Physics For Scientists And Engineers 6E - part 131

S E C T I O N   17. 3 •  Intensity  of Periodic Sound Waves

521

machines  in  this  example  is  to  be  doubled,  how  many  ma-
chines must be running?

Answer Using  the  rule  of  thumb,  a  doubling  of  loud-
ness corresponds  to  a  sound  level  increase  of  10 dB.
Thus,

10 log 

!

I

2

I

1

"

-

2

*

-

1

#

10 dB #10 log 

!

I

2

I

0

"

*

10 log 

!

I

1

I

0

"

#

Thus,  ten  machines  must  be  operating  to  double  the
loudness.

I

2

#

10I

1

log 

!

I

2

I

1

"

#

1

Loudness and Frequency

The  discussion  of  sound  level  in  decibels  relates  to  a  physical measurement  of  the
strength of a sound. Let us now consider how we describe the psychological “measure-
ment” of the strength of a sound. 

Of course, we don’t have meters in our bodies that can read out numerical values of

our reactions to stimuli. We have to “calibrate” our reactions somehow by comparing dif-
ferent sounds to a reference sound. However, this is not easy to accomplish. For example,
earlier we mentioned that the threshold intensity is 10

*

12

W/m

2

, corresponding to an in-

tensity level of 0 dB. In reality, this value is the threshold only for a sound of frequency
1 000 Hz, which is a standard reference frequency in acoustics. If we perform an experi-
ment to measure the threshold intensity at other frequencies, we find a distinct variation
of this threshold as a function of frequency. For example, at 100 Hz, a sound must have an
intensity level of about 30 dB in order to be just barely audible! Unfortunately, there is no
simple  relationship  between  physical  measurements  and  psychological  “measurements.”
The 100-Hz, 30-dB sound is psychologically “equal” to the 1 000-Hz, 0-dB sound (both are
just barely audible) but they are not physically equal (30 dB

≠ 0 dB).

By using test subjects, the human response to sound has been studied, and the re-

sults are shown in Figure 17.6 (the white area), along with the approximate frequency
and sound-level ranges of other sound sources. The lower curve of the white area cor-
responds to the threshold of hearing. Its variation with frequency is clear from this dia-
gram.  Note  that  humans  are  sensitive  to  frequencies  ranging  from  about  20 Hz  to
about 20 000 Hz. The upper bound of the white area is the threshold of pain. Here the

Infrasonic

frequencies

Sonic

frequencies

Ultrasonic

frequencies

Large rocket engine

Jet engine (10 m away) Rifle

Thunder

overhead

Rock concert

Underwater communication

(Sonar)

Car horn

Motorcycle

School cafeteria

Urban traffic

Shout

Conversation

Birds

Bats

Whispered speech

Threshold for

hearing

Sound level

  (dB)

β

1

10

100

1 000

10 000

100 000

Frequency f (Hz)

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

Threshold for

pain

Figure 17.6 Approximate frequency and sound level ranges of various sources and that

of normal human hearing, shown by the white area. 

From R. L. Reese, 

University Physics,

Pacific Grove, Brooks/Cole, 2000.

boundary of the white area is straight, because the psychological response is relatively
independent of frequency at this high sound level.

The  most  dramatic  change  with  frequency  is  in  the  lower  left  region  of  the  white

area, for low frequencies and low intensity levels. Our ears are particularly insensitive in
this region. If you are listening to your stereo and the bass (low frequencies) and treble
(high frequencies) sound balanced at a high volume, try turning the volume down and
listening again. You will probably notice that the bass seems weak, which is due to the
insensitivity of the ear to low frequencies at low sound levels, as shown in Figure 17.6.

17.4 The Doppler Effect

Perhaps  you  have  noticed  how  the  sound  of  a  vehicle’s  horn  changes  as  the  vehicle
moves past you. The frequency of the sound you hear as the vehicle approaches you is
higher than the frequency you hear as it moves away from you. This is one example of
the 

Doppler effect.

3

To see what causes this apparent frequency change, imagine you are in a boat that is

lying at anchor on a gentle sea where the waves have a period of T # 3.0 s. This means
that  every  3.0 s  a  crest  hits  your  boat.  Figure  17.7a  shows  this  situation,  with  the  water
waves  moving  toward  the  left.  If  you  set  your  watch  to  t # 0  just  as  one  crest  hits,  the
watch reads  3.0 s  when  the  next  crest  hits,  6.0 s  when  the  third  crest  hits,  and  so on.
From these  observations  you  conclude  that  the  wave  frequency  is  f # 1/T #
1/(3.0 s) # 0.33 Hz.  Now  suppose  you  start  your  motor  and  head  directly  into  the
oncoming waves, as in Figure 17.7b. Again you set your watch to t # 0 as a crest hits the
front of your boat. Now, however, because you are moving toward the next wave crest as it
moves toward you, it hits you less than 3.0 s after the first hit. In other words, the period
you  observe  is  shorter  than  the  3.0-s  period  you  observed  when  you  were  stationary.
Because f # 1/T, you observe a higher wave frequency than when you were at rest.

