Physics For Scientists And Engineers 6E - part 127

Questions

505

A

transverse wave is one in which the elements of the medium move in a direction

perpendicular to the direction of propagation. An example is a wave on a taut string. A
longitudinal  wave  is one in which the elements of the medium move in a direction
parallel to the direction of propagation. Sound waves in fluids are longitudinal.

Any one-dimensional wave traveling with a speed v in the x direction can be repre-

sented by a wave function of the form

y(x, t) ! f(x * vt)

(16.1, 16.2)

where the positive sign applies to a wave traveling in the negative x direction and the
negative sign applies to a wave traveling in the positive x direction. The shape of the
wave at any instant in time (a snapshot of the wave) is obtained by holding t constant.

The

wave  function  for  a  one-dimensional  sinusoidal  wave  traveling  to  the  right

can be expressed as

(16.5, 16.10)

where A is the 

amplitude, % is the wavelength, k is the angular wave number, and ' is

the 

angular frequency. If T is the period and f the frequency, v, k, and ' can be written

(16.6, 16.12)

(16.8)

(16.3, 16.9)

The speed of a wave traveling on a taut string of mass per unit length + and tension

T is

(16.18)

A  wave  is  totally  or  partially  reflected  when  it  reaches  the  end  of  the  medium  in

which it propagates or when it reaches a boundary where its speed changes discontinu-
ously.  If  a  wave  traveling  on  a  string  meets  a  fixed  end,  the  wave  is  reflected  and  in-
verted. If the wave reaches a free end, it is reflected but not inverted.

The

power transmitted by a sinusoidal wave on a stretched string is

(16.21)

Wave  functions  are  solutions  to  a  differential  equation  called  the 

linear  wave

equation:

(16.27)

)

2

y

)

x

2

!

1

v

2

  

)

2

y

)

t

2

" !

1

2

+'

2

A

2

v

v !

√

T
+

'

 

% 

2&

T

!

2&f

k 

% 

2&

%

v !

%

T

!

%

f

y ! A sin 

!

2&

%

 

(x " vt)

"

!

A sin(kx " 't)

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

1. Why is a pulse on a string considered to be transverse?

How  would  you  create  a  longitudinal  wave  in  a  stretched
spring? Would it be possible to create a transverse wave in
a spring?

3. By what factor would you have to multiply the tension in a

stretched string in order to double the wave speed?

4. When traveling on a taut string, does a pulse always invert

upon reflection? Explain.

2.

5. Does  the  vertical  speed  of  a  segment  of  a  horizontal  taut

string,  through  which  a  wave  is  traveling,  depend  on  the
wave speed?

6. If  you  shake  one  end  of  a  taut  rope  steadily  three  times

each  second,  what  would  be  the  period  of  the  sinusoidal
wave set up in the rope?
A vibrating source generates a sinusoidal wave on a string
under  constant  tension.  If  the  power  delivered  to  the 

7.

Q U E S T I O N S

506

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

string  is  doubled,  by  what  factor  does  the  amplitude
change? Does the wave speed change under these circum-
stances?

8. Consider a wave traveling on a taut rope. What is the dif-

ference,  if  any,  between  the  speed  of  the  wave  and  the
speed of a small segment of the rope?

9. If a long rope is hung from a ceiling and waves are sent up

the rope from its lower end, they do not ascend with con-
stant speed. Explain.

10. How do transverse waves differ from longitudinal waves?
11. When all the strings on a guitar are stretched to the same

tension,  will  the  speed  of  a  wave  along  the  most  massive
bass string be faster, slower, or the same as the speed of a
wave on the lighter strings?

12. If one end of a heavy rope is attached to one end of a light

rope, the speed of a wave will change as the wave goes from
the heavy rope to the light one. Will it increase or decrease?
What happens to the frequency? To the wavelength?
If you stretch a rubber hose and pluck it, you can observe a

pulse  traveling  up  and  down  the  hose.  What  happens  to
the speed of the pulse if you stretch the hose more tightly?
What happens to the speed if you fill the hose with water?

