Physics For Scientists And Engineers 6E - part 132

(source moving toward observer)

(17.11)

That is, the observed frequency is increased whenever the source is moving toward the
observer.

When the source moves away from a stationary observer, as is the case for observer

B  in  Figure  17.9a,  the  observer  measures  a  wavelength  (. that  is 

greater than  ( and

hears a decreased frequency:

(source moving away from observer)

(17.12)

We can express the general relationship for the observed frequency when a source

is moving and an observer is at rest as Equation 17.11, with the same sign convention
applied to v

S

as was applied to v

O

: a positive value is substituted for v

S

when the source

moves toward the observer and a negative value is substituted when the source moves
away from the observer.

Finally, we find the following general relationship for the observed frequency:

(17.13)

In this expression, the signs for the values substituted for v

O

and v

S 

depend on the di-

rection of the velocity. A positive value is used for motion of the observer or the source
toward the other, and a negative sign for motion of one away from the other.

A  convenient  rule  concerning  signs  for  you  to  remember  when  working  with  all

Doppler-effect problems is as follows:

f . #

!

v $ v

O

v * v

S

"

 

f

f . #

!

v

v $ v

S

"

 

f

f . #

!

v

v * v

S

"

 

f

S E C T I O N   17. 4 •  The Doppler Effect

525

▲

PITFALL PREVENTION

17.1 Doppler Effect Does

Not Depend on
Distance

Many  people  think  that  the
Doppler  effect  depends  on  the
distance  between  the  source  and
the  observer.  While  the  intensity
of  a  sound  varies  as  the  distance
changes,  the  apparent  frequency
depends  only  on  the  relative
speed of source and observer. As
you  listen  to  an  approaching
source, you will detect increasing
intensity  but  constant  frequency.
As  the  source  passes,  you  will
hear  the  frequency  suddenly
drop to a new constant value and
the intensity begin to decrease.

The  word  toward is  associated  with  an  increase in  observed  frequency.  The  words
away from are associated with a decrease in observed frequency.

Although the Doppler effect is most typically experienced with sound waves, it is a

phenomenon that is common to all waves. For example, the relative motion of source
and observer produces a frequency shift in light waves. The Doppler effect is used in
police  radar  systems  to  measure  the  speeds  of  motor  vehicles.  Likewise,  astronomers
use the effect to determine the speeds of stars, galaxies, and other celestial objects rela-
tive to the Earth.

Quick Quiz 17.7

Consider detectors of water waves at three locations A, B,

and C in Figure 17.9b. Which of the following statements is true? (a) The wave speed is
highest  at  location  A.  (b)  The  wave  speed  is  highest  at  location  C.  (c)  The  detected
wavelength is largest at location B. (c) The detected wavelength is largest at location C.
(e)  The  detected  frequency  is  highest  at  location  C.  (f)  The  detected  frequency  is
highest at location A. 

Quick  Quiz  17.8

You stand on a platform at a train station and listen to a

train approaching the station at a constant velocity. While the train approaches, but be-
fore it arrives, you hear (a) the intensity and the frequency of the sound both increas-
ing (b) the intensity and the frequency of the sound both decreasing (c) the intensity
increasing  and  the  frequency  decreasing  (d)  the  intensity  decreasing  and  the  fre-
quency increasing (e) the intensity increasing and the frequency remaining the same
(f) the intensity decreasing and the frequency remaining the same.

General Doppler-shift

expression

526

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

Example 17.5 The Broken Clock Radio

Your  clock  radio  awakens  you  with  a  steady  and  irritating
sound  of  frequency  600 Hz.  One  morning,  it  malfunctions
and cannot be turned off. In frustration, you drop the clock
radio  out  of  your  fourth-story  dorm  window,  15.0 m  from
the ground. Assume the speed of sound is 343 m/s.

(A)

As you listen to the falling clock radio, what frequency do

you hear just before you hear the radio striking the ground?

(B)

At  what  rate  does  the  frequency  that  you  hear  change

with time just before you hear the radio striking the ground? 

Solution

(A)

In conceptualizing the problem, note that the speed of

the  radio  increases  as  it  falls.  Thus,  it  is  a  source  of  sound
moving away from you with an increasing speed. We catego-
rize this problem as one in which we must combine our un-
derstanding of falling objects with that of the frequency shift
due to the Doppler effect. To analyze the problem, we iden-
tify  the  clock  radio  as  a  moving  source  of  sound  for  which
the Doppler-shifted frequency is given by

The speed of the source of sound is given by Equation 2.9
for a falling object:

Thus,  the  Doppler-shifted  frequency  of  the  falling  clock
radio is

The  time  at  which  the  radio  strikes  the  ground  is  found
from Equation 2.12:

Thus, the Doppler-shifted frequency just as the radio strikes
the ground is

571 Hz

#

 #

!

