Physics For Scientists And Engineers 6E - part 122

Answers to Quick Quizzes

485

15.3 (a). The amplitude is larger because the curve for Object

B shows that the displacement from the origin (the verti-
cal  axis  on  the  graph)  is  larger.  The  frequency  is  larger
for Object B because there are more oscillations per unit
time interval.

15.4 (a). The velocity is positive, as in Quick Quiz 15.2. Because

the  spring  is  pulling  the  object  toward  equilibrium  from
the negative x region, the acceleration is also positive.

15.5 (b).  According  to  Equation  15.13,  the  period  is  propor-

tional to the square root of the mass.

15.6 (c). The amplitude of the simple harmonic motion is the

same as the radius of the circular motion. The initial posi-
tion of the object in its circular motion is ) radians from
the positive x axis.

15.7 (a). With a longer length, the period of the pendulum will

increase. Thus, it will take longer to execute each swing,
so  that  each  second  according  to  the  clock  will  take
longer than an actual second—the clock will run slow.

15.8 (a). At the top of the mountain, the value of g is less than

that at sea level. As a result, the period of the pendulum
will increase and the clock will run slow. 

15.9 (a). If your goal is simply to stop the bounce from an ab-

sorbed  shock  as  rapidly  as  possible,  you  should  critically
damp  the  suspension.  Unfortunately,  the  stiffness  of  this
design  makes  for  an  uncomfortable  ride.  If  you  under-
damp the suspension, the ride is more comfortable but the
car bounces. If you overdamp the suspension, the wheel is
displaced  from  its  equilibrium  position  longer  than  it
should be. (For example, after hitting a bump, the spring
stays compressed for a short time and the wheel does not
quickly  drop  back  down  into  contact  with  the  road  after
the  wheel  is  past  the  bump—a  dangerous  situation.)  Be-
cause  of  all  these  considerations,  automotive  engineers
usually  design  suspensions  to  be  slightly  underdamped.
This allows the suspension to absorb a shock rapidly (mini-
mizing the roughness of the ride) and then return to equi-
librium after only one or two noticeable oscillations.

C H A P T E R   O U T L I N E

16.1 Propagation of a Disturbance

16.2 Sinusoidal Waves

16.3 The Speed of Waves on

Strings

16.4 Reflection and Transmission

16.5 Rate of Energy Transfer by

Sinusoidal Waves on Strings

16.6 The Linear Wave Equation

486

Chapter 16

Wave Motion

▲

The rich sound of a piano is due to waves on strings that are under tension. Many such

strings can be seen in this photograph. Waves also travel on the soundboard, which is
visible below the strings. In this chapter, we study the fundamental principles of wave
phenomena. (Kathy Ferguson Johnson/PhotoEdit/PictureQuest)

487

M

ost of us experienced waves as children when we dropped a pebble into a pond. At

the  point  where  the  pebble  hits  the  water’s  surface,  waves  are  created.  These  waves
move outward from the creation point in expanding circles until they reach the shore.
If you were to examine carefully the motion of a beach ball floating on the disturbed
water, you would see that the ball moves vertically and horizontally about its original
position  but  does  not  undergo  any  net  displacement  away  from  or  toward  the  point
where the pebble hit the water. The small elements of water in contact with the beach
ball, as well as all the other water elements on the pond’s surface, behave in the same
way. That is, the water wave moves from the point of origin to the shore, but the water
is not carried with it.

The world is full of waves, the two main types being mechanical waves and electromag-

netic waves.  In  the  case  of  mechanical  waves,  some  physical  medium  is  being  dis-
turbed—in our pebble and beach ball example, elements of water are disturbed. Elec-
tromagnetic  waves  do  not  require  a  medium  to  propagate;  some  examples  of
electromagnetic waves are visible light, radio waves, television signals, and x-rays. Here,
in this part of the book, we study only mechanical waves.

The wave concept is abstract. When we observe what we call a water wave, what we

see  is  a  rearrangement  of  the  water’s  surface.  Without  the  water,  there  would  be  no
wave.  A  wave  traveling  on  a  string  would  not  exist  without  the  string.  Sound  waves
could not travel from one point to another if there were no air molecules between the
two  points.  With  mechanical  waves,  what  we  interpret  as  a  wave  corresponds  to  the
propagation of a disturbance through a medium.