13.

14. In  a  longitudinal  wave  in  a  spring,  the  coils  move  back

and  forth  in  the  direction  of  wave  motion.  Does  the
speed  of  the  wave  depend  on  the  maximum  speed  of
each coil?

15. Both  longitudinal  and  transverse  waves  can  propagate

through a solid. A wave on the surface of a liquid can in-
volve both longitudinal and transverse motion of elements
of  the  medium.  On  the  other  hand,  a  wave  propagating
through the volume of a fluid must be purely longitudinal,
not transverse. Why?

16. In  an  earthquake  both  S  (transverse)  and  P  (longitudinal)

waves propagate from the focus of the earthquake. The focus
is in the ground below the epicenter on the surface. The S
waves travel through the Earth more slowly than the P waves
(at about 5 km/s versus 8 km/s). By detecting the time of ar-
rival of the waves, how can one determine the distance to the
focus of the quake? How many detection stations are neces-
sary to locate the focus unambiguously?

17. In  mechanics,  massless  strings  are  often  assumed.  Why  is

this  not  a  good  assumption  when  discussing  waves  on
strings?

Section 16.1 Propagation of a Disturbance

At  t ! 0,  a  transverse  pulse  in  a  wire  is  described  by  the
function

where x and y are in meters. Write the function y(x, t) that
describes this pulse if it is traveling in the positive x direc-
tion with a speed of 4.50 m/s.

2. Ocean waves with a crest-to-crest distance of 10.0 m can be

described by the wave function

y(x, t) ! (0.800 m) sin[0.628(x " vt)]

where  v ! 1.20 m/s.  (a)  Sketch  y(x,  t)  at  t ! 0.  (b)  Sketch
y(x,  t)  at  t ! 2.00 s.  Note  that  the  entire  wave  form  has
shifted 2.40 m in the positive x direction in this time interval.

3. A pulse moving along the x axis is described by

where x is in meters and t is in seconds. Determine (a) the
direction of the wave motion, and (b) the speed of the pulse.

4.

Two points A and B on the surface of the Earth are at the
same longitude and 60.0° apart in latitude. Suppose that an
earthquake at point A creates a P wave that reaches point B
by traveling straight through the body of the Earth at a con-
stant  speed  of  7.80 km/s.  The  earthquake  also  radiates  a
Rayleigh wave, which travels across the surface of the Earth in
an analogous way to a surface wave on water, at 4.50 km/s.

y(x, t) ! 5.00e

"

(x #5.00t)

2

y !

6

x

2

#

3

1.

(a)  Which  of  these  two  seismic  waves  arrives  at  B first?
(b) What is the time difference between the arrivals of the
two waves at B? Take the radius of the Earth to be 6 370 km.

5. S and P waves, simultaneously radiated from the hypocenter

of  an  earthquake,  are  received  at  a  seismographic  station
17.3 s apart. Assume the waves have traveled over the same
path  at  speeds  of  4.50 km/s  and  7.80 km/s.  Find  the  dis-
tance from the seismograph to the hypocenter of the quake.

Section 16.2 Sinusoidal Waves

6. For  a  certain  transverse  wave,  the  distance  between  two

successive  crests  is  1.20 m,  and  eight  crests  pass  a  given
point  along  the  direction  of  travel  every  12.0 s.  Calculate
the wave speed.
A sinusoidal wave is traveling along a rope. The oscillator
that generates the wave completes 40.0 vibrations in 30.0 s.
Also,  a  given  maximum  travels  425 cm  along  the  rope  in
10.0 s. What is the wavelength?

8. When  a  particular  wire  is  vibrating  with  a  frequency  of

4.00 Hz,  a  transverse  wave  of  wavelength  60.0 cm  is  pro-
duced. Determine the speed of waves along the wire.
A  wave  is  described  by  y ! (2.00 cm) sin(kx " 't),  where
k ! 2.11 rad/m, ' ! 3.62 rad/s, x is in meters, and t is in
seconds. Determine the amplitude, wavelength, frequency,
and speed of the wave.

