Physics For Scientists And Engineers 6E - part 129

S

ound  waves  are  the  most  common  example  of  longitudinal  waves.  They  travel

through  any  material  medium  with  a  speed  that  depends  on  the  properties  of  the
medium.  As  the  waves  travel  through  air,  the  elements  of  air  vibrate  to  produce
changes  in  density  and  pressure  along  the  direction  of  motion  of  the  wave.  If  the
source  of  the  sound  waves  vibrates  sinusoidally,  the  pressure  variations  are  also  sinu-
soidal. The mathematical description of sinusoidal sound waves is very similar to that
of sinusoidal string waves, which were discussed in the previous chapter.

Sound  waves  are  divided  into  three  categories  that  cover  different  frequency

ranges. (1) Audible waves lie within the range of sensitivity of the human ear. They can
be  generated  in  a  variety  of  ways,  such  as  by  musical  instruments,  human  voices,  or
loudspeakers. (2) Infrasonic waves have frequencies below the audible range. Elephants
can  use  infrasonic  waves  to  communicate  with  each  other,  even  when  separated  by
many  kilometers.  (3)  Ultrasonic  waves have  frequencies  above  the  audible  range.  You
may have used a “silent” whistle to retrieve your dog. The ultrasonic sound it emits is
easily heard by dogs, although humans cannot detect it at all. Ultrasonic waves are also
used in medical imaging.

We begin this chapter by discussing the speed of sound waves and then wave inten-

sity, which is a function of wave amplitude. We then provide an alternative description
of the intensity of sound waves that compresses the wide range of intensities to which
the ear is sensitive into a smaller range for convenience. We investigate the effects of
the motion of sources and/or listeners on the frequency of a sound. Finally, we explore
digital reproduction of sound, focusing in particular on sound systems used in modern
motion pictures.

17.1 Speed of Sound Waves

Let us describe pictorially the motion of a one-dimensional longitudinal pulse moving
through a long tube containing a compressible gas (Fig. 17.1). A piston at the left end
can be moved to the right to compress the gas and create the pulse. Before the piston is
moved, the gas is undisturbed and of uniform density, as represented by the uniformly
shaded region in Figure 17.1a. When the piston is suddenly pushed to the right (Fig.
17.1b),  the  gas  just  in  front  of  it  is  compressed  (as  represented  by  the  more  heavily
shaded region); the pressure and density in this region are now higher than they were
before the piston moved. When the piston comes to rest (Fig. 17.1c), the compressed
region  of  the  gas  continues  to  move  to  the  right,  corresponding  to  a  longitudinal
pulse traveling  through  the  tube  with  speed  v.  Note  that  the  piston  speed  does  not
equal v.  Furthermore,  the  compressed  region  does  not  “stay  with”  the  piston  as  the
piston  moves,  because  the  speed  of  the  wave  is  usually  greater  than  the  speed  of  the
piston.

The speed of sound waves in a medium depends on the compressibility and density

of  the  medium.  If  the  medium  is  a  liquid  or  a  gas  and  has  a  bulk  modulus  B (see

513

(d)

v

(c)

v

(b)

(a)

Compressed region

Undisturbed gas

Figure 17.1 Motion of a longitudi-

nal pulse through a compressible

gas. The compression (darker re-

gion) is produced by the moving

piston.

Section 12.4) and density !, the speed of sound waves in that medium is

(17.1)

It is interesting to compare this expression with Equation 16.18 for the speed of trans-
verse waves on a string, 

. In both cases, the wave speed depends on an elastic

property  of  the  medium

—

bulk  modulus  B or  string  tension  T—and  on  an  inertial

property  of  the  medium—! or  ".  In  fact,  the  speed  of all  mechanical  waves follows  an
expression of the general form

For  longitudinal  sound  waves  in  a  solid  rod  of  material,  for  example,  the  speed  of
sound depends on Young’s modulus Y and the density !. Table 17.1 provides the speed
of sound in several different materials.

The speed of sound also depends on the temperature of the medium. For sound

traveling through air, the relationship between wave speed and medium temperature is

where 331 m/s is the speed of sound in air at 0°C, and T

C

is the air temperature in de-

grees Celsius. Using this equation, one finds that at 20°C the speed of sound in air is
approximately 343 m/s.

