Physics For Scientists And Engineers 6E - part 125

S E C T I O N   16 . 3 •  The Speed of Waves on Strings

497

radial force on the element is 2T sin $. Because the element is small, $ is small, and we
can use the small-angle approximation sin $

& $. Therefore, the total radial force is

F

r

!

2T sin $

& 2T$

The element has a mass m ! + ,s. Because the element forms part of a circle and sub-
tends an angle 2$ at the center, ,s ! R(2$), we find that

m ! + ,s ! 2+R$

If we apply Newton’s second law to this element in the radial direction, we have

This expression for v is Equation 16.18.

Notice that this derivation is based on the assumption that the pulse height is small

relative to the length of the string. Using this assumption, we were able to use the approxi-
mation sin $

& $. Furthermore, the model assumes that the tension T is not affected by

the presence of the pulse; thus, T is the same at all points on the string. Finally, this proof
does not assume any particular shape for the pulse. Therefore, we conclude that a pulse of
any shape travels along the string with speed 

without any change in pulse shape.

v !

√

T/+

2T

 

$ !

2+R

 

$

 

v

2

R

 

9:

 

v !

√

 

T
+

F

r

!

ma !

mv

2

R

∆s

R

O

(a)

(b)

O

v

θ

∆s

θ

R

θ

T

T

Figure 16.11 (a) To obtain the speed v of a wave on a stretched string, it is convenient

to describe the motion of a small element of the string in a moving frame of reference.

(b) In the moving frame of reference, the small element of length ,s moves to the left

with speed v. The net force on the element is in the radial direction because the hori-

zontal components of the tension force cancel.

Quick Quiz 16.7

Suppose you create a pulse by moving the free end of a taut

string up and down once with your hand beginning at t ! 0. The string is attached at its
other end to a distant wall. The pulse reaches the wall at time t. Which of the following
actions, taken by itself, decreases the time interval that it takes for the pulse to reach the
wall? More than one choice may be correct. (a) moving your hand more quickly, but still
only up and down once by the same amount (b) moving your hand more slowly, but still
only up and down once by the same amount (c) moving your hand a greater distance
up and down in the same amount of time (d) moving your hand a lesser distance up
and down in the same amount of time (e) using a heavier string of the same length and
under the same tension (f) using a lighter string of the same length and under the same
tension (g) using a string of the same linear mass density but under decreased tension
(h) using a string of the same linear mass density but under increased tension

498

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

A uniform cord has a mass of 0.300 kg and a length of 6.00 m
(Fig.  16.12).  The  cord  passes  over  a  pulley  and  supports  a
2.00-kg object. Find the speed of a pulse traveling along this
cord.

Solution The tension T in the cord is equal to the weight
of the suspended 2.00-kg object:

T ! mg ! (2.00 kg)(9.80 m/s

2

) ! 19.6 N

(This  calculation  of  the  tension  neglects  the  small  mass  of
the  cord.  Strictly  speaking,  the  cord  can  never  be  exactly
horizontal, and therefore the tension is not uniform.) The
mass per unit length + of the cord is

Therefore, the wave speed is

What  If?

What  if  the  block  were  swinging  back  and  forth

between maximum angles of ! 20° with respect to the verti-
cal?  What  range  of  wave  speeds  would  this  create  on  the
horizontal cord?

Answer Figure 16.13 shows the swinging block at three po-
sitions—its highest position, its lowest position, and an arbi-
trary  position.  Summing  the  forces  on  the  block  in  the  ra-
dial  direction  when  the  block  is  at  an  arbitrary  position,
Newton’s second law gives

where the acceleration of the block is centripetal, L is the
length  of  the  vertical  piece  of  string,  and  v

block

is  the  in-

stantaneous  speed  of  the  block  at  the  arbitrary  position.
Now  consider  conservation  of  mechanical  energy  for  the
block–Earth system. We define the zero of gravitational po-
tential energy for the system when the block is at its lowest
point,  point  ! in  Figure  16.13.  Equating  the  mechanical
energy of the system when the block is at " to the mechani-
cal  energy  when  the  block  is  at  an  arbitrary  position  #,
we have,

(1)

     

'

 F ! T " mg cos $ ! m

 

v

block

2

L

19.8 m/s

v !

√

T
+

!

√

19.6 N

0.050 0 kg/m

!

+ !

m

!

!

0.300 kg

6.00 m

!