10. A sinusoidal wave on a string is described by

y ! (0.51 cm) sin(kx " 't)

9.

7.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

Problems

507

where k ! 3.10 rad/cm and ' ! 9.30 rad/s. How far does
a wave crest move in 10.0 s? Does it move in the positive or
negative x direction?

11. Consider  further  the  string  shown  in  Figure  16.10  and

treated in Example 16.3. Calculate (a) the maximum trans-
verse speed and (b) the maximum transverse acceleration
of a point on the string.

12. Consider  the  sinusoidal  wave  of  Example  16.2,  with  the

wave function

y ! (15.0 cm) cos(0.157x " 50.3t).

At a certain instant, let point A be at the origin and point
B be  the  first  point  along  the  x axis  where  the  wave  is 
60.0° out of phase with point A. What is the coordinate of
point B?

13. A sinusoidal wave is described by

y ! (0.25 m) sin(0.30x " 40t)

where x and y are in meters and t is in seconds. Determine
for  this  wave  the  (a)  amplitude,  (b)  angular  frequency, 
(c)  angular  wave  number,  (d)  wavelength,  (e)  wave  speed,
and (f) direction of motion.

14. (a) Plot y versus t at x ! 0 for a sinusoidal wave of the form

y ! (15.0 cm)  cos(0.157x " 50.3t),  where  x and  y are  in
centimeters and t is in seconds. (b) Determine the period
of  vibration  from  this  plot  and  compare  your  result  with
the value found in Example 16.2.

(a) Write the expression for y as a function of x and t

for a sinusoidal wave traveling along a rope in the negative
x direction with the following characteristics: A ! 8.00 cm,
% !

80.0 cm,  f ! 3.00 Hz,  and  y(0,  t) ! 0  at  t ! 0.

(b) What If? Write the expression for y as a function of x
and t for the wave in part (a) assuming that y(x, 0) ! 0 at
the point x ! 10.0 cm.

16. A sinusoidal wave traveling in the "x direction (to the left)

has an amplitude of 20.0 cm, a wavelength of 35.0 cm, and
a frequency of 12.0 Hz. The transverse position of an ele-
ment of the medium at t ! 0, x ! 0 is y ! " 3.00 cm, and
the  element  has  a  positive  velocity  here.  (a)  Sketch  the
wave at t ! 0. (b) Find the angular wave number, period,
angular frequency, and wave speed of the wave. (c) Write
an expression for the wave function y(x, t).

17. A  transverse  wave  on  a  string  is  described  by  the  wave

function

y ! (0.120 m) sin[(&x/8) # 4&t]

(a)  Determine  the  transverse  speed  and  acceleration  at 
t ! 0.200 s  for  the  point  on  the  string  located  at  x !
1.60 m. (b) What are the wavelength, period, and speed of
propagation of this wave?

18.

A  transverse  sinusoidal  wave  on  a  string  has  a  period
T ! 25.0 ms  and  travels  in  the  negative  x direction  with
a speed  of  30.0 m/s.  At  t ! 0,  a  particle  on  the  string  at
x ! 0 has a transverse position of 2.00 cm and is traveling
downward with a speed of 2.00 m/s. (a) What is the ampli-
tude  of  the  wave?  (b)  What  is  the  initial  phase  angle?
(c) What  is  the  maximum  transverse  speed  of  the  string?
(d) Write the wave function for the wave.

15.

19. A  sinusoidal  wave  of  wavelength  2.00 m  and  amplitude

0.100 m travels on a string with a speed of 1.00 m/s to the
right.  Initially,  the  left  end  of  the  string  is  at  the  origin.
Find (a) the frequency and angular frequency, (b) the an-
gular  wave  number,  and  (c)  the  wave  function  for  this
wave.  Determine  the  equation  of  motion  for  (d)  the  left
end  of  the  string  and  (e)  the  point  on  the  string  at  x !
1.50 m  to  the  right  of  the  left  end.  (f)  What  is  the  maxi-
mum speed of any point on the string?

