Physics For Scientists And Engineers 6E - part 124

S E C T I O N   16 . 2 •  Sinusoidal Waves

493

By definition, the wave travels a distance of one wavelength in one period T. There-

fore, the wave speed, wavelength, and period are related by the expression

(16.6)

Substituting this expression for v into Equation 16.5, we find that

(16.7)

This  form  of  the  wave  function  shows  the  periodic nature  of  y.  (We  will  often  use  y
rather than y(x, t) as a shorthand notation.) At any given time t, y has the same value at
the  positions  x,  x # %,  x # 2%,  and  so  on.  Furthermore,  at  any  given  position  x,  the
value of y is the same at times t, t # T, t # 2T, and so on.

We can express the wave function in a convenient form by defining two other quan-

tities, the 

angular wave number k (usually called simply the wave number) and the

angular frequency ':

(16.8)

(16.9)

Using these definitions, we see that Equation 16.7 can be written in the more compact
form

(16.10)

Using  Equations  16.3,  16.8,  and  16.9,  we  can  express  the  wave  speed  v originally

given in Equation 16.6 in the alternative forms

(16.11)

(16.12)

The wave function given by Equation 16.10 assumes that the vertical position y of

an element of the medium is zero at x ! 0 and t ! 0. This need not be the case. If it is
not, we generally express the wave function in the form

y ! A sin(kx " 't # ()

(16.13)

where ( is the 

phase constant, just as we learned in our study of periodic motion in

Chapter 15. This constant can be determined from the initial conditions.

v ! %f

 v !

'

k

y ! A sin(kx " 't)

'

 

% 

2&

T

k 

% 

2&

%

y ! A sin

 

!

2&

  

#

x

%

"

t

T

$

"

v !

%

T

Angular wave number

Speed of a sinusoidal wave

General expression for a

sinusoidal wave

Wave function for a sinusoidal

wave

Angular frequency

Quick  Quiz  16.3

A  sinusoidal  wave  of  frequency  f is  traveling  along  a

stretched string. The string is brought to rest, and a second traveling wave of frequency
2f is established on the string. The wave speed of the second wave is (a) twice that of
the first wave (b) half that of the first wave (c) the same as that of the first wave (d) im-
possible to determine.

Quick  Quiz  16.4

Consider the waves in Quick Quiz 16.3 again. The wave-

length of the second wave is (a) twice that of the first wave (b) half that of the first wave
(c) the same as that of the first wave (d) impossible to determine.

Sinusoidal Waves on Strings

In Figure 16.1, we demonstrated how to create a pulse by jerking a taut string up and
down once. To create a series of such pulses—a wave—we can replace the hand with an
oscillating blade. If the wave consists of a series of identical waveforms, whatever their
shape,  the  relationships  f ! 1/T and  v ! f % among  speed,  frequency,  period,  and
wavelength hold true. We can make more definite statements about the wave function
if the source of the waves vibrates in simple harmonic motion. Figure 16.10 represents
snapshots of the wave created in this way at intervals of T/4. Because the end of the
blade oscillates in simple harmonic motion, 

each element of the string, such as that

at P, also oscillates vertically with simple harmonic motion. This must be the case
because  each  element  follows  the  simple  harmonic  motion  of  the  blade.  Therefore,
every  element  of  the  string  can  be  treated  as  a  simple  harmonic  oscillator  vibrating
with a frequency equal to the frequency of oscillation of the blade.

2

Note that although

each  element  oscillates  in  the  y direction,  the  wave  travels  in  the  x direction  with  a
speed v. Of course, this is the definition of a transverse wave.

If the wave at t ! 0 is as described in Figure 16.10b, then the wave function can be

written as

y ! A sin(kx " 't)

494

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

2

In this arrangement, we are assuming that a string element always oscillates in a vertical line. The

tension in the string would vary if an element were allowed to move sideways. Such motion would make
the analysis very complex.

Quick Quiz 16.5

Consider the waves in Quick Quiz 16.3 again. The ampli-

tude of the second wave is (a) twice that of the first wave (b) half that of the first wave
(c) the same as that of the first wave (d) impossible to determine.