This information provides a convenient way to estimate the distance to a thunder-

storm.  You  count  the  number  of  seconds  between  seeing  the  flash  of  lightning  and
hearing  the  thunder.  Dividing  this  time  by  3  gives  the  approximate  distance  to  the
lightning in kilometers, because 343 m/s is approximately  km/s. Dividing the time in
seconds  by  5  gives  the  approximate  distance  to  the  lightning  in  miles,  because  the
speed of sound in ft/s (1 125 ft/s) is approximately  mi/s.

1

5

1

3

v # (331 m/s)

√

1 $

T

C

273%C

v #

√

elastic property

inertial property

v #

√

T/"

v #

√

B

!

514

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

Quick Quiz 17.1

The speed of sound in air is a function of (a) wavelength

(b) frequency (c) temperature (d) amplitude.

Example 17.1 Speed of Sound in a Liquid

(A)

Find  the  speed  of  sound  in  water,  which  has  a  bulk

modulus of 2.1 & 10

9

N/m

2

at a temperature of 0°C and a

density of 1.00 & 10

3

kg/m

3

.

Solution Using Equation 17.1, we find that

In general, sound waves travel more slowly in liquids than in
solids  because  liquids  are  more  compressible  than  solids.
Note that the speed of sound in water is lower at 0°C than at
25°C (Table 17.1).

1.4 km/s

v

water

#

√

B

!

#

√

2.1 & 10

9

 N/m

2

1.00 & 10

3

 kg/m

3

#

(B)

Dolphins use sound waves to locate food. Experiments

have shown that a dolphin can detect a 7.5-cm target 110 m
away, even in murky water. For a bit of “dinner” at that dis-
tance, how much time passes between the moment the dol-
phin  emits  a  sound  pulse  and  the  moment  the  dolphin
hears its reflection and thereby detects the distant target?

Solution The total distance covered by the sound wave as it
travels  from  dolphin  to  target  and  back  is  2 & 110 m #
220 m. From Equation 2.2, we have, for 25°C water

0.14 s

'

t

  

#

  

'

x

v

x

  

#

  

220

  

m

1

  

533

  

m/s

  

#

  

Medium

v (m/s)

Gases

Hydrogen (0°C)

1 286

Helium (0°C)

972

Air (20°C)

343

Air (0°C)

331

Oxygen (0°C)

317

Liquids at 25°C

Glycerol

1 904

Seawater

1 533

Water

1 493

Mercury

1 450

Kerosene

1 324

Methyl alcohol

1 143

Carbon tetrachloride

926

Solids

a

Pyrex glass

5 640

Iron

5 950

Aluminum

6 420

Brass

4 700

Copper

5 010

Gold

3 240

Lucite

2 680

Lead

1 960

Rubber

1 600

Speed of Sound in Various
Media

Table 17.1

a

Values given are for propagation of
longitudinal waves in bulk media.
Speeds for longitudinal waves in thin
rods are smaller, and speeds of trans-
verse waves in bulk are smaller yet.

Interactive

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can compare the speed of sound through the various
media found in Table 17.1.

17.2 Periodic Sound Waves

This section will help you better comprehend the nature of sound waves. An important
fact for understanding how our ears work is that pressure variations control what we hear.

One can produce a one-dimensional periodic sound wave in a long, narrow tube con-

taining a gas by means of an oscillating piston at one end, as shown in Figure 17.2. The
darker parts of the colored areas in this figure represent regions where the gas is com-
pressed  and  thus  the  density  and  pressure  are  above  their  equilibrium  values.  A  com-
pressed region is formed whenever the piston is pushed into the tube. This compressed
region,  called  a 

compression, moves  through  the  tube  as  a  pulse,  continuously  com-

pressing the region just in front of itself. When the piston is pulled back, the gas in front
of  it  expands,  and  the  pressure  and  density  in  this  region  fall  below  their  equilibrium
values  (represented  by  the  lighter  parts  of  the  colored  areas  in  Fig.  17.2).  These  low-
pressure regions, called 

rarefactions, also propagate along the tube, following the com-

pressions. Both regions move with a speed equal to the speed of sound in the medium.

As  the  piston  oscillates  sinusoidally,  regions  of  compression  and  rarefaction  are

continuously set up. The distance between two successive compressions (or two succes-
sive  rarefactions)  equals  the  wavelength  (.  As  these  regions  travel  through  the  tube,
any small element of the medium moves with simple harmonic motion parallel to the
direction of the wave. If s(x, t) is the position of a small element relative to its equilib-
rium position,

1

we can express this harmonic position function as

(17.2)

where 

s

max

is the maximum position of the element relative to equilibrium. This

is often called the 

displacement amplitude of the wave. The parameter k is the wave

number and ) is the angular frequency of the piston. Note that the displacement of
the element is along x, in the direction of propagation of the sound wave, which means
we are describing a longitudinal wave.

