Physics For Scientists And Engineers 6E - part 121

Problems

481

A large block P executes horizontal simple harmonic

motion  as  it  slides  across  a  frictionless  surface  with  a  fre-
quency f ! 1.50 Hz. Block B rests on it, as shown in Figure
P15.53,  and  the  coefficient  of  static  friction  between  the
two is 5

s

!

0.600. What maximum amplitude of oscillation

can the system have if block B is not to slip?

53.

56.

A  solid  sphere  (radius ! R)  rolls  without  slipping  in  a
cylindrical  trough  (radius ! 5R)  as  shown  in  Figure
P15.56.  Show  that,  for  small  displacements  from  equilib-
rium  perpendicular  to  the  length  of  the  trough,  the
sphere  executes  simple  harmonic  motion  with  a  period

.

T ! 2)

 

√

28R/5g

57.

A  light,  cubical  container  of  volume  a

3

is  initially  filled

with  a  liquid  of  mass  density  6.  The  cube  is  initially  sup-
ported  by  a  light  string  to  form  a  simple  pendulum  of
length L

i

, measured from the center of mass of the filled

container,  where  L

i

##

a.  The  liquid  is  allowed  to  flow

from  the  bottom  of  the  container  at  a  constant  rate
(dM/dt).  At  any  time  t,  the  level  of  the  fluid  in  the  con-
tainer is h and the length of the pendulum is L (measured
relative  to  the  instantaneous  center  of  mass).  (a)  Sketch
the  apparatus  and  label  the  dimensions  a,  h,  L

i

,  and  L. 

(b) Find the time rate of change of the period as a func-
tion of time t. (c) Find the period as a function of time.

58. After a thrilling plunge, bungee-jumpers bounce freely on

the bungee cord through many cycles (Fig. P15.22). After
the first few cycles, the cord does not go slack. Your little
brother  can  make  a  pest  of  himself  by  figuring  out  the
mass of each person, using a proportion which you set up
by solving this problem: An object of mass m is oscillating
freely on a vertical spring with a period T. An object of un-
known mass m7 on the same spring oscillates with a period
T7.  Determine  (a)  the  spring  constant  and  (b)  the  un-
known mass. 
A pendulum of length L and mass M has a spring of force
constant k connected to it at a distance h below its point of
suspension  (Fig.  P15.59).  Find  the  frequency  of  vibration

59.

A

m

1

m

2

v

v

m

1

m

2

m

1

m

2

m

1

(a)

(b)

(c)

(d)

k

k

k

k

D

Figure P15.52

B

P

µ

s

µ

Figure P15.53 Problems 53 and 54.

5R

R

Figure P15.56

54.

A large block P executes horizontal simple harmonic mo-
tion  as  it  slides  across  a  frictionless  surface  with  a  fre-
quency  f.  Block  B rests  on  it,  as  shown  in  Figure  P15.53,
and the coefficient of static friction between the two is 5

s

.

What  maximum  amplitude  of  oscillation  can  the  system
have if the upper block is not to slip?

55. The mass of the deuterium molecule (D

2

) is twice that of

the hydrogen molecule (H

2

). If the vibrational frequency

of  H

2 

is  1.30 , 10

14

Hz,  what  is  the  vibrational  frequency

of  D

2

?  Assume  that  the  “spring  constant”  of  attracting

forces is the same for the two molecules.

h

θ

L

k

M

Figure P15.59

482

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

of the system for small values of the amplitude (small .).
Assume the vertical suspension of length L is rigid, but ig-
nore its mass.

60.

A  particle  with  a  mass  of  0.500 kg  is  attached  to  a  spring
with  a  force  constant  of  50.0 N/m.  At  time  t ! 0  the
particle has its maximum speed of 20.0 m/s and is moving
to  the  left.  (a)  Determine  the  particle’s  equation  of 
motion,  specifying  its  position  as  a  function  of  time. 
(b)  Where  in  the  motion  is  the  potential  energy  three
times  the  kinetic  energy?  (c)  Find  the  length  of  a  simple
pendulum  with  the  same  period.  (d)  Find  the  minimum
time interval required for the particle to move from x ! 0
to x ! 1.00 m.

61.