343

  

m/s

343

  

m/s $ (9.80

  

m/s

2

)(1.75

  

s)

"

(600

  

Hz)

f . #

!

v

v $ gt

"

 

f

t # 1.75

  

s

*

15.0

  

m # 0 $ 0 *

1

2

(9.80

  

m/s

2

)t

2

y

f

#

y

i

$

v

yi

t *

1

2

gt

2

(1)

     

f . #

!

v

v * (*gt)

"

 

f #

!

v

v $ gt

"

 

f

v

S

#

v

yi

$

a

y

t # 0 * gt # *gt

f . #

!

v

v * v

S

"

 

f

(B)

The rate at which the frequency changes is found by dif-

ferentiating Equation (1) with respect to t :

To finalize this problem, consider the following What If?

What  If?

Suppose  you  live  on  the  eighth  floor  instead  of

the fourth floor. If you repeat the radio-dropping activity, does
the frequency shift in part 

(A) and the rate of change of fre-

quency in part (B) of this example double?

Answer The doubled height does not give a time at which
the  radio  lands  that  is  twice  the  time  found  in  part  (A).
From Equation 2.12:

The  new  frequency  heard  just  before  you  hear  the  radio
strike the ground is

The  frequency  shift  heard  on  the  fourth  floor  is  600 Hz *
571 Hz # 29 Hz,  while  the  frequency  shift  heard  from  the
eighth floor is 600 Hz * 560 Hz # 40 Hz, which is not twice
as large.

The new rate of change of frequency is

Note that this value is actually smaller in magnitude than the
previous value of * 15.5 Hz/s!

 # *15.0 Hz/s

 #

*

(343

  

m/s)(9.80

  

m/s

2

)

[343

  

m/s $ (9.80

  

m/s

2

)(2.47

  

s)]

2

 (600

  

Hz)

df .

dt

#

  

*

vg

(v $ gt)

2

 f

560 Hz

#

 #

!

343

  

m/s

343

  

m/s $ (9.80

  

m/s

2

)(2.47

  

s)

"

 (600 Hz)

f . #

!

v

v $ gt

"

 

f

t # 2.47

  

s

*

30.0

  

m

  

#

  

0

  

$

  

0 *

1

2

(9.80

  

m/s

2

)t

 

2

y

f

#

y

i

$

v

yi

t *

1

2

 

gt

 

2

*

15.5 Hz/s

#

 #

*

(343

  

m/s)(9.80

  

m/s

2

)

[343

  

m/s $ (9.80

  

m/s

2

)(1.75

  

s)]

2

 (600

  

Hz)

 

df .

dt

#

  

d

dt

 

!

vf

v $ gt

"

#

*

vg

(v $ gt)

2

 f

Example 17.6 Doppler Submarines

A  submarine  (sub  A)  travels  through  water  at  a  speed  of
8.00 m/s, emitting a sonar wave at a frequency of 1 400 Hz.
The speed of sound in the water is 1 533 m/s. A second sub-
marine  (sub  B)  is  located  such  that  both  submarines  are
traveling  directly  toward  one  another.  The  second  subma-
rine is moving at 9.00 m/s.

(A)

What  frequency  is  detected  by  an  observer  riding  on

sub B as the subs approach each other?

(B)

The  subs  barely  miss  each  other  and  pass.  What  fre-

quency  is  detected  by  an  observer  riding  on  sub  B  as  the
subs recede from each other?

Interactive

S E C T I O N   17. 4 •  The Doppler Effect

527

Solution

(A)

We use Equation 17.13 to find the Doppler-shifted fre-

quency. As the two submarines approach each other, the ob-
server in sub B hears the frequency

(B)

As the two submarines recede from each other, the ob-

server in sub B hears the frequency

1

  

385 Hz

#

!

1

  

533 m/s $

  

(*9.00 m/s)

1

  

533 m/s * (*8.00 m/s)

"

 (1

  

400

 

Hz) #

f .#

!

v $ v

O

v * v

S

"

 f

1

  

416

 

Hz

#

!

1

  

533

 

m/s $ ($9.00

 

m/s)

1

  

533

 

m/s * ($8.00

 

m/s)

"

 (1 400

 

Hz) #

f . #

!

v $ v

O

v * v

S

"

 f

What If?