The variation in the gas pressure 'P measured from the equilibrium value is also

periodic. For the position function in Equation 17.2, 'P is given by

(17.3)

where 

the pressure amplitude !P

max

—which is the 

maximum change in pressure

from the equilibrium value—is given by

(17.4)

Thus, we see that a sound wave may be considered as either a displacement wave or

a  pressure  wave.  A  comparison  of  Equations  17.2  and  17.3  shows  that 

the  pressure

wave is 90° out of phase with the displacement wave. Graphs of these functions are
shown  in  Figure  17.3.  Note  that  the  pressure  variation  is  a  maximum  when  the  dis-
placement from equilibrium is zero, and the displacement from equilibrium is a maxi-
mum when the pressure variation is zero.

'

P

max

#

!

v)s

max

'

P # 'P

max

 sin(kx * )t)

s(x, t) # s

max

 cos(kx * )t)

S E C T I O N   17. 2 •  Periodic Sound Waves

515

Quick Quiz 17.2

If you blow across the top of an empty soft-drink bottle, a

pulse  of  sound  travels  down  through  the  air  in  the  bottle.  At  the  moment  the  pulse
reaches the bottom of the bottle, the correct descriptions of the displacement of ele-
ments of air from their equilibrium positions and the pressure of the air at this point
are (a) the displacement and pressure are both at a maximum (b) the displacement
and pressure are both at a minimum (c) the displacement is zero and the pressure is a
maximum (d) the displacement is zero and the pressure is a minimum.

1

We use s(x, t) here instead of y(x, t) because the displacement of elements of the medium is not

perpendicular to the x direction.

P

λ

Active Figure 17.2 A longitudinal

wave propagating through a gas-

filled tube. The source of the wave

is an oscillating piston at the left.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the frequency of the

piston.

s

x

x

(a)

(b)

∆P

max

∆P

s

max

Figure 17.3 (a) Displacement

amplitude and (b) pressure

amplitude versus position for a

sinusoidal longitudinal wave.

Derivation of Equation 17.3

Consider a thin disk-shaped element of gas whose circular cross section is parallel to
the piston in Figure 17.2. This element will undergo changes in position, pressure, and
density as a sound wave propagates through the gas. From the definition of bulk modu-
lus (see Eq. 12.8), the pressure variation in the gas is

The element has a thickness 'x in the horizontal direction and a cross-sectional area
A,  so  its  volume  is  V

i

#

A 'x.  The  change  in  volume  'V accompanying  the  pressure

change is equal to A ' s, where 's is the difference between the value of s at x + 'x and
the value of s at x. Hence, we can express 'P as

As 'x approaches zero, the ratio 's/'x becomes +s/+x. (The partial derivative indicates
that we are interested in the variation of s with position at a fixed time.) Therefore,

If  the  position  function  is  the  simple  sinusoidal  function  given  by  Equation  17.2,  we
find that

Because the bulk modulus is given by B # !v

2

(see Eq. 17.1), the pressure variation re-

duces to

From Equation 16.11, we can write k # )/v; hence, 'P can be expressed as

Because the sine function has a maximum value of 1, we see that the maximum value of
the pressure variation is 'P

max

#

!

v)s

max

(see Eq. 17.4), and we arrive at Equation 17.3:

17.3 Intensity of Periodic Sound Waves

In the preceding chapter, we showed that a wave traveling on a taut string transports en-
ergy. The same concept applies to sound waves. Consider an element of air of mass 'm
and width 'x in front of a piston oscillating with a frequency ), as shown in Figure 17.4.

'

P # 'P

max

 sin(kx * )t)

'

P # !v

 

)

s

max

 sin(kx * )t)

'

P # !v

 

2

s

max

k sin(kx * )t)

'

P # *B

 

 

+

+

x

 [s

max

 cos(kx

 

*

)

t)] # Bs

max

k sin(kx

 

*

 

)

t)

'

P # *B 

 

+

s

+

x

'

P # *B 

 

'

V

V

i

# *

B 

 

A

 

'

s

A

 

'

x

# *

B 

 

'

s

'

x

'

P # *B 

 

'

V

V

i

516

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

Area = A

∆m

∆x

v

Figure 17.4 An oscillating piston

transfers energy to the air in the

tube, causing the element of air

of width 'x and mass 'm to

oscillate with an amplitude s

max

.