Considering further the beach ball floating on the water, note that we have caused

the ball to move at one point in the water by dropping a pebble at another location.
The ball has gained kinetic energy from our action, so energy must have transferred
from the point at which we drop the pebble to the position of the ball. This is a central
feature of wave motion—energy is transferred over a distance, but matter is not.

All  waves  carry  energy,  but  the  amount  of  energy  transmitted  through  a  medium

and the mechanism responsible for that transport of energy differ from case to case.
For instance, the power of ocean waves during a storm is much greater than the power
of sound waves generated by a single human voice.

16.1 Propagation of a Disturbance

In the introduction, we alluded to the essence of wave motion—the transfer of energy
through  space  without  the  accompanying  transfer  of  matter.  In  the  list  of  energy
transfer  mechanisms  in  Chapter  7,  two  mechanisms  depend  on  waves—mechanical
waves  and  electromagnetic  radiation.  By  contrast,  in  another  mechanism—matter
transfer—the energy transfer is accompanied by a movement of matter through space.

All mechanical waves require (1) some source of disturbance, (2) a medium

that  can  be  disturbed,  and  (3)  some  physical  mechanism  through  which
elements of the medium can influence each other. One way to demonstrate wave

488

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

motion is to flick one end of a long rope that is under tension and has its opposite end
fixed, as shown in Figure 16.1. In this manner, a single bump (called a pulse) is formed
and travels along the rope with a definite speed. Figure 16.1 represents four consecu-
tive “snapshots” of the creation and propagation of the traveling pulse. The rope is the
medium through which the pulse travels. The pulse has a definite height and a definite
speed of propagation along the medium (the rope). As we shall see later, the proper-
ties of this particular medium that determine the speed of the disturbance are the ten-
sion in the rope and its mass per unit length. The shape of the pulse changes very little
as it travels along the rope.

1

We shall first focus our attention on a pulse traveling through a medium. Once we

have explored the behavior of a pulse, we will then turn our attention to a wave, which is
a periodic disturbance traveling through a medium. We created a pulse on our rope by
flicking the end of the rope once, as in Figure 16.1. If we were to move the end of the
rope up and down repeatedly, we would create a traveling wave, which has characteris-
tics that a pulse does not have. We shall explore these characteristics in Section 16.2.

As the pulse in Figure 16.1 travels, each disturbed element of the rope moves in a

direction perpendicular to the direction of propagation. Figure 16.2 illustrates this point
for one particular element, labeled P. Note that no part of the rope ever moves in the
direction of the propagation.

Figure 16.1 A pulse traveling

down a stretched rope. The shape

of the pulse is approximately un-

changed as it travels along the rope.

Figure 16.2 A transverse pulse

traveling on a stretched rope. The

direction of motion of any element

P of the rope (blue arrows) is per-

pendicular to the direction of

propagation (red arrows).

Figure 16.3 A longitudinal pulse along a stretched spring. The displacement of the

coils is parallel to the direction of the propagation. 

P

P

P

P

A traveling wave or pulse that causes the elements of the disturbed medium to move
perpendicular to the direction of propagation is called a 

transverse wave.

A traveling wave or pulse that causes the elements of the medium to move parallel
to the direction of propagation is called a 

longitudinal wave.

Compare  this  with  another  type  of  pulse—one  moving  down  a  long,  stretched

spring, as shown in Figure 16.3. The left end of the spring is pushed briefly to the right
and then pulled briefly to the left. This movement creates a sudden compression of a
region of the coils. The compressed region travels along the spring (to the right in Fig-
ure 16.3). The compressed region is followed by a region where the coils are extended.
Notice that the direction of the displacement of the coils is parallel to the direction of
propagation of the compressed region.

Compressed

Compressed

Stretched

Stretched

1

In  reality,  the  pulse  changes  shape  and  gradually  spreads  out  during  the  motion.  This  effect  is

called dispersion and is common to many mechanical waves as well as to electromagnetic waves. We do
not consider dispersion in this chapter.

Sound waves, which we shall discuss in Chapter 17, are another example of longitu-

dinal  waves.  The  disturbance  in  a  sound  wave  is  a  series  of  high-pressure  and  low-
pressure regions that travel through air.

Some  waves  in  nature  exhibit  a  combination  of  transverse  and  longitudinal  dis-

placements. Surface water waves are a good example. When a water wave travels on the
surface of deep water, elements of water at the surface move in nearly circular paths, as
shown in Figure 16.4. Note that the disturbance has both transverse and longitudinal