Physics For Scientists And Engineers 6E - part 143

Questions

569

The 

superposition principle specifies that when two or more waves move through

a medium, the value of the resultant wave function equals the algebraic sum of the val-
ues of the individual wave functions.

When two traveling waves having equal amplitudes and frequencies superimpose,

the resultant wave has an amplitude that depends on the phase angle % between the
two waves. 

Constructive interference occurs when the two waves are in phase, corre-

sponding  to  % " 0, 2&, 4&, . . .  rad. 

Destructive  interference occurs  when  the  two

waves are 180° out of phase, corresponding to % " &, 3&, 5&, . . . rad.

Standing waves are formed from the superposition of two sinusoidal waves having

the  same  frequency,  amplitude,  and  wavelength  but  traveling  in  opposite  directions.
The resultant standing wave is described by the wave function

y " (2A sin kx) cos $t

(18.3)

Hence, the amplitude of the standing wave is 2A, and the amplitude of the simple har-
monic motion of any particle of the medium varies according to its position as 2A sin kx.
The points of zero amplitude (called 

nodes) occur at x " n'/2 (n " 0, 1, 2, 3, . . .).

The  maximum  amplitude  points  (called 

antinodes)  occur  at  x " n'/4  (n " 1, 3,

5, . . .).  Adjacent  antinodes  are  separated  by  a  distance  '/2.  Adjacent  nodes  also  are
separated by a distance '/2.

The natural frequencies of vibration of a taut string of length L and fixed at both

ends are quantized and are given by

n " 1, 2, 3, . . . 

(18.8)

where  T is  the tension  in the string  and  + is its linear mass  density. The natural  fre-
quencies of vibration f

1

, 2f

1

, 3f

1

, . . . form a 

harmonic series.

An  oscillating  system  is  in 

resonance with  some  driving  force  whenever  the  fre-

quency of the driving force matches one of the natural frequencies of the system. When
the system is resonating, it responds by oscillating with a relatively large amplitude.

Standing waves can be produced in a column of air inside a pipe. If the pipe is open

at both ends, all harmonics are present and the natural frequencies of oscillation are

n " 1, 2, 3, . . . 

(18.11)

If  the  pipe  is  open  at  one  end  and  closed  at  the  other,  only  the  odd  harmonics  are 
present, and the natural frequencies of oscillation are

n " 1, 3, 5, . . . 

(18.12)

The phenomenon of 

beating is the periodic variation in intensity at a given point due

to the superposition of two waves having slightly different frequencies.

f

n

"

n

v

4L

f

n

"

n

v

2L

f

n

"

n

2L

√

T
+

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

Does the phenomenon of wave interference apply only to
sinusoidal waves?

2. As  oppositely  moving  pulses  of  the  same  shape  (one  up-

ward, one downward) on a string pass through each other,
there is one instant at which the string shows no displace-
ment from the equilibrium position at any point. Has the
energy carried by the pulses disappeared at this instant of
time? If not, where is it?

1.

3. Can  two  pulses  traveling  in  opposite  directions  on  the

same string reflect from each other? Explain.

When two waves interfere, can the amplitude of the resul-
tant wave be greater than either of the two original waves?
Under what conditions?

5. For certain positions of the movable section shown in Fig-

ure 18.5, no sound is detected at the receiver—a situation

4.

Q U E S T I O N S

570

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

corresponding  to  destructive  interference.  This  suggests
that energy is somehow lost. What happens to the energy
transmitted by the speaker?
When two waves interfere constructively or destructively, is
there any gain or loss in energy? Explain.

7. A  standing  wave  is  set  up  on  a  string,  as  shown  in  Figure

18.10.  Explain  why  no  energy  is  transmitted  along  the
string.

8. What  limits  the  amplitude  of  motion  of  a  real  vibrating

system that is driven at one of its resonant frequencies? 

9. Explain  why  your  voice  seems  to  sound  better  than  usual

when you sing in the shower. 

10. What is the purpose of the slide on a trombone or of the

valves on a trumpet?

11. Explain  why  all  harmonics  are  present  in  an  organ  pipe

open at both ends, but only odd harmonics are present in
a pipe closed at one end.

12. Explain how a musical instrument such as a piano may be

tuned by using the phenomenon of beats.

13. To keep animals away from their cars, some people mount

short, thin pipes on the fenders. The pipes give out a high-
pitched wail when the cars are moving. How do they create
the sound?

