Physics For Scientists And Engineers 6E - part 119

driving force is variable while the natural frequency '

0

of the oscillator is fixed by the

values of k and m. Newton’s second law in this situation gives

(15.34)

Again, the solution of this equation is rather lengthy and will not be presented. After the
driving force on an initially stationary object begins to act, the amplitude of the oscilla-
tion will increase. After a sufficiently long period of time, when the energy input per cy-
cle from the driving force equals the amount of mechanical energy transformed to inter-
nal  energy  for  each  cycle,  a  steady-state  condition  is  reached  in  which  the  oscillations
proceed with constant amplitude. In this situation, Equation 15.34 has the solution

(15.35)

where

(15.36)

and where 

is the natural frequency of the undamped oscillator (b ! 0).

Equations 15.35 and 15.36 show that the forced oscillator vibrates at the frequency

of  the  driving  force  and  that  the  amplitude  of  the  oscillator  is  constant  for  a  given 
driving force because it is being driven in steady-state by an external force. For small
damping, the amplitude is large when the frequency of the driving force is near the
natural frequency of oscillation, or when '

$ '

0

. The dramatic increase in amplitude

near the natural frequency is called 

resonance, and the natural frequency '

0

is also

called the 

resonance frequency of the system.

The reason for large-amplitude oscillations at the resonance frequency is that en-

ergy  is  being  transferred  to  the  system  under  the  most  favorable  conditions.  We  can
better understand this by taking the first time derivative of x in Equation 15.35, which
gives an expression for the velocity of the oscillator. We find that v is proportional to
sin('

t % (),  which  is  the  same  trigonometric  function  as  that  describing  the  driving

force. Thus, the applied force 

F is in phase with the velocity. The rate at which work is

done on the oscillator by 

F equals the dot product F # v ; this rate is the power delivered

to the oscillator. Because the product 

F # v is a maximum when F and v are in phase,

we conclude that 

at resonance the applied force is in phase with the velocity and

the power transferred to the oscillator is a maximum.

Figure 15.25 is a graph of amplitude as a function of frequency for a forced oscillator

with and without damping. Note that the amplitude increases with decreasing damping
(b : 0) and that the resonance curve broadens as the damping increases. Under steady-
state  conditions  and  at  any  driving  frequency,  the  energy  transferred  into  the  system
equals the energy lost because of the damping force; hence, the average total energy of
the oscillator remains constant. In the absence of a damping force (b ! 0), we see from
Equation 15.36 that the steady-state amplitude approaches infinity as ' approaches '

0

.

In other words, if there are no losses in the system and if we continue to drive an initially
motionless oscillator with a periodic force that is in phase with the velocity, the amplitude
of motion builds without limit (see the brown curve in Fig. 15.25). This limitless building
does not occur in practice because some damping is always present in reality.

Later in this book we shall see that resonance appears in other areas of physics. For ex-

ample, certain electric circuits have natural frequencies. A bridge has natural frequencies
that  can  be  set  into  resonance  by  an  appropriate  driving  force.  A  dramatic  example  of
such resonance occurred in 1940, when the Tacoma Narrows Bridge in the state of Wash-
ington  was  destroyed  by  resonant  vibrations.  Although  the  winds  were  not  particularly
strong on that occasion, the “flapping” of the wind across the roadway (think of the “flap-
ping”  of  a  flag  in  a  strong  wind)  provided  a  periodic  driving  force  whose  frequency
matched that of the bridge. The resulting oscillations of the bridge caused it to ultimately
collapse (Fig. 15.26) because the bridge design had inadequate built-in safety features.

'

0

!

√

k/m

A !

F

0

/m

√

('

2

"

'

0

 

2

)

2

%

"

b'

m

#

2

x ! A cos('t % ()

!

 F ! ma

  9:   F

0

 sin 't " b

 

 

dx

dt

"

kx ! m 

 

d

2

x

dt

2

S E C T I O N   15 . 7     •     Forced Oscillations

473

Amplitude of a driven oscillator

A

b = 0

Undamped

Small b

Large b

ω

0

0

ω

ω

Figure 15.25 Graph of amplitude

versus frequency for a damped

oscillator when a periodic driving

force is present. When the

frequency 

'

of the driving force

equals the natural frequency 

'

0

of

the oscillator, resonance occurs.

Note that the shape of the

resonance curve depends on the

size of the damping coefficient b. 

Many other examples of resonant vibrations can be cited. A resonant vibration that

you may have experienced is the “singing” of telephone wires in the wind. Machines of-
ten  break  if  one  vibrating  part  is  in  resonance  with  some  other  moving  part.  Soldiers
marching in cadence across a bridge have been known to set up resonant vibrations in
the  structure  and  thereby  cause  it  to  collapse.  Whenever  any  real  physical  system  is 
driven near its resonance frequency, you can expect oscillations of very large amplitudes.