0.050 0 kg/m

Substituting  this  into  Equation  (1),  we  find  an  expression
for T as a function of angle $ and height h:

The maximum value of T occurs when $ ! 0 and h ! 0:

The  minimum  value  of  T occurs  when  h ! h

max

and

$ ! $

max

:

Now we find the maximum and minimum values of the wave
speed v, using the fact that, as we see from Figure 16.13, h
and $ are related by h ! L " L cos $:

 !

√

mg

 

{1 # [2(L " L cos $

max

)/L]}

+

v

max

!

√

T

max

+

!

√

mg

 

[1 # (2h

max

/L)]

+

T

min

!

mg 

!

cos $

max

#

2

L

 (h

max

"

h

max

)

"

!

mg

  

cos $

max

T

max

!

mg 

!

cos 0 #

2

L

 (h

max

"

0)

"

!

mg 

 

#

1 #

2h

max

L

$

T ! mg 

 

!

cos $ #

2

L

 (h

max

"

h)

"

T " mg cos $ !

2mg

 

(h

max

"

h)

L

mv

2

block

!

2mg

 

(h

max

"

h)

 mgh

max

!

mgh #

1

2

mv

2

block

E

A

!

E

B

5.00 m

2.00 kg

1.00 m

Figure 16.12 (Example 16.4) The tension T in the cord is

maintained by the suspended object. The speed of any 

wave traveling along the cord is given by v !

√

T/

+

.

θ

"

#

!

T

L

L cos

θ

h

max

h

h = 0

θ

mg

mg cos

θ

Figure 16.13 (Example 16.4) If the block swings back and

forth, the tension in the cord changes, which causes a variation

in the wave speed on the horizontal section of cord in Figure

16.12. The forces on the block when it is at arbitrary position #

are shown. Position " is the highest position and ! is the low-

est. (The maximum angle is exaggerated for clarity.)

Example 16.4 The Speed of a Pulse on a Cord

S E C T I O N   16 . 4 •  Reflection and Transmission

499

An 80.0-kg hiker is trapped on a mountain ledge following a
storm.  A  helicopter  rescues  the  hiker  by  hovering  above
him and lowering a cable to him. The mass of the cable is
8.00 kg, and its length is 15.0 m. A chair of mass 70.0 kg is
attached to the end of the cable. The hiker attaches himself
to  the  chair,  and  the  helicopter  then  accelerates  upward.
Terrified  by  hanging  from  the  cable  in  midair,  the  hiker
tries to signal the pilot by sending transverse pulses up the
cable. A pulse takes 0.250 s to travel the length of the cable.
What is the acceleration of the helicopter?

Solution To conceptualize this problem, imagine the effect
of  the  acceleration  of  the  helicopter  on  the  cable.  The
higher the upward acceleration, the larger is the tension in
the cable. In turn, the larger the tension, the higher is the
speed of pulses on the cable. Thus, we categorize this prob-
lem  as  a  combination  of  one  involving  Newton’s  laws  and
one involving the speed of pulses on a string. To analyze the
problem,  we  use  the  time  interval  for  the  pulse  to  travel
from  the  hiker  to  the  helicopter  to  find  the  speed  of  the
pulses on the cable:

v !

,

x

,

t

!

15.0 m
0.250 s

!

60.0 m/s

The speed of pulses on the cable is given by Equation 16.18,
which allows us to find the tension in the cable:

Newton’s second law relates the tension in the cable to the
acceleration of the hiker and the chair, which is the same as
the acceleration of the helicopter:

To finalize this problem, note that a real cable has stiffness
in addition to tension. Stiffness tends to return a wire to its
original  straight-line  shape  even  when  it  is  not  under  ten-
sion. For example, a piano wire straightens if released from
a curved shape; package wrapping string does not.

Stiffness represents a restoring force in addition to ten-

sion, and increases the wave speed. Consequently, for a real
cable,  the  speed  of  60.0 m/s  that  we  determined  is  most
likely associated with a tension lower than 1.92 - 10

3

N and

a correspondingly smaller acceleration of the helicopter.

3.00 m/s

2

!

a !

T

m

"

g !

1.92 - 10

3

 N

150.0 kg

"

9.80 m/s

2

'

 F ! ma

 

9:

 

T " mg ! ma

T ! 1.92 - 10

3

 N

v !

√

T
+

 

9:

 

T ! +v

2

!

#

8.00 kg

15.0 m

$

(60.0 m/s)

2

 !

√

(2.00 kg)(9.80 m/s

2

)(3 " 2 cos 20.)

0.050 0 kg/m

!

21.0 m/s

 !

√

mg

 

(3 " 2 cos $

max

)

+

 !

√

(2.00 kg)(9.80 m/s

2

)(cos 20.)