20. A  wave  on  a  string  is  described  by  the  wave  function

y ! (0.100 m) sin(0.50x " 20t). (a) Show that a particle in
the string at x ! 2.00 m executes simple harmonic motion.
(b) Determine the frequency of oscillation of this particu-
lar point.

Section 16.3 The Speed of Waves on Strings

21. A telephone cord is 4.00 m long. The cord has a mass of

0.200 kg.  A  transverse  pulse  is  produced  by  plucking  one
end of the taut cord. The pulse makes four trips down and
back along the cord in 0.800 s. What is the tension in the
cord?

22. Transverse  waves  with  a  speed  of  50.0 m/s  are  to  be  pro-

duced in a taut string. A 5.00-m length of string with a total
mass of 0.060 0 kg is used. What is the required tension?

23. A  piano  string  having  a  mass  per  unit  length  equal  to

5.00 - 10

"

3

kg/m is under a tension of 1 350 N. Find the

speed of a wave traveling on this string.

24.

A transverse traveling wave on a taut wire has an amplitude
of  0.200 mm  and  a  frequency  of  500 Hz.  It  travels  with  a
speed of 196 m/s. (a) Write an equation in SI units of the
form y ! A sin(kx " 't) for this wave. (b) The mass per unit
length  of  this  wire  is  4.10 g/m.  Find  the  tension  in  the 
wire.

25. An  astronaut  on  the  Moon  wishes  to  measure  the  local

value of the free-fall acceleration by timing pulses traveling
down  a  wire  that  has  an  object  of  large  mass  suspended
from it. Assume a wire has a mass of 4.00 g and a length of
1.60 m,  and  that  a  3.00-kg  object  is  suspended  from  it.  A
pulse  requires  36.1 ms  to  traverse  the  length  of  the  wire.
Calculate g

Moon

from these data. (You may ignore the mass

of the wire when calculating the tension in it.)

26.

Transverse  pulses  travel  with  a  speed  of  200 m/s  along  a
taut  copper  wire  whose  diameter  is  1.50 mm.  What  is  the
tension in the wire? (The density of copper is 8.92 g/cm

3

.)

Transverse waves travel with a speed of 20.0 m/s in a string
under a tension of 6.00 N. What tension is required for a
wave speed of 30.0 m/s in the same string?

28.

A  simple  pendulum  consists  of  a  ball  of  mass  M hanging
from a uniform string of mass m and length L, with m // M.
If  the  period  of  oscillations  for  the  pendulum  is  T,  deter-
mine the speed of a transverse wave in the string when the
pendulum hangs at rest.

29.

The elastic limit of the steel forming a piece of wire is equal
to  2.70 - 10

8

Pa.  What  is  the  maximum  speed  at  which

transverse wave pulses can propagate along this wire without
exceeding  this  stress?  (The  density  of  steel  is  7.86 - 10

3

km/m

3

.)

30.

Review problem. A light string with a mass per unit length
of  8.00 g/m  has  its  ends  tied  to  two  walls  separated  by  a

27.

508

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

distance equal to three fourths of the length of the string
(Fig. P16.30). An object of mass m is suspended from the
center  of  the  string,  putting  a  tension  in  the  string.
(a) Find an expression for the transverse wave speed in the
string  as  a  function  of  the  mass  of  the  hanging  object.
(b) What should be the mass of the object suspended from
the string in order to produce a wave speed of 60.0 m/s?

and a wavelength of 0.500 m and traveling with a speed of
30.0 m/s?

35.

A two-dimensional water wave spreads in circular ripples.
Show that the amplitude A at a distance r from the initial
disturbance  is  proportional  to 

.  (Suggestion:  Con-

sider the energy carried by one outward-moving ripple.)