474

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

(a)

(b)

Figure 15.26 (a) In 1940 turbulent winds set up torsional vibrations in the Tacoma

Narrows Bridge, causing it to oscillate at a frequency near one of the natural

frequencies of the bridge structure. (b) Once established, this resonance condition led

to the bridge’s collapse.

UPI / Bettmann Newsphotos

When the acceleration of an object is proportional to its position and is in the direc-
tion  opposite  the  displacement  from  equilibrium,  the  object  moves  with  simple  har-
monic  motion.  The  position  x of  a  simple  harmonic  oscillator  varies  periodically  in
time according to the expression

(15.6)

where  A is  the 

amplitude of  the  motion,  ' is  the angular  frequency, and ( is  the

phase constant. The value of ( depends on the initial position and initial velocity of
the oscillator.

The time interval T needed for one complete oscillation is defined as the 

period of

the motion:

(15.10)

A block–spring system moves in simple harmonic motion on a frictionless surface with
a period

(15.13)

The inverse of the period is the 

frequency of the motion, which equals the number of

oscillations per second.

The velocity and acceleration of a simple harmonic oscillator are

(15.15)

(15.16)

(15.22)

Thus, the maximum speed is 'A, and the maximum acceleration is '

2

A. The speed is

zero when the oscillator is at its turning points x ! &A and is a maximum when the

v ! &'

√

A

2

"

x

  

 

 

2

a !

d

 

2

x

dt

 

2

! "

'

 

2

A cos('t % ()

v !

dx

dt

! "

'

A sin('t % ()

T !

2)

'

!

2) 

√

m

k

T !

2)

'

x(t) ! A cos('t % ()

S U M M A R Y

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Questions

475

oscillator is at the equilibrium position x ! 0. The magnitude of the acceleration is a
maximum at the turning points and zero at the equilibrium position.

The kinetic energy and potential energy for a simple harmonic oscillator vary with

time and are given by

(15.19)

(15.20)

The total energy of a simple harmonic oscillator is a constant of the motion and is

given by

(15.21)

The potential energy of the oscillator is a maximum when the oscillator is at its turning
points and is zero when the oscillator is at the equilibrium position. The kinetic energy
is zero at the turning points and a maximum at the equilibrium position.

A 

simple pendulum of length L moves in simple harmonic motion for small angu-

lar displacements from the vertical. Its period is

(15.26)

For small angular displacements from the vertical, a 

physical pendulum moves in

simple harmonic motion about a pivot that does not go through the center of mass.
The period of this motion is

(15.28)

where I is the moment of inertia about an axis through the pivot and d is the distance
from the pivot to the center of mass.

If an oscillator experiences a damping force 

R ! "b v, its position for small damp-

ing is described by

(15.32)

where

(15.33)

If  an  oscillator  is  subject  to  a  sinusoidal  driving  force  F(t) ! F

0

sin 't,  it  exhibits

resonance, in which the amplitude is largest when the driving frequency matches the
natural frequency of the oscillator.

' !

√

k

m

"

"

b

2m

#

2

x ! Ae

" b

2m

t

 cos('t % ()

T ! 2) 

 

√

I

mgd

T ! 2)

 

 

√

L
g

E !

1

2

kA

2

U !

1

2

 

kx

 

 

2

!

1

2

 

kA

 

2

 cos

2

('t % ()

K !

1

2

 

mv

 

 

2

!

1

2

 

m'

 

2

A

2

 

 

sin

2

 

('t % ()

1. Is a bouncing ball an example of simple harmonic motion?

Is  the  daily  movement  of  a  student  from  home  to  school
and back simple harmonic motion? Why or why not?

If  the  coordinate  of  a  particle  varies  as x ! " A cos 't,
what is the phase constant in Equation 15.6? At what posi-
tion is the particle at t ! 0?

3. Does  the  displacement  of  an  oscillating  particle  between

t ! 0  and  a  later  time  t necessarily  equal  the  position  of
the particle at time t ? Explain.

Determine whether or not the following quantities can be
in  the  same  direction  for  a  simple  harmonic  oscillator: 
(a)  position  and  velocity,  (b)  velocity  and  acceleration, 
(c) position and acceleration.

4.

2.

5. Can the amplitude A and phase constant ( be determined

for  an  oscillator  if  only  the  position  is  specified  at  t ! 0?
Explain.

6. Describe qualitatively the motion of a block–spring system

when the mass of the spring is not neglected. 

7. A block is hung on a spring, and the frequency f of the os-

cillation  of  the  system  is  measured.  The  block,  a  second
identical  block,  and  the  spring  are  carried  in  the  Space
Shuttle to space. The two blocks are attached to the ends
of the spring, and the system is taken out into space on a
space  walk.  The  spring  is  extended,  and  the  system  is  re-
leased to oscillate while floating in space. What is the fre-
quency of oscillation for this system, in terms of f ?