A horizontal plank of mass m and length L is pivoted at one
end. The plank’s other end is supported by a spring of force
constant k (Fig P15.61). The moment of inertia of the plank
about the pivot is  mL

2

. The plank is displaced by a small an-

gle . from its horizontal equilibrium position and released.
(a) Show that it moves with simple harmonic motion with an
angular frequency 

. (b) Evaluate the frequency if

the  mass  is  5.00 kg  and  the  spring  has  a  force  constant  of
100 N/m.

' !

√

3k/m

1

3

 

62.

Review problem. A particle of mass 4.00 kg is attached to
a spring with a force constant of 100 N/m. It is oscillating
on  a  horizontal  frictionless  surface  with  an  amplitude  of
2.00 m. A 6.00-kg object is dropped vertically on top of the
4.00-kg  object  as  it  passes  through  its  equilibrium  point.
The two objects stick together. (a) By how much does the
amplitude of the vibrating system change as a result of the
collision?  (b)  By  how  much  does  the  period  change?
(c) By how much does the energy change? (d) Account for
the change in energy.
A simple pendulum with a length of 2.23 m and a mass of
6.74 kg is given an initial speed of 2.06 m/s at its equilib-
rium  position.  Assume  it  undergoes  simple  harmonic
motion, and determine its (a) period, (b) total energy, and
(c) maximum angular displacement.

64.

Review problem. One end of a light spring with force con-
stant 100 N/m is attached to a vertical wall. A light string is
tied to the other end of the horizontal spring. The string
changes from horizontal to vertical as it passes over a solid
pulley of diameter 4.00 cm. The pulley is free to turn on a
fixed  smooth  axle.  The  vertical  section  of  the  string  sup-
ports a 200-g object. The string does not slip at its contact
with  the  pulley.  Find  the  frequency  of  oscillation  of  the
object if the mass of the pulley is (a) negligible, (b) 250 g,
and (c) 750 g.

63.

65.

People who ride motorcycles and bicycles learn to look out
for  bumps  in  the  road,  and  especially  for  washboarding,  a
condition  in  which  many  equally  spaced  ridges  are  worn
into the road. What is so bad about washboarding? A mo-
torcycle has several springs and shock absorbers in its sus-
pension, but you can model it as a single spring supporting
a  block.  You  can  estimate  the  force  constant  by  thinking
about how far the spring compresses when a big biker sits
down  on  the  seat.  A  motorcyclist  traveling  at  highway
speed  must  be  particularly  careful  of  washboard  bumps
that are a certain distance apart. What is the order of mag-
nitude  of  their  separation  distance?  State  the  quantities
you  take  as  data  and  the  values  you  measure  or  estimate
for them.

66.

A  block  of  mass  M is  connected  to  a  spring  of  mass  m
and oscillates in simple harmonic motion on a horizon-
tal, frictionless track (Fig. P15.66). The force constant of
the  spring  is  k and  the  equilibrium  length  is  !.  Assume
that all portions of the spring oscillate in phase and that
the  velocity  of  a  segment  dx is  proportional  to  the  dis-
tance  x  from  the  fixed  end;  that  is,  v

x

!

(x/!)v. Also,

note  that  the  mass  of  a  segment  of  the  spring
is dm ! (m/!)dx. Find  (a)  the  kinetic  energy  of  the
system when the block has a speed v and (b) the period
of oscillation.

Pivot

θ

k

Figure P15.61

x

dx

M

v

Figure P15.66

A ball of mass m is connected to two rubber bands of

length L, each under tension T, as in Figure P15.67. The
ball is displaced by a small distance y perpendicular to the
length  of  the  rubber  bands. Assuming  that  the  tension
does  not  change,  show  that  (a)  the  restoring  force
is " (2T/L)y and (b) the system exhibits simple harmonic 
motion with an angular frequency 

.

' !

√

2T/mL

67.

y

L

L

Figure P15.67

68.

When a block of mass M, connected to the end of a

spring of mass m

s

!

7.40 g and force constant k, is set into

simple harmonic motion, the period of its motion is 

A  two-part  experiment  is  conducted  with  the  use  of
blocks  of  various  masses  suspended  vertically  from  the

- !