If you turn around and move in the same direction as the waves (see Fig. 17.7c),

you observe the opposite effect. You set your watch to t # 0 as a crest hits the back of
the boat. Because you are now moving away from the next crest, more than 3.0 s has
elapsed on your watch by the time that crest catches you. Thus, you observe a lower fre-
quency than when you were at rest.

These  effects  occur  because  the  relative speed  between  your  boat  and  the  waves  de-

pends on the direction of travel and on the speed of your boat. When you are moving to-
ward the right in Figure 17.7b, this relative speed is higher than that of the wave speed,
which  leads  to  the  observation  of  an  increased  frequency.  When  you  turn  around  and
move  to  the  left,  the  relative  speed  is  lower,  as  is  the  observed  frequency  of  the  water
waves.

Let us now examine an analogous situation with sound waves, in which the water

waves become sound waves, the water becomes the air, and the person on the boat be-
comes an observer listening to the sound. In this case, an observer O is moving and a
sound source S is stationary. For simplicity, we assume that the air is also stationary and
that  the  observer  moves  directly  toward  the  source  (Fig.  17.8).  The  observer  moves
with  a  speed  v

O

toward  a  stationary  point  source  (v

S

#

0),  where  stationary means  at

rest with respect to the medium, air.

If a point source emits sound waves and the medium is uniform, the waves move at

the same speed in all directions radially away from the source; this is a spherical wave,
as was mentioned in Section 17.3. It is useful to represent these waves with a series of
circular arcs concentric with the source, as in Figure 17.8. Each arc represents a sur-
face over which the phase of the wave is constant. For example, the surface could pass
through the crests of all waves. We call such a surface of constant phase a 

wave front.

The distance between adjacent wave fronts equals the wavelength (. In Figure 17.8, the

522

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

3

Named after the Austrian physicist Christian Johann Doppler (1803–1853), who in 1842 predicted

the effect for both sound waves and light waves.

S E C T I O N   17. 4 •  The Doppler Effect

523

v

waves

(b)

v

waves

(a)

v

waves

(c)

v

boat

v

boat

Figure 17.7 (a) Waves mov-

ing toward a stationary boat.

The waves travel to the left,

and their source is far to the

right of the boat, out of the

frame of the photograph.

(b) The boat moving toward

the wave source. (c) The

boat moving away from the

wave source.

circles are the intersections of these three-dimensional wave fronts with the two-dimen-
sional paper.

We take the frequency of the source in Figure 17.8 to be f, the wavelength to be (,

and the speed of sound to be v. If the observer were also stationary, he or she would
detect wave fronts at a rate f. (That is, when v

O

#

0 and v

S

#

0, the observed frequency

equals the source frequency.) When the observer moves toward the source, the speed
of the waves relative to the observer is v. # v + v

O

, as in the case of the boat, but the

×

O

v

O

S

Active Figure 17.8 An observer O (the cyclist) moves with a speed v

O

toward a station-

ary point source S, the horn of a parked truck. The observer hears a frequency f . that is

greater than the source frequency.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the speed of the 

observer.

wavelength ( is unchanged. Hence, using Equation 16.12, v # (f, we can say that the
frequency f . heard by the observer is increased and is given by

Because ( # v/f, we can express f . as

(17.9)

If the observer is moving away from the source, the speed of the wave relative to the
observer is v. # v * v

O

. The frequency heard by the observer in this case is decreased

and is given by

(17.10)

In  general,  whenever  an  observer  moves  with  a  speed  v

O

relative  to  a  stationary

source, the frequency heard by the observer is given by Equation 17.9, with a sign con-
vention: a positive value is substituted for v

O

when the observer moves toward the source

and a negative value is substituted when the observer moves away from the source.

Now consider the situation in which the source is in motion and the observer is at

rest.  If  the  source  moves  directly  toward  observer  A  in  Figure  17.9a,  the  wave  fronts
heard by the observer are closer together than they would be if the source were not
moving. As a result, the wavelength (. measured by observer A is shorter than the wave-
length ( of the source. During each vibration, which lasts for a time interval T (the pe-
riod),  the  source  moves  a  distance  v

S

T # v

S

/f and  the  wavelength  is  shortened by  this

amount. Therefore, the observed wavelength (. is

Because ( # v/f, the frequency f . heard by observer A is

f . #

v

(.

#

v

( *

(v

S

/f )

#

v

(v/f ) * (v

S

/f )

(. # ( * '( # ( *

v

S

f

f . #

!

v

  

*

v

O

v

"

 

f

     

(observer moving away from source)

f .

  

#

  

!

v

  

$

v

O

v

"

 

f

     

(observer moving toward source)

f . #

v

 

.

(

#

v $ v

O

(

524

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

(b)

A

C

B

λ

′

λ

(a)

S

v

S

Observer B

Observer A

Active Figure 17.9 (a) A source S moving with a speed v

S

toward a stationary ob-

server A and away from a stationary observer B. Observer A hears an increased

frequency, and observer B hears a decreased frequency. (b) The Doppler effect in

water, observed in a ripple tank. A point source is moving to the right with speed

v

S

. Letters shown in the photo refer to Quick Quiz 17.7.

Courtesy of the Educational Development Center

, Newton, MA

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the speed of the

source.