Q U E S T I O N S

Section 15.1 Motion of an Object Attached 

to a Spring

1.

A ball dropped from a height of 4.00 m makes a perfectly
elastic collision with the ground. Assuming no mechanical
energy is lost due to air resistance, (a) show that the ensu-
ing  motion  is  periodic  and  (b)  determine  the  period  of
the  motion.  (c)  Is  the  motion  simple  harmonic?  Explain.

476

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

Section 15.2 Mathematical Representation 

of Simple Harmonic Motion

2. In an engine, a piston oscillates with simple harmonic mo-

tion so that its position varies according to the expression 

where  x is  in  centimeters  and  t is  in  seconds.  At t ! 0, 
find  (a)  the  position  of  the  piston,  (b)  its  velocity,  and
(c) its acceleration. (d) Find the period and amplitude of
the motion.

The  position  of  a  particle  is  given  by  the  expression
x ! (4.00 m)cos(3.00 )t % )), where x is in meters and t is
in seconds. Determine (a) the frequency and period of the
motion,  (b)  the  amplitude  of  the  motion,  (c)  the  phase
constant, and (d) the position of the particle at t ! 0.250 s. 

3.

x ! (5.00 cm)cos(2t % )/6)

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

Note: Neglect the mass of every spring, except in problems
66 and 68.

Problems 15, 16, 19, 23, 56, and 62 in Chapter 7 can also
be assigned with this section.

8. A block–spring system undergoes simple harmonic motion

with amplitude A. Does the total energy change if the mass
is  doubled  but  the  amplitude  is  not  changed?  Do  the  ki-
netic and potential energies depend on the mass? Explain.

9. The equations listed in Table 2.2 give position as a function

of time, velocity as a function of time, and velocity as func-
tion of position for an object moving in a straight line with
constant  acceleration.  The  quantity  v

xi

appears  in  every

equation. Do any of these equations apply to an object mov-
ing in a straight line with simple harmonic motion? Using a
similar format, make a table of equations describing simple
harmonic motion. Include equations giving acceleration as a
function of time and acceleration as a function of position.
State the equations in such a form that they apply equally to
a block–spring system, to a pendulum, and to other vibrating
systems. What quantity appears in every equation?

10. What happens to the period of a simple pendulum if the

pendulum’s  length  is  doubled?  What  happens  to  the  pe-
riod if the mass of the suspended bob is doubled?

11. A  simple  pendulum  is  suspended  from  the  ceiling  of  a

stationary  elevator,  and  the  period  is  determined.  Des-
cribe the changes, if any, in the period when the elevator
(a)  accelerates  upward,  (b)  accelerates  downward,  and 
(c) moves with constant velocity.

12. Imagine that a pendulum is hanging from the ceiling of a

car. As the car coasts freely down a hill, is the equilibrium
position of the pendulum vertical? Does the period of os-
cillation differ from that in a stationary car?

13. A  simple  pendulum  undergoes  simple  harmonic  motion

when  . is  small.  Is  the  motion  periodic  when  . is  large?
How does the period of motion change as . increases?

14. If a grandfather clock were running slow, how could we ad-

just the length of the pendulum to correct the time?

15. Will  damped  oscillations  occur  for  any  values  of  b and  k?

Explain.

Is it possible to have damped oscillations when a system is
at resonance? Explain.

17. At  resonance,  what  does  the  phase  constant  ( equal  in

Equation  15.35?  (Suggestion:  Compare  this  equation  with
the  expression  for  the  driving  force,  which  must  be  in
phase with the velocity at resonance.)

18. You stand on the end of a diving board and bounce to set

it into oscillation. You find a maximum response, in terms
of  the  amplitude  of  oscillation  of  the  end  of  the  board,
when  you  bounce  at  frequency  f.  You  now  move  to  the
middle of the board and repeat the experiment. Is the res-
onance  frequency  for  forced  oscillations  at  this  point
higher, lower, or the same as f ? Why?

19. Some parachutes have holes in them to allow air to move

smoothly  through  the  chute.  Without  the  holes,  the  air
gathered  under  the  chute  as  the  parachutist  falls  is
sometimes  released  from  under  the  edges  of  the  chute
alternately and periodically from one side and then the
other.  Why  might  this  periodic  release  of  air  cause  a
problem?

20. You  are  looking  at  a  small  tree.  You  do  not  notice  any

breeze, and most of the leaves on the tree are motionless.
However, one leaf is fluttering back and forth wildly. After
you wait for a while, that leaf stops moving and you notice
a  different  leaf  moving  much  more  than  all  the  others.
Explain what could cause the large motion of one particu-
lar leaf.

21. A  pendulum  bob  is  made  with  a  sphere  filled  with  water.

What  would  happen  to  the  frequency  of  vibration  of  this
pendulum if there were a hole in the sphere that allowed
the water to leak out slowly?

16.