0.050 0 kg/m

!

19.2 m/s

v

min

!

√

T

min

+

!

√

mg cos $

max

+

16.4 Reflection and Transmission

We have discussed waves traveling through a uniform medium. We now consider how a
traveling wave is affected when it encounters a change in the medium. For example,
consider a pulse traveling on a string that is rigidly attached to a support at one end as
in Figure 16.14. When the pulse reaches the support, a severe change in the medium
occurs—the string ends. The result of this change is that the pulse undergoes 

reflec-

tion—that is, the pulse moves back along the string in the opposite direction.

Note that the reflected pulse is inverted. This inversion can be explained as follows.

When  the  pulse  reaches  the  fixed  end  of  the  string,  the  string  produces  an  upward
force  on  the  support.  By  Newton’s  third  law,  the  support  must  exert  an  equal-
magnitude  and  oppositely  directed  (downward)  reaction  force  on  the  string.  This
downward force causes the pulse to invert upon reflection.

Now consider another case: this time, the pulse arrives at the end of a string that is

free to move vertically, as in Figure 16.15. The tension at the free end is maintained be-
cause the string is tied to a ring of negligible mass that is free to slide vertically on a
smooth  post  without  friction.  Again,  the  pulse  is  reflected,  but  this  time  it  is  not  in-
verted. When it reaches the post, the pulse exerts a force on the free end of the string,
causing  the  ring  to  accelerate  upward.  The  ring  rises  as  high  as  the  incoming  pulse,

Example 16.5 Rescuing the Hiker

Interactive

Investigate this situation at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Reflected

pulse

Incident

pulse

Active Figure 16.14 The reflec-

tion of a traveling pulse at the fixed

end of a stretched string. The re-

flected pulse is inverted, but its

shape is otherwise unchanged.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you can adjust the linear mass

density of the string and the transverse direction of the initial pulse.

and then the downward component of the tension force pulls the ring back down. This
movement of the ring produces a reflected pulse that is not inverted and that has the
same amplitude as the incoming pulse.

Finally,  we  may  have  a  situation  in  which  the  boundary  is  intermediate  between

these two extremes. In this case, part of the energy in the incident pulse is reflected
and  part  undergoes 

transmission—that  is,  some  of  the  energy  passes  through  the

boundary. For instance, suppose a light string is attached to a heavier string, as in Fig-
ure  16.16.  When  a  pulse  traveling  on  the  light  string  reaches  the  boundary  between
the two, part of the pulse is reflected and inverted and part is transmitted to the heav-
ier string. The reflected pulse is inverted for the same reasons described earlier in the
case of the string rigidly attached to a support.

Note that the reflected pulse has a smaller amplitude than the incident pulse. In

Section 16.5, we show that the energy carried by a wave is related to its amplitude. Ac-
cording to the principle of the conservation of energy, when the pulse breaks up into a
reflected  pulse  and  a  transmitted  pulse  at  the  boundary,  the  sum  of  the  energies  of
these  two  pulses  must  equal  the  energy  of  the  incident  pulse.  Because  the  reflected
pulse  contains  only  part  of  the  energy  of  the  incident  pulse,  its  amplitude  must  be
smaller.

When a pulse traveling on a heavy string strikes the boundary between the heavy

string and a lighter one, as in Figure 16.17, again part is reflected and part is transmit-
ted. In this case, the reflected pulse is not inverted.

In either case, the relative heights of the reflected and transmitted pulses depend

on the relative densities of the two strings. If the strings are identical, there is no dis-
continuity at the boundary and no reflection takes place.

500

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

Active Figure 16.15 The reflec-

tion of a traveling pulse at the free

end of a stretched string. The re-

flected pulse is not inverted.

Figure 16.16 (a) A pulse traveling to the right on a light string attached to a heavier

string. (b) Part of the incident pulse is reflected (and inverted), and part is transmitted to

the heavier string. See Figure 16.17 for an animation available for both figures at the Ac-

tive Figures link.

Incident

pulse

(a)

(b)

(c)

Reflected

pulse

(d)

Incident

pulse

Transmitted

pulse

Reflected

pulse

(a)

(b)

Active Figure 16.17 (a) A pulse traveling to the right on a heavy string attached to a lighter

string. (b) The incident pulse is partially reflected and partially transmitted, and the reflected

pulse is not inverted.

Incident

pulse

Reflected

pulse

Transmitted

pulse

(a)

(b)

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the linear mass

densities of the strings and the

transverse direction of the

initial pulse.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the linear mass

density of the string and the

transverse direction of the

initial pulse.