Physics For Scientists And Engineers 6E - part 141

Because all harmonics are present, and because the fundamental frequency is given by
the same expression as that for a string (see Eq. 18.7), we can express the natural fre-
quencies of oscillation as

(18.11)

Despite the similarity between Equations 18.7 and 18.11, you must remember that v in
Equation 18.7 is the speed of waves on the string, whereas v in Equation 18.11 is the
speed of sound in air.

If a pipe is closed at one end and open at the other, the closed end is a displace-

ment node (see Fig. 18.18b). In this case, the standing wave for the fundamental mode
extends from an antinode to the adjacent node, which is one fourth of a wavelength.
Hence, the wavelength for the first normal mode is 4L, and the fundamental frequency
is f

1

"

v/4L. As Figure 18.18b shows, the higher-frequency waves that satisfy our condi-

tions are those that have a node at the closed end and an antinode at the open end;
this means that the higher harmonics have frequencies 3f

1

, 5f

1

, . . . .

f

n

"

n 

 

v

2L

   

n " 1,

 

2,

 

3,

  .  .  .

S E C T I O N   18 . 5 •  Standing Waves in Air Columns

561

In a pipe closed at one end, the natural frequencies of oscillation form a harmonic
series that includes only odd integral multiples of the fundamental frequency.

We express this result mathematically as

(18.12)

It is interesting to investigate what happens to the frequencies of instruments based

on  air  columns  and  strings  during  a  concert  as  the  temperature  rises.  The  sound
emitted by a flute, for example, becomes sharp (increases in frequency) as it warms up
because  the  speed  of  sound  increases  in  the  increasingly  warmer  air  inside  the  flute
(consider Eq. 18.11). The sound produced by a violin becomes flat (decreases in fre-
quency) as the strings thermally expand because the expansion causes their tension to
decrease (see Eq. 18.8).

Musical instruments based on air columns are generally excited by resonance. The

air column is presented with a sound wave that is rich in many frequencies. The air col-
umn  then  responds  with  a  large-amplitude  oscillation  to  the  frequencies  that  match
the quantized frequencies in its set of harmonics. In many woodwind instruments, the
initial rich sound is provided by a vibrating reed. In the brasses, this excitation is pro-
vided by the sound coming from the vibration of the player’s lips. In a flute, the initial
excitation comes from blowing over an edge at the mouthpiece of the instrument. This
is similar to blowing across the opening of a bottle with a narrow neck. The sound of
the air rushing across the edge has many frequencies, including one that sets the air
cavity in the bottle into resonance.

f

n

"

n 

 

v

4L

   

n " 1,

 

3,

 

5,

  .  .  .

Quick  Quiz  18.7

A  pipe  open  at  both  ends  resonates  at  a  fundamental

frequency  f

open

.  When  one  end  is  covered  and  the  pipe  is  again  made  to  resonate,

the fundamental  frequency  is  f

closed

.  Which  of  the  following  expressions  describes

how these  two  resonant  frequencies  compare?

(a)  f

closed

"

f

open

(b)  f

closed

"

f

open

(c) f

closed

"

2 f

open

(d) f

closed

"

f

open

Quick  Quiz  18.8

Balboa  Park  in  San  Diego  has  an  outdoor  organ.  When

the air  temperature  increases,  the  fundamental  frequency  of  one  of  the  organ  pipes
(a) stays the same (b) goes down (c) goes up (d) is impossible to determine.

3

2

1

2

Natural frequencies of a pipe

open at both ends

Natural frequencies of a pipe

closed at one end and open at

the other

562

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

Example 18.6 Wind in a Culvert

A  section  of  drainage  culvert  1.23 m  in  length  makes  a
howling noise when the wind blows.

(A)

Determine the frequencies of the first three harmonics

of  the  culvert  if  it  is  cylindrical  in  shape  and  open  at  both
ends. Take v " 343 m/s as the speed of sound in air.

Solution The  frequency  of  the  first  harmonic  of  a  pipe
open at both ends is

Because  both  ends  are  open,  all  harmonics  are  present;
thus,

f

2

"

2f

1

"

and

f

3

"

3f

1

"

(B)

What  are  the  three  lowest  natural  frequencies  of  the

culvert if it is blocked at one end?

Solution The  fundamental  frequency  of  a  pipe  closed  at
one end is

417 Hz

278 Hz

139 Hz

f

1

"

v

2L

"

343 m/s

2(1.23 m)

"

In  this  case,  only  odd  harmonics  are  present;  hence,  the 

next  two  harmonics  have  frequencies  f

3

"

3f

1

"

and f

5

"

5f

1

"

(C)

For the culvert open at both ends, how many of the har-

monics present fall within the normal human hearing range
(20 to 20 000 Hz)?