While the subs are approaching each other, some

of the sound from sub A will reflect from sub B and return to
sub A. If this sound were to be detected by an observer on
sub A, what is its frequency?

Answer The sound of apparent frequency 1 416 Hz found
in part (A) will be reflected from a moving source (sub B)
and then detected by a moving observer (sub A). Thus, the
frequency detected by sub A is

This  technique  is  used  by  police  officers  to  measure  the
speed of a moving car. Microwaves are emitted from the po-
lice  car  and  reflected  by  the  moving  car.  By  detecting  the
Doppler-shifted  frequency  of  the  reflected  microwaves,  the
police officer can determine the speed of the moving car.

1

  

432 Hz

#

!

1

  

533 m/s $

  

($8.00 m/s)

1

  

533 m/s *

  

($9.00 m/s)

"

 (1

  

416 Hz) #

f / #

!

v $ v

O

v * v

S

"

 f .

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can alter the relative speeds of the submarines and ob-

serve the Doppler-shifted frequency.

Shock Waves

Now  consider  what  happens  when  the  speed  v

S

of  a  source  exceeds the  wave  speed  v.

This situation is depicted graphically in Figure 17.10a. The circles represent spherical
wave  fronts  emitted  by  the  source  at  various  times  during  its  motion.  At  t # 0,  the
source is at S

0

, and at a later time t, the source is at S

n

. At the time t, the wave front

Figure 17.10 (a) A representation of a shock wave produced when a source moves

from S

0

to S

n

with a speed v

S

, which is greater than the wave speed v in the medium.

The envelope of the wave fronts forms a cone whose apex half-angle is given by

sin

0

#

v/v

S

. (b) A stroboscopic photograph of a bullet moving at supersonic speed

through the hot air above a candle. Note the shock wave in the vicinity of the bullet. 

©

1973 Kim V

andiver & Harold E. Edgerton/Courtesy of Palm Press, Inc.

v

S

t

S

n

v

S

Conical

shock front

vt 2

θ

0

S

1

S

2

S

0

1

(a)

S

3

S

4

(b)

centered at S

0

reaches a radius of vt. In this same time interval, the source travels a dis-

tance v

S

t to S

n

. At the instant the source is at S

n

, waves are just beginning to be gener-

ated at this location, and hence the wave front has zero radius at this point. The tan-
gent line drawn from S

n

to the wave front centered on S

0

is tangent to all other wave

fronts generated at intermediate times. Thus, we see that the envelope of these wave
fronts is a cone whose apex half-angle 0 (the “Mach angle”) is given by

The ratio v

S

/v is referred to as the Mach number, and the conical wave front produced

when  v

S

>  v (supersonic  speeds)  is  known  as  a  shock  wave. An  interesting  analogy  to

shock waves is the V-shaped wave fronts produced by a boat (the bow wave) when the
boat’s speed exceeds the speed of the surface-water waves (Fig. 17.11).

Jet airplanes traveling at supersonic speeds produce shock waves, which are respon-

sible for the loud “sonic boom” one hears. The shock wave carries a great deal of en-
ergy concentrated on the surface of the cone, with correspondingly great pressure vari-
ations.  Such  shock  waves  are  unpleasant  to  hear  and  can  cause  damage  to  buildings
when aircraft fly supersonically at low altitudes. In fact, an airplane flying at supersonic
speeds  produces  a  double  boom  because  two  shock  waves  are  formed,  one  from  the
nose of the plane and one from the tail. People near the path of the space shuttle as it
glides toward its landing point often report hearing what sounds like two very closely
spaced cracks of thunder.

sin

 

0 #

vt

v

S

t

#

v

v

S

528

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

Figure 17.11 The V-shaped bow

wave of a boat is formed because

the boat speed is greater than the

speed of the water waves it gener-

ates. A bow wave is analogous to a

shock wave formed by an airplane

traveling faster than sound. 

www

.comstock.com

Quick  Quiz  17.9

An  airplane  flying  with  a  constant  velocity  moves  from  a

cold air mass into a warm air mass. Does the Mach number (a) increase (b) decrease
(c) stay the same?

17.5 Digital Sound Recording

The first sound recording device, the phonograph, was invented by Thomas Edison in
the nineteenth century. Sound waves were recorded in early phonographs by encoding
the sound waveforms as variations in the depth of a continuous groove cut in tin foil
wrapped around a cylinder. During playback, as a needle followed along the groove of
the  rotating  cylinder,  the  needle  was  pushed  back  and  forth  according  to  the  sound