14. When a bell is rung, standing waves are set up around the

bell’s  circumference.  What  boundary  conditions  must
be satisfied by the resonant wavelengths? How does a crack
in the bell, such as in the Liberty Bell, affect the satisfying
of  the  boundary  conditions  and  the  sound  emanating
from the bell?

15. An archer shoots an arrow from a bow. Does the string of the

bow exhibit standing waves after the arrow leaves? If so, and
if  the  bow  is  perfectly  symmetric  so  that  the  arrow  leaves
from the center of the string, what harmonics are excited?

6.

16. Despite a reasonably steady hand, a person often spills his

coffee when carrying it to his seat. Discuss resonance as a
possible cause of this difficulty, and devise a means for solv-
ing the problem.
An airplane mechanic notices that the sound from a twin-
engine  aircraft  rapidly  varies  in  loudness  when  both  en-
gines  are  running.  What  could  be  causing  this  variation
from loud to soft?

18. When the base of a vibrating tuning fork is placed against

a chalkboard, the sound that it emits becomes louder. This
is because the vibrations of the tuning fork are transmitted
to  the  chalkboard.  Because  it  has  a  larger  area  than  the
tuning fork, the vibrating chalkboard sets more air into vi-
bration. Thus, the chalkboard is a better radiator of sound
than  the  tuning  fork.  How  does  this  affect  the  length  of
time during which the fork vibrates? Does this agree with
the principle of conservation of energy? 

19. If you wet your finger and lightly run it around the rim of

a  fine  wineglass,  a  high-frequency  sound  is  heard.  Why?
How could you produce various musical notes with a set of
wineglasses, each of which contains a different amount of
water? 

20. If  you  inhale  helium  from  a  balloon  and  do  your  best  to

speak normally, your voice will have a comical quacky qual-
ity.  Explain  why  this  “Donald  Duck  effect”  happens.  Cau-
tion:  Helium  is  an  asphyxiating  gas  and  asphyxiation  can
cause panic. Helium can contain poisonous contaminants.

21. You have a standard tuning fork whose frequency is 262 Hz

and  a  second  tuning  fork  with  an  unknown  frequency.
When  you  tap  both  of  them  on  the  heel  of  one  of  your
sneakers, you hear beats with a frequency of 4 per second.
Thoughtfully chewing your gum, you wonder whether the
unknown  frequency  is  258 Hz  or  266 Hz.  How  can  you
decide?

17.

Section 18.1 Superposition and Interference

1. Two waves in one string are described by the wave functions

y

1

"

3.0 cos(4.0x # 1.6t)

and

y

2

"

4.0 sin(5.0x # 2.0t)

where y and x are in centimeters and t is in seconds. Find the
superposition of the waves y

1

!

y

2

at the points (a) x " 1.00,

t " 1.00,  (b)  x " 1.00,  t " 0.500,  and  (c)  x " 0.500,  t " 0.
(Remember  that  the  arguments  of  the  trigonometric  func-
tions are in radians.)

2. Two  pulses  A  and  B  are  moving  in  opposite  directions

along a taut string with a speed of 2.00 cm/s. The ampli-

tude  of  A  is  twice  the  amplitude  of  B.  The  pulses  are
shown  in  Figure  P18.2  at  t " 0.  Sketch  the  shape  of  the
string at t " 1, 1.5, 2, 2.5, and 3 s.

1, 

2

, 

3

"

straightforward, intermediate, challenging

"

full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

"

coached solution with hints available at http://www.pse6.com

"

computer useful in solving problem             

"

paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

4

y(cm)

2.00 cm/s

–2.00 cm/s

x(cm)

2

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20

A

B

Figure P18.2

Problems

571

Two pulses traveling on the same string are described by

(a) In which direction does each pulse travel? (b) At what
time do the two cancel everywhere? (c) At what point do
the two pulses always cancel?

4. Two  waves  are  traveling  in  the  same  direction  along  a

stretched  string.  The  waves  are  90.0° out  of  phase.  Each
wave has an amplitude of 4.00 cm. Find the amplitude of
the resultant wave.

Two  traveling  sinusoidal  waves  are  described  by  the

wave functions

y

1

"

(5.00 m) sin[&(4.00x # 1 200t)]

and

y

2

"

(5.00 m) sin[&(4.00x # 1 200t # 0.250)]

where  x,  y

1

,  and  y

2

are  in  meters  and  t is  in  seconds.

(a) What is the amplitude of the resultant wave? (b) What
is the frequency of the resultant wave?

6.