Solution Because all harmonics are present for a pipe open
at  both  ends,  we  can  express  the  frequency  of  the  highest
harmonic  heard  as  f

n

"

nf

1

where  n is  the  number  of  har-

monics that we can hear. For f

n

"

20 000 Hz, we find that the

number of harmonics present in the audible range is

Only  the  first  few  harmonics  are  of  sufficient  amplitude  to
be heard.

143

n

  

"

  

20

  

000

  

Hz

139

  

Hz

  

"

 

349 Hz.

209 Hz

69.7 Hz

f

1

"

v

4L

"

343 m/s

4(1.23 m)

"

Example 18.7 Measuring the Frequency of a Tuning Fork

A  simple  apparatus  for  demonstrating  resonance  in  an  air
column is depicted in Figure 18.19. A vertical pipe open at
both ends is partially submerged in water, and a tuning fork
vibrating at an unknown frequency is placed near the top of
the pipe. The length L of the air column can be adjusted by
moving  the  pipe  vertically.  The  sound  waves  generated  by
the  fork  are  reinforced  when  L corresponds  to  one  of  the
resonance frequencies of the pipe.

For  a  certain  pipe,  the  smallest  value  of  L for

which a peak occurs in the sound intensity is 9.00 cm. What
are

(A)

the frequency of the tuning fork

(B)

the  values  of  L for  the  next  two  resonance  frequen-

cies?

Solution

(A) Although the pipe is open at its lower end to allow the
water to enter, the water’s surface acts like a wall at one end.
Therefore,  this  setup  can  be  modeled  as  an  air  column
closed  at  one  end,  and  so  the  fundamental  frequency  is
given  by  f

1

"

v/4L.  Taking  v " 343 m/s  for  the  speed  of

sound in air and L " 0.090 0 m, we obtain

Because the tuning fork causes the air column to resonate at
this frequency, this must also be the frequency of the tuning
fork.

(B) Because  the  pipe  is  closed  at  one  end,  we  know  from
Figure  18.18b  that  the  wavelength  of  the  fundamental
mode  is  ' " 4L " 4(0.090  0 m) " 0.360 m.  Because  the
frequency  of  the  tuning  fork  is  constant,  the  next  two
normal modes (see Fig. 18.19b) correspond to lengths of 

L " 3'/4 "

and L " 5'/4 " 0.450 m.

0.270 m

953 Hz

f

1

"

v

4L

"

343 m/s

4(0.090

  

0 m)

"

L

Water

f = ?

First

resonance

Second

resonance

(third

harmonic)

Third

resonance

(fifth

harmonic)

(b)

(a)

λ

/4

3

λ

/4

5

λ

/4

λ

λ

λ

Figure 18.19 (Example 18.7) (a) Apparatus for demon-

strating the resonance of sound waves in a pipe closed at

one end. The length L of the air column is varied by

moving the pipe vertically while it is partially submerged in

water. (b) The first three normal modes of the system shown

in part (a).

S E C T I O N   18 . 6 •  Standing Waves in Rods and Membranes

563

18.6 Standing Waves in Rods and Membranes

Standing waves can also be set up in rods and membranes. A rod clamped in the mid-
dle and stroked parallel to the rod at one end oscillates, as depicted in Figure 18.20a.
The oscillations of the elements of the rod are longitudinal, and so the broken lines in
Figure 18.20 represent longitudinal displacements of various parts of the rod. For clar-
ity, we have drawn them in the transverse direction, just as we did for air columns. The
midpoint is a displacement node because it is fixed by the clamp, whereas the ends are
displacement antinodes because they are free to oscillate. The oscillations in this setup
are analogous to those in a pipe open at both ends. The broken lines in Figure 18.20a
represent the first normal mode, for which the wavelength is 2L and the frequency is
f " v/2L, where v is the speed of longitudinal waves in the rod. Other normal modes
may  be  excited  by  clamping  the  rod  at  different  points.  For  example,  the  second
normal mode (Fig. 18.20b) is excited by clamping the rod a distance L/4 away from
one end.

Musical  instruments  that  depend  on  standing  waves  in  rods  include  triangles,

marimbas,  xylophones,  glockenspiels,  chimes,  and  vibraphones.  Other  devices  that
make sounds from bars include music boxes and wind chimes.

Two-dimensional oscillations can be set up in a flexible membrane stretched over a

circular hoop, such as that in a drumhead. As the membrane is struck at some point,
waves that arrive at the fixed boundary are reflected many times. The resulting sound
is not harmonic because the standing waves have frequencies that are not related by in-
teger multiples. Without this relationship, the sound may be more correctly described
as noise than as music. This is in contrast to the situation in wind and stringed instru-
ments, which produce sounds that we describe as musical.