2)

 

√

M % (m

s

/3)

k

m

(a)

k

1

k

2

(b)

k

1

k

2

m

Figure P15.71

Problems

483

spring,  as  shown  in  Figure  P15.68.  (a)  Static  extensions
of 17.0, 29.3, 35.3, 41.3, 47.1, and 49.3 cm are measured
for M values of 20.0, 40.0, 50.0, 60.0, 70.0, and 80.0 g, re-
spectively.  Construct  a  graph  of  Mg versus  x,  and  per-
form a linear least-squares fit to the data. From the slope
of  your  graph,  determine  a  value  for  k for  this  spring.
(b) The system is now set into simple harmonic motion,
and  periods  are  measured  with  a  stopwatch.  With
M ! 80.0 g, the total time for 10 oscillations is measured
to be 13.41 s. The experiment is repeated with M values
of 70.0, 60.0, 50.0, 40.0, and 20.0 g, with corresponding
times for 10 oscillations of 12.52, 11.67, 10.67, 9.62, and
7.03 s. Compute the experimental value for T from each
of these measurements. Plot a graph of T

2

versus M, and

determine a value for k from the slope of the linear least-
squares  fit  through  the  data  points.  Compare  this  value
of k with that obtained in part (a). (c) Obtain a value for
m

s

from your graph and compare it with the given value

of 7.40 g.

A smaller disk of radius r and mass m is attached rigidly to
the face of a second larger disk of radius R and mass M as
shown  in  Figure  P15.69.  The  center  of  the  small  disk  is
located  at  the  edge  of  the  large  disk.  The  large  disk  is
mounted at its center on a frictionless axle. The assembly is
rotated through a small angle . from its equilibrium position
and released. (a) Show that the speed of the center of the
small disk as it passes through the equilibrium position is

(b) Show that the period of the motion is

T ! 2) 

%

(M % 2m)R

 

2

%

mr

 

2

2mgR

&

1/2

v ! 2 

%

Rg(1 " cos

 

.

)

(M/m) % (r/R)

2

%

2

&

1/2

69.

70.

Consider  a  damped  oscillator  as  illustrated  in  Figures
15.21  and  15.22.  Assume  the  mass  is  375 g,  the  spring
constant  is  100 N/m,  and  b ! 0.100 N 4 s/m.  (a)  How
long  does  it  takes  for  the  amplitude  to  drop  to  half  its
initial value? (b) 

What If? How long does it take for the

mechanical  energy  to  drop  to  half  its  initial  value? 
(c) Show that, in general, the fractional rate at which the
amplitude decreases in a damped harmonic oscillator is
half  the  fractional  rate  at  which  the  mechanical  energy
decreases.

71.

A block of mass m is connected to two springs of force con-
stants k

1

and k

2

as shown in Figures P15.71a and P15.71b.

In each case, the block moves on a frictionless table after it
is  displaced  from  equilibrium  and  released.  Show  that  in
the  two  cases  the  block  exhibits  simple  harmonic  motion
with periods

(b)

            T ! 2) 

√

m

k

1

%

k

2

(a)

            T ! 2) 

√

m(k

1

%

k

2

)

k

1

k

2

72.

A lobsterman’s buoy is a solid wooden cylinder of radius r
and mass M. It is weighted at one end so that it floats up-
right in calm sea water, having density 6. A passing shark
tugs on the slack rope mooring the buoy to a lobster trap,
pulling  the  buoy  down  a  distance  x from  its  equilibrium
position and releasing it. Show that the buoy will execute
simple  harmonic  motion  if  the  resistive  effects  of  the
water  are  neglected,  and  determine  the  period  of  the
oscillations.

73.

Consider a bob on a light stiff rod, forming a simple

pendulum  of  length  L ! 1.20 m.  It  is  displaced  from  the
vertical  by  an  angle  .

max

and  then  released.  Predict  the

subsequent angular positions if .

max

is small or if it is large.

Proceed  as  follows:  Set  up  and  carry  out  a  numerical
method to integrate the equation of motion for the simple
pendulum:

d

 

2

.

dt

2

! "

g

L

 sin .

R

M

θ

θ

m

v

Figure P15.69

m

Figure P15.68

Take the initial conditions to be . ! .

max

and d./dt ! 0 at

t ! 0.  On  one  trial  choose  .

max

!

5.00°,  and  on  another

trial take .

max

!