Two identical sinusoidal waves with wavelengths of 3.00 m
travel  in  the  same  direction  at  a  speed  of  2.00 m/s.  The
second  wave  originates  from  the  same  point  as  the  first,
but at a later time. Determine the minimum possible time
interval between the starting moments of the two waves if
the amplitude of the resultant wave is the same as that of
each of the two initial waves.

7. Review  problem. A  series  of  pulses,  each  of  amplitude

0.150 m, is sent down a string that is attached to a post at
one  end.  The  pulses  are  reflected  at  the  post  and  travel
back  along  the  string  without  loss  of  amplitude.  What  is
the  net  displacement  at  a  point  on  the  string  where  two
pulses  are  crossing,  (a)  if  the  string  is  rigidly  attached  to
the post? (b) if the end at which reflection occurs is free to
slide up and down?

8.

Two loudspeakers are placed on a wall 2.00 m apart. A lis-
tener stands 3.00 m from the wall directly in front of one
of the speakers. A single oscillator is driving the speakers
at a frequency of 300 Hz. (a) What is the phase difference
between  the  two  waves  when  they  reach  the  observer?
(b) What  If? What  is  the  frequency  closest  to  300 Hz  to
which the oscillator may be adjusted such that the observer
hears minimal sound?

9.

Two speakers are driven by the same oscillator whose fre-
quency  is  200 Hz.  They  are  located  on  a  vertical  pole  a
distance of 4.00 m from each other. A man walks straight
toward  the  lower  speaker  in  a  direction  perpendicular  to
the  pole  as  shown  in  Figure  P18.9.  (a)  How  many  times
will  he  hear  a  minimum  in  sound  intensity,  and  (b)  how
far is he from the pole at these moments? Take the speed
of sound to be 330 m/s and ignore any sound reflections
coming off the ground.

10.

Two speakers are driven by the same oscillator whose fre-
quency is f. They are located a distance d from each other
on a vertical pole. A man walks straight toward the lower

5.

y

1

"

5

(3x # 4t)

2

!

2

   

and

   

y

2

"

#

5

(3x ! 4t # 6)

2

!

2

3.

speaker in a direction perpendicular to the pole, as shown
in Figure P18.9. (a) How many times will he hear a mini-
mum in sound intensity? (b) How far is he from the pole
at these moments? Let v represent the speed of sound, and
assume that the ground does not reflect sound.

Two  sinusoidal  waves  in  a  string  are  defined  by  the

functions

y

1

"

(2.00 cm) sin(20.0x # 32.0t)

and

y

2

"

(2.00 cm) sin(25.0x # 40.0t)

where y

1

, y

2

, and x are in centimeters and t is in seconds.

(a) What is the phase difference between these two waves
at the point x " 5.00 cm at t " 2.00 s? (b) What is the posi-
tive x value closest to the origin for which the two phases
differ  by  ( & at  t " 2.00 s?  (This  is  where  the  two  waves
add to zero.)

12.

Two identical speakers 10.0 m apart are driven by the same
oscillator  with  a  frequency  of  f " 21.5 Hz  (Fig.  P18.12).
(a) Explain why a receiver at point A records a minimum in
sound intensity from the two speakers. (b) If the receiver is
moved in the plane of the speakers, what path should it take
so that the intensity remains at a minimum? That is, deter-

11.

d

L

Figure P18.9 Problems 9 and 10.

9.00 m

10.0 m

y

(x,y)

A

x

Figure P18.12

572

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

mine  the  relationship  between  x and  y (the  coordinates  of
the receiver) that causes the receiver to record a minimum
in sound intensity. Take the speed of sound to be 344 m/s.

Section 18.2 Standing Waves
13. Two sinusoidal waves traveling in opposite directions inter-

fere to produce a standing wave with the wave function

y " (1.50 m) sin(0.400x) cos(200t)

where  x is  in  meters  and  t is  in  seconds.  Determine  the
wavelength, frequency, and speed of the interfering waves.

14. Two waves in a long string have wave functions given by

and

where y

1

, y

2

, and x are in meters and t is in seconds. (a) De-

termine the positions of the nodes of the resulting standing
wave.  (b)  What  is  the  maximum  transverse  position  of  an
element of the string at the position x " 0.400 m?

Two speakers are driven in phase by a common oscil-

lator at 800 Hz and face each other at a distance of 1.25 m.
Locate  the  points  along  a  line  joining  the  two  speakers
where relative minima of sound pressure amplitude would
be expected. (Use v " 343 m/s.)