Some  possible  normal  modes  of  oscillation  for  a  two-dimensional  circular  mem-

brane are shown in Figure 18.21. While nodes are points in one-dimensional standing

A

N

A

λ

1

 = 2L

(a)

L

f

1

 = – = –

v

λ

1

v

2L

λ

λ

Figure 18.20 Normal-mode longi-

tudinal vibrations of a rod of

length L (a) clamped at the middle

to produce the first normal mode

and (b) clamped at a distance L/4

from one end to produce the sec-

ond normal mode. Note that the

broken lines represent oscillations

parallel to the rod (longitudinal

waves).

01

11

21

02

31

12

1

1.59

2.14

2.30

2.65

2.92

41

22

03

51

32

61

3.16

3.50

3.60

3.65

4.06

4.15

Elements of the medium moving out

of the page at an instant of time.

Elements of the medium moving into

the page at an instant of time.

Figure 18.21 Representation of some of the normal modes possible in a circular mem-

brane fixed at its perimeter. The pair of numbers above each pattern corresponds to

the number of radial nodes and the number of circular nodes. Below each pattern is a

factor by which the frequency of the mode is larger than that of the 01 mode. The fre-

quencies of oscillation do not form a harmonic series because these factors are not inte-

gers. In each diagram, elements of the membrane on either side of a nodal line move

in opposite directions, as indicated by the colors. (Adapted from T. D. Rossing, The Sci-

ence of Sound, 2nd ed, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley Publishing Co., 1990)

N

A

A

(b)

L

4

–

A

N

λ

2

 = L

f

2

 = – = 2f

1

v

L

λ

564

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

waves  on  strings  and  in  air  columns,  a  two-dimensional  oscillator  has  curves along
which  there  is  no  displacement  of  the  elements  of  the  medium.  The  lowest  normal
mode,  which  has  a  frequency  f

1

,  contains  only  one  nodal  curve;  this  curve  runs

around the outer edge of the membrane. The other possible normal modes show ad-
ditional  nodal  curves  that  are  circles  and  straight  lines  across  the  diameter  of  the
membrane.

18.7 Beats: Interference in Time

The interference phenomena with which we have been dealing so far involve the su-
perposition of two or more waves having the same frequency. Because the amplitude of
the oscillation of elements of the medium varies with the position in space of the ele-
ment, we refer to the phenomenon as spatial interference. Standing waves in strings and
pipes are common examples of spatial interference.

We now consider another type of interference, one that results from the superposi-

tion of two waves having slightly different frequencies. In this case, when the two waves
are observed at the point of superposition, they are periodically in and out of phase.
That is, there is a temporal (time) alternation between constructive and destructive in-
terference. As a consequence, we refer to this phenomenon as interference in time or tem-
poral interference. For example, if two tuning forks of slightly different frequencies are
struck,  one  hears  a  sound  of  periodically  varying  amplitude.  This  phenomenon  is
called 

beating:

Beating is the periodic variation in amplitude at a given point due to the superposi-
tion of two waves having slightly different frequencies.

The  number  of  amplitude  maxima  one  hears  per  second,  or  the  beat  frequency,

equals  the  difference  in  frequency  between  the  two  sources,  as  we  shall  show  below.
The  maximum  beat  frequency  that  the  human  ear  can  detect  is  about  20  beats/s.
When the beat frequency exceeds this value, the beats blend indistinguishably with the
sounds producing them.

A  piano  tuner  can  use  beats  to  tune  a  stringed  instrument  by  “beating”  a  note

against a reference tone of known frequency. The tuner can then adjust the string ten-
sion  until  the  frequency  of  the  sound  it  emits  equals  the  frequency  of  the  reference
tone.  The  tuner  does  this  by  tightening  or  loosening  the  string  until  the  beats  pro-
duced by it and the reference source become too infrequent to notice.

Consider two sound waves of equal amplitude traveling through a medium with

slightly different frequencies f

1

and f

2

. We use equations similar to Equation 16.10

to  represent  the  wave  functions  for  these  two  waves  at  a  point  that  we  choose  as
x " 0:

y

1

"

A cos $

1

t " A cos 2&f

1

t

y

2

"

A cos $

2

t " A cos 2&f

2

t

Using the superposition principle, we find that the resultant wave function at this point is

y " y

1

!

y

2

"

A(cos 2&f

1

t ! cos 2&f

2

t)

The trigonometric identity

cos a ! cos b " 2

 

cos 

!

a # b

2

"

 cos 

!

a ! b

2

"

Definition of beating