) of a sound

Figure P17.71

543

543

543

Superposition and 

Standing Waves

C H A P T E R   O U T L I N E

18.1 Superposition and

Interference

18.2 Standing Waves

18.3 Standing Waves in a String

Fixed at Both Ends

18.4 Resonance

18.5 Standing Waves in Air

Columns

18.6 Standing Waves in Rods and

Membranes

18.7 Beats: Interference in Time

18.8 Nonsinusoidal Wave Patterns

▲

Guitarist Carlos Santana takes advantage of standing waves on strings. He changes to a

higher note on the guitar by pushing the strings against the frets on the fingerboard, shorten-
ing the lengths of the portions of the strings that vibrate. (Bettmann/Corbis)

Chapter 18

544

I

n  the  previous  two  chapters,  we  introduced  the  wave  model.  We  have  seen  that

waves are very different from particles. A particle is of zero size, while a wave has a
characteristic  size—the  wavelength.  Another  important  difference  between  waves
and particles is that we can explore the possibility of two or more waves combining at
one point in the same medium. We can combine particles to form extended objects,
but  the  particles  must  be  at  different locations.  In  contrast,  two  waves  can  both  be 
present at the same location, and the ramifications of this possibility are explored in
this chapter.

When waves are combined, only certain allowed frequencies can exist on systems

with boundary conditions—the frequencies are quantized. Quantization is a notion that
is at the heart of quantum mechanics, a subject that we introduce formally in Chapter
40. There we show that waves under boundary conditions explain many of the quan-
tum phenomena. For our present purposes in this chapter, quantization enables us to
understand  the  behavior  of  the  wide  array  of  musical  instruments  that  are  based  on
strings and air columns.

We also consider the combination of waves having different frequencies and wave-

lengths. When two sound waves having nearly the same frequency interfere, we hear
variations in the loudness called beats. The beat frequency corresponds to the rate of
alternation between constructive and destructive interference. Finally, we discuss how
any  nonsinusoidal  periodic  wave  can  be  described  as  a  sum  of  sine  and  cosine
functions.

18.1 Superposition and Interference

Many interesting wave phenomena in nature cannot be described by a single traveling
wave. Instead, one must analyze complex waves in terms of a combination of traveling
waves.  To  analyze  such  wave  combinations,  one  can  make  use  of  the 

superposition

principle:

Waves that obey this principle are called linear waves. In the case of mechanical waves,
linear waves are generally characterized by having amplitudes much smaller than their
wavelengths.  Waves  that  violate  the  superposition  principle  are  called nonlinear  waves
and are often characterized by large amplitudes. In this book, we deal only with linear
waves.

One consequence of the superposition principle is that 

two traveling waves can

pass through each other without being destroyed or even altered. For instance,

If two or more traveling waves are moving through a medium, the resultant value of
the wave function at any point is the algebraic sum of the values of the wave func-
tions of the individual waves.

Superposition principle