16. Verify  by  direct  substitution  that  the  wave  function  for  a

standing wave given in Equation 18.3,

y " 2A sin kx cos $t

is a solution of the general linear wave equation, Equation
16.27:

Two  sinusoidal  waves  combining  in  a  medium  are  de-
scribed by the wave functions

y

1

"

(3.0 cm) sin &(x ! 0.60t)

and

y

2

"

(3.0 cm) sin &(x # 0.60t)

where  x  is  in  centimeters  and  t  is  in  seconds.  Determine
the  maximum transverse  position  of  an  element  of
the medium  at  (a)  x " 0.250 cm,  (b)  x " 0.500 cm,  and
(c)  x " 1.50 cm.  (d)  Find  the  three  smallest  values  of  x
corresponding to antinodes.

18.

Two waves that set up a standing wave in a long string are
given by the wave functions 

y

1

"

A sin(kx # $t ! %)

and

y

2

"

A sin(kx ! $t)

Show (a) that the addition of the arbitrary phase constant
%

changes only the position of the nodes and, in particu-

lar, (b) that the distance between nodes is still one half the
wavelength.

17.

.

2

y

.

x

 

2

"

1

v

 

2

 

.

2

y

.

t

 

2

15.

y

2

"

(0.015 0 m)

 

cos

 

 

!

x

2

!

40t

"

y

1

"

(0.015 0 m)

 

cos

 

 

!

x

2

#

40t

"

Section 18.3 Standing Waves in a String Fixed at

Both Ends

Find the fundamental frequency and the next three frequen-
cies that could cause standing-wave patterns on a string that
is 30.0 m long, has a mass per length of 9.00 - 10

#

3

kg/m,

and is stretched to a tension of 20.0 N.

20. A string with a mass of 8.00 g and a length of 5.00 m has

one  end  attached  to  a  wall;  the  other  end  is  draped  over
a pulley  and  attached  to  a  hanging  object  with  a  mass  of
4.00 kg.  If  the  string  is  plucked,  what  is  the  fundamental
frequency of vibration?

21.

In the arrangement shown in Figure P18.21, an object can
be  hung  from  a  string  (with  linear  mass  density  + "
0.002 00 kg/m) that passes over a light pulley. The string is
connected to a vibrator (of constant frequency f ), and the
length of the string between point P and the pulley is L "
2.00 m. When the mass m of the object is either 16.0 kg or
25.0 kg, standing waves are observed; however, no standing
waves  are  observed  with  any  mass  between  these  values.
(a) What  is  the  frequency  of  the  vibrator?  (Note: The
greater the tension in the string, the smaller the number
of  nodes  in  the  standing  wave.)  (b)  What  is  the  largest
object  mass  for  which  standing  waves  could  be  observed?

19.

µ

L

P

Vibrator

m

Figure P18.21 Problems 21 and 22.

22.

A  vibrator,  pulley,  and  hanging  object  are  arranged  as  in
Figure  P18.21,  with  a  compound  string,  consisting  of  two
strings  of  different  masses  and  lengths  fastened  together
end-to-end. The first string, which has a mass of 1.56 g and
a length of 65.8 cm, runs from the vibrator to the junction
of  the  two  strings.  The  second  string  runs  from  the  junc-
tion over the pulley to the suspended 6.93-kg object. The
mass and length of the string from the junction to the pul-
ley are, respectively, 6.75 g and 95.0 cm. (a) Find the low-
est  frequency  for  which  standing  waves  are  observed  in
both  strings,  with  a  node  at  the  junction.  The  standing
wave  patterns  in  the  two  strings  may  have  different  num-
bers of nodes. (b) What is the total number of nodes ob-
served  along  the  compound  string  at  this  frequency,
excluding the nodes at the vibrator and the pulley?

23.

Example 18.4 tells you that the adjacent notes E, F, and F-
sharp can be assigned frequencies of 330 Hz, 350 Hz, and
370 Hz.  You  might  not  guess  how  the  pattern  continues.
The  next  notes,  G,  G-sharp,  and  A,  have  frequencies  of
392 Hz, 416 Hz, and 440 Hz. On the equally tempered or
chromatic  scale  used  in  Western  music,  the  frequency  of
each  higher  note  is  obtained  by  multiplying  the  previous
frequency  by 

.  A  standard  guitar  has  strings  64.0 cm

long  and  nineteen  frets.  In  Example  18.4,  we  found  the

12

√

2