A sinusoidal wave traveling in the positive x direction has an
amplitude  of  15.0 cm,  a  wavelength  of  40.0 cm,  and  a  fre-
quency  of  8.00 Hz.  The  vertical  position  of  an  element  of
the medium at t ! 0 and x ! 0 is also 15.0 cm, as shown in
Figure 16.9.

(A)

Find the wave number k, period T, angular frequency ',

and speed v of the wave.

Solution Using  Equations  16.8,  16.3,  16.9,  and  16.12,  we
find the following:

(B)

Determine  the  phase  constant  (,  and  write  a  general

expression for the wave function.

Solution Because A ! 15.0 cm and because y ! 15.0 cm at
x ! 0 and t ! 0, substitution into Equation 16.13 gives

320 cm/s

 v ! %f ! (40.0 cm)(8.00 s

"

 

1

) !

50.3 rad/s

 ' ! 2&f ! 2&(8.00 s

"

 

1

) !

0.125 s

 T !

1

f

!

1

8.00 s

"

 

1

!

0.157 rad/cm

 k !

2&

%

!

2& rad

40.0 cm

!

15.0 ! (15.0) sin (

or

sin ( ! 1

We  may  take  the  principal  value  ( ! &/2  rad  (or  90°).
Hence, the wave function is of the form

By inspection, we can see that the wave function must have
this  form,  noting  that  the  cosine  function  has  the  same
shape as the sine function displaced by 90°. Substituting the
values for A, k, and ' into this expression, we obtain

(15.0 cm) cos(0.157x " 50.3t)

y !

y ! A sin 

#

kx " 't #

&

2

$

!

A cos(kx " 't)

y(cm)

40.0 cm

15.0 cm

x(cm)

Figure 16.9 (Example 16.2) A sinusoidal wave of wavelength

%

!

40.0 cm and amplitude A ! 15.0 cm. The wave function

can be written in the form y ! A cos(kx "

'

t).

Example 16.2 A Traveling Sinusoidal Wave

S E C T I O N   16 . 2 •  Sinusoidal Waves

495

We can use this expression to describe the motion of any element of the string. An ele-
ment at point P (or any other element of the string) moves only vertically, and so its x
coordinate remains constant. Therefore, the 

transverse speed v

y

(not to be confused

with the wave speed v) and the 

transverse acceleration a

y

of elements of the string are

(16.14)

(16.15)

In  these  expressions,  we  must  use  partial  derivatives  (see  Section  8.5)  because  y de-
pends on both x and t. In the operation )y/)t, for example, we take a derivative with
respect to t while holding x constant. The maximum values of the transverse speed and
transverse acceleration are simply the absolute values of the coefficients of the cosine
and sine functions:

v

y, max

!

'

A

(16.16)

a

y, max

!

'

2

A

(16.17)

The  transverse  speed  and  transverse  acceleration  of  elements  of  the  string  do  not
reach  their  maximum  values  simultaneously.  The  transverse  speed  reaches  its  maxi-
mum  value  ('A)  when  y ! 0,  whereas  the  magnitude  of  the  transverse  acceleration
reaches its maximum value ('

2

A) when y ! * A. Finally, Equations 16.16 and 16.17 are

identical  in  mathematical  form  to  the  corresponding  equations  for  simple  harmonic
motion, Equations 15.17 and 15.18.

a

y

!

dv

y

dt

"

x ! constant

!

)

v

y

)

t

! "

 

'

2

A sin(kx " 't)

v

y

!

dy

dt

"

x ! constant

!

)

y

)

t

! "

'

A cos(kx " 't)

Active Figure 16.10 One method for producing a sinusoidal wave on a string. The left

end of the string is connected to a blade that is set into oscillation. Every element of the

string, such as that at point P, oscillates with simple harmonic motion in the vertical

direction.

▲

PITFALL PREVENTION

16.2 Two Kinds of

Speed/Velocity

Do  not  confuse  v,  the  speed  of
the  wave  as  it  propagates  along
the string, with v

y

, the transverse

velocity  of  a  point  on  the  string.
The  speed  v is  constant  while  v

y

varies sinusoidally.

Quick  Quiz  16.6

The  amplitude  of  a  wave  is  doubled,  with  no  other

changes  made  to  the  wave.  As  a  result  of  this  doubling,  which  of  the  following  state-
ments is correct? (a) The speed of the wave changes. (b) The frequency of the wave
changes.  (c)  The  maximum  transverse  speed  of  an  element  of  the  medium  changes.
(d) All of these are true. (e) None of these is true.