100°. In each case find the position . as a

function of time. Using the same values of .

max

, compare

your  results  for  . with  those  obtained  from  .(t) !
.

max

cos 't.  How  does  the  period  for  the  large  value  of

.

max

compare  with  that  for  the  small  value  of  .

max

?  Note:

Using the Euler method to solve this differential equation,
you  may  find  that  the  amplitude  tends  to  increase  with
time.  The  fourth-order  Runge–Kutta  method  would  be  a
better choice to solve the differential equation. However, if
you  choose  +t small  enough,  the  solution  using  Euler’s
method can still be good.

74.

Your thumb squeaks on a plate you have just washed. Your
sneakers  often  squeak  on  the  gym  floor.  Car  tires  squeal
when  you  start  or  stop  abruptly.  You  can  make  a  goblet
sing  by  wiping  your  moistened  finger  around  its  rim.  As
you slide it across the table, a Styrofoam cup may not make
much sound, but it makes the surface of some water inside
it dance in a complicated resonance vibration. When chalk
squeaks on a blackboard, you can see that it makes a row
of  regularly  spaced  dashes.  As  these  examples  suggest,  vi-
bration commonly results when friction acts on a moving
elastic object. The oscillation is not simple harmonic mo-
tion, but is called stick-and-slip. This problem models stick-
and-slip motion. 

A  block  of  mass  m is  attached  to  a  fixed  support  by  a

horizontal spring with force constant k and negligible mass
(Fig.  P15.74).  Hooke’s  law  describes  the  spring  both  in
extension  and  in  compression.  The  block  sits  on  a  long
horizontal  board,  with  which  it  has  coefficient  of  static
friction  5

s

and  a  smaller  coefficient  of  kinetic  friction  5

k

.

The board moves to the right at constant speed v. Assume
that the block spends most of its time sticking to the board
and moving to the right, so that the speed v is small in com-
parison to the average speed the block has as it slips back
toward  the  left.  (a)  Show  that  the  maximum  extension  of
the spring from its unstressed position is very nearly given
by  5

s

mg/k.  (b)  Show  that  the  block  oscillates  around  an

equilibrium  position  at  which  the  spring  is  stretched  by
5

k

mg/k.  (c)  Graph  the  block’s  position  versus  time.

(d) Show that the amplitude of the block’s motion is 

(e) Show that the period of the block’s motion is 

(f )  Evaluate  the  frequency  of  the  motion  if  5

s

!

0.400,

5

k

!

0.250,  m ! 0.300 kg,  k ! 12.0 N/m,  and  v !

2.40 cm/s. (g) 

What If? What happens to the frequency if

the  mass  increases?  (h)  If  the  spring  constant  increases? 
(i) If the speed of the board increases? ( j) If the coefficient
of  static  friction  increases  relative  to  the  coefficient  of  ki-
netic friction? Note that it is the excess of static over kinetic
friction  that  is  important  for  the  vibration.  “The  squeaky
wheel gets the grease” because even a viscous fluid cannot
exert a force of static friction.

T !

2(5

s

"

5

k

)mg

vk

%

)

 

√

m

k

A !

(5

s

"

5

k

)mg

k

75.

Review  problem. Imagine  that  a  hole  is  drilled  through
the center of the Earth to the other side. An object of mass
m at a distance r from the center of the Earth is pulled to-
ward  the  center  of  the  Earth  only  by  the  mass  within  the
sphere  of  radius  r  (the  reddish  region  in  Fig.  P15.75). 
(a) Write Newton’s law of gravitation for an object at the
distance r from the center of the Earth, and show that the
force on it is of Hooke’s law form, F ! " kr, where the ef-
fective  force  constant  is  k ! (4/3))6Gm. Here  6 is  the
density  of  the  Earth,  assumed  uniform,  and  G  is  the
gravitational  constant.  (b)  Show  that  a  sack  of  mail
dropped  into  the  hole  will  execute  simple  harmonic  mo-
tion if it moves without friction. When will it arrive at the
other side of the Earth? 

484

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

Figure P15.74

Earth

m

r

Figure P15.75

Answers to Quick Quizzes

15.1 (d).  From  its  maximum  positive  position  to  the  equilib-

rium position, the block travels a distance A. It then goes
an  equal  distance  past  the  equilibrium  position  to  its
maximum  negative  position.  It  then  repeats  these  two
motions in the reverse direction to return to its original
position and complete one cycle.

15.2 (f).  The  object  is  in  the  region  x $ 0,  so  the  position  is

negative.  Because  the  object  is  moving  back  toward  the
origin in this region, the velocity is positive.