36. Transverse waves are being generated on a rope under con-

stant tension. By what factor is the required power increased
or  decreased  if  (a)  the  length  of  the  rope  is  doubled  and
the angular frequency remains constant, (b) the amplitude
is doubled and the angular frequency is halved, (c) both the
wavelength  and  the  amplitude  are  doubled,  and  (d)  both
the length of the rope and the wavelength are halved?

Sinusoidal  waves  5.00 cm  in  amplitude  are  to  be

transmitted along a string that has a linear mass density of
4.00 - 10

"

2

kg/m.  If  the  source  can  deliver  a  maximum

power of 300 W and the string is under a tension of 100 N,
what  is  the  highest  frequency  at  which  the  source  can
operate?

38.

It is found that a 6.00-m segment of a long string contains
four complete waves and has a mass of 180 g. The string is
vibrating  sinusoidally  with  a  frequency  of  50.0 Hz  and
a peak-to-valley  distance  of  15.0 cm.  (The  “peak-to-valley”
distance  is the  vertical  distance  from  the  farthest  positive
position  to the  farthest  negative  position.)  (a)  Write  the
function that describes this wave traveling in the positive x
direction. (b) Determine the power being supplied to the
string.
A sinusoidal wave on a string is described by the equation

y ! (0.15 m) sin(0.80x " 50t)

where x and y are in meters and t is in seconds. If the mass
per  unit  length  of  this  string  is  12.0 g/m,  determine
(a) the speed of the wave, (b) the wavelength, (c) the fre-
quency, and (d) the power transmitted to the wave.

40.

The wave function for a wave on a taut string is

y(x, t) ! (0.350 m)sin(10&t " 3&x # &/4)

where x is in meters and t in seconds. (a) What is the aver-
age rate at which energy is transmitted along the string if
the linear mass density is 75.0 g/m? (b) What is the energy
contained in each cycle of the wave?

41.

A  horizontal  string  can  transmit  a  maximum  power  "

0

(without breaking) if a wave with amplitude A and angular
frequency ' is traveling along it. In order to increase this
maximum  power,  a  student  folds  the  string  and  uses  this
“double  string”  as  a  medium.  Determine  the  maximum
power  that  can  be  transmitted  along  the  “double  string,”
assuming that the tension is constant.

42. In a region far from the epicenter of an earthquake, a seis-

mic wave can be modeled as transporting energy in a sin-
gle direction without absorption, just as a string wave does.
Suppose the seismic wave moves from granite into mudfill
with similar density but with a much lower bulk modulus.
Assume the speed of the wave gradually drops by a factor
of 25.0, with negligible reflection of the wave. Will the am-
plitude  of  the  ground  shaking  increase  or  decrease?  By

39.

37.

1/

√

r

3L/4

L/2

L/2

m

Figure P16.30

M

M

A

B

D

L

2

L

4

L

4

Figure P16.32

A  30.0-m  steel  wire  and  a  20.0-m  copper  wire,  both

with  1.00-mm  diameters,  are  connected  end  to  end  and
stretched  to  a  tension  of  150 N.  How  long  does  it  take  a
transverse wave to travel the entire length of the two wires?

32.

Review problem. A light string of mass m and length L has
its ends tied to two walls that are separated by the distance
D.  Two  objects,  each  of  mass  M,  are  suspended  from  the
string  as  in  Figure  P16.32.  If  a  wave  pulse  is  sent  from
point A, how long does it take to travel to point B?

31.

33. A student taking a quiz finds on a reference sheet the two

equations

She  has  forgotten  what  T represents  in  each  equation.
(a) Use  dimensional  analysis  to  determine  the  units  re-
quired  for  T in  each  equation.  (b)  Identify  the  physical
quantity each T represents.

Section 16.5 Rate of Energy Transfer by Sinusoidal

Waves on Strings

34. A taut rope has a mass of 0.180 kg and a length of 3.60 m.

What power must be supplied to the rope in order to gen-
erate  sinusoidal  waves  having  an  amplitude  of  0.100 m

f ! 1/T

   

and

   

v !

√

T/+