P

(a)

A

y

Vibrating

blade

(c)

P

P

P

(b)

(d)

λ

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the frequency of the

blade.

16.3 The Speed of Waves on Strings

In this section, we focus on determining the speed of a transverse pulse traveling on a
taut string. Let us first conceptually predict the parameters that determine the speed.
If a string under tension is pulled sideways and then released, the tension is responsi-
ble for accelerating a particular element of the string back toward its equilibrium posi-
tion. According to Newton’s second law, the acceleration of the element increases with
increasing tension. If the element returns to equilibrium more rapidly due to this in-
creased acceleration, we would intuitively argue that the wave speed is greater. Thus,
we expect the wave speed to increase with increasing tension.

Likewise, the wave speed should decrease as the mass per unit length of the string

increases.  This  is  because  it  is  more  difficult  to  accelerate  a  massive  element  of  the
string than a light element. If the tension in the string is T and its mass per unit length
is + (Greek mu), then as we shall show, the wave speed is

(16.18)

First, let us verify that this expression is dimensionally correct. The dimensions of 

T are  ML/T

2

,  and  the  dimensions  of  + are  M/L.  Therefore,  the  dimensions  of 

T/+ are L

2

/T

2

; hence, the dimensions of 

are L/T, the dimensions of speed. No

other combination of T and + is dimensionally correct, and if we assume that these are
the only variables relevant to the situation, the speed must be proportional to 

.

Now  let  us  use  a  mechanical  analysis  to  derive  Equation  16.18.  Consider  a  pulse

moving on a taut string to the right with a uniform speed v measured relative to a sta-
tionary frame of reference. Instead of staying in this reference frame, it is more conve-
nient to choose as our reference frame one that moves along with the pulse with the
same speed as the pulse, so that the pulse is at rest within the frame. This change of
reference  frame  is  permitted  because  Newton’s  laws  are  valid  in  either  a  stationary
frame  or  one  that  moves  with  constant  velocity.  In  our  new  reference  frame,  all  ele-
ments of the string move to the left—a given element of the string initially to the right
of  the  pulse  moves  to  the  left,  rises  up  and  follows  the  shape  of  the  pulse,  and  then
continues to move to the left. Figure 16.11a shows such an element at the instant it is
located at the top of the pulse.

The small element of the string of length ,s shown in Figure 16.11a, and magnified

in Figure 16.11b, forms an approximate arc of a circle of radius R. In our moving frame
of reference (which is moving to the right at a speed v along with the pulse), the shaded
element is moving to the left with a speed v. This element has a centripetal acceleration
equal to v

2

/R, which is supplied by components of the force 

T whose magnitude is the

tension in the string. The force 

T acts on both sides of the element and is tangent to the

arc,  as  shown  in  Figure  16.11b.  The  horizontal  components  of 

T cancel,  and  each

vertical component T sin $ acts radially toward the center of the arc. Hence, the total

√

T/+

√

T/+

v !

√

T
+

496

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

▲

PITFALL PREVENTION

16.3 Multiple T’s

Do not confuse the T in Equation
16.18  for  the  tension  with  the
symbol T used in this chapter for
the period of a wave. The context
of  the  equation  should  help  you
to  identify  which  quantity  is
meant.  There  simply  aren’t
enough letters in the alphabet to
assign  a  unique  letter  to  each
variable!

Speed of a wave on a stretched

string

The string shown in Figure 16.10 is driven at a frequency of
5.00 Hz.  The  amplitude  of  the  motion  is  12.0 cm,  and  the
wave speed is 20.0 m/s. Determine the angular frequency '
and  wave  number  k for  this  wave,  and  write  an  expression
for the wave function.

Solution Using Equations 16.3, 16.9, and 16.11, we find that

31.4 rad/s

' !

2&

T

!

2&f ! 2&(5.00 Hz) !

Because A ! 12.0 cm ! 0.120 m, we have

(0.120 m) sin(1.57x " 31.4t)

!

y ! A sin(kx " 't)

1.57 rad/m

k !

'

v

!

31.4 rad/s

20.0 m/s

!

Example 16.3 A Sinusoidally Driven String