Physics For Scientists And Engineers 6E - part 118

S E C T I O N   15 . 5     •     The Pendulum

469

Physical Pendulum

Suppose  you  balance  a  wire  coat  hanger  so  that  the  hook  is  supported  by  your  ex-
tended  index  finger.  When  you  give  the  hanger  a  small  angular  displacement  (with
your other hand) and then release it, it oscillates. If a hanging object oscillates about a
fixed axis that does not pass through its center of mass and the object cannot be ap-
proximated as a point mass, we cannot treat the system as a simple pendulum. In this
case the system is called a 

physical pendulum.

Consider a rigid object pivoted at a point O that is a distance d from the center of

mass (Fig. 15.18). The gravitational force provides a torque about an axis through O,
and  the  magnitude  of  that  torque  is  mgd sin .,  where  . is  as  shown  in  Figure  15.18.
Using the rotational form of Newton’s second law, /0 ! I1, where I is the moment of
inertia about the axis through O, we obtain

The negative sign indicates that the torque about O tends to decrease .. That is, the
gravitational force produces a restoring torque. If we again assume that . is small, the
approximation sin .

$ . is valid, and the equation of motion reduces to

(15.27)

Because this equation is of the same form as Equation 15.3, the motion is simple har-
monic motion. That is, the solution of Equation 15.27 is . ! .

max

cos('t % (), where

.

max

is the maximum angular position and

' !

√

mgd

I

d

 

2

 

.

dt

2

! "

"

mgd

I

#

 . ! "'

2

 

.

"

mgd

  

sin

 

. ! 2 

 

d

 

2

 

.

dt

 

2

Quick Quiz 15.7

A grandfather clock depends on the period of a pendulum

to  keep  correct  time.  Suppose  a  grandfather  clock  is  calibrated  correctly  and  then  a
mischievous  child  slides  the  bob  of  the  pendulum  downward  on  the  oscillating  rod.
Does the grandfather clock run (a) slow (b) fast (c) correctly?

Quick Quiz 15.8

Suppose a grandfather clock is calibrated correctly at sea

level and is then taken to the top of a very tall mountain. Does the grandfather clock
run (a) slow (b) fast (c) correctly?

Example 15.6 A Connection Between Length and Time

Christian Huygens (1629–1695), the greatest clockmaker in
history, suggested that an international unit of length could
be defined as the length of a simple pendulum having a pe-
riod of exactly 1 s. How much shorter would our length unit
be had his suggestion been followed?

Solution Solving Equation 15.26 for the length gives

Thus,  the  meter’s  length  would  be  slightly  less  than  one
fourth of its current length. Note that the number of signifi-
cant  digits  depends  only  on  how  precisely  we  know  g
because the time has been defined to be exactly 1 s. 

0.248 m

L !

T

2

g

4)

2

!

(1.00 s)

2

(9.80 m/s

2

)

4)

2

!

What  If?

What  if  Huygens  had  been  born  on  another

planet? What would the value for g have to be on that planet
such  that  the  meter  based  on  Huygens’s  pendulum  would
have the same value as our meter?

Answer We solve Equation 15.26 for g :

No  planet  in  our  solar  system  has  an  acceleration  due  to
gravity that is this large.

g !

4)

2

L

T

2

!

4)

2

(1.00 m)

(1.00 s)

2

!

4)

2

 m/s

2

!

39.5 m/s

2

Pivot

O

θ

θ

d

d sin

CM

m

 

g

Figure  15.18 A  physical  pendu-

lum pivoted at O.

470

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

The period is

(15.28)

One can use this result to measure the moment of inertia of a flat rigid object. If

the location of the center of mass—and hence the value of d—is known, the moment
of inertia can be obtained by measuring the period. Finally, note that Equation 15.28
reduces to the period of a simple pendulum (Eq. 15.26) when I ! md

2

—that is, when

all the mass is concentrated at the center of mass.

T !

2)

'

 

!

2) 

 

√

I

mgd

Torsional Pendulum

Figure  15.20  shows  a  rigid  object  suspended  by  a  wire  attached  at  the  top  to  a  fixed
support. When the object is twisted through some angle ., the twisted wire exerts on
the object a restoring torque that is proportional to the angular position. That is,

where 3 (kappa) is called the torsion constant of the support wire. The value of 3 can be
obtained by applying a known torque to twist the wire through a measurable angle ..
Applying Newton’s second law for rotational motion, we find

(15.29)

Again, this is the equation of motion for a simple harmonic oscillator, with 
and a period

(15.30)

This system is called a torsional pendulum. There is no small-angle restriction in this

situation as long as the elastic limit of the wire is not exceeded.

T ! 2) 

 

√

I

3

' !

√

3

/I

d

 

2

 

.

dt

 

2

! "

3

I

 .

 0 ! "3. ! I 

 

d

 

2

 

.

dt

 

2

0 ! "3.

Period of a physical pendulum

Period of a torsional pendulum

Example 15.7 A Swinging Rod

A  uniform  rod  of  mass  M and  length  L is  pivoted  about
one end and oscillates in a vertical plane (Fig. 15.19). Find
the period of oscillation if the amplitude of the motion is
small.

Solution In  Chapter  10  we  found  that  the  moment  of
inertia of a uniform rod about an axis through one end is

ML

2

. The distance d from the pivot to the center of mass

is  L/2.  Substituting  these  quantities  into  Equation  15.28
gives

Comment In one of the Moon landings, an astronaut walk-
ing  on  the  Moon’s  surface  had  a  belt  hanging  from  his
space suit, and the belt oscillated as a physical pendulum. A
scientist  on  the  Earth  observed  this  motion  on  television

2) 

 

√

2L
3g

T ! 2) 

 

√

1

3

 

ML

2

Mg(L/2)

!

1

3

and  used  it  to  estimate  the  free-fall  acceleration  on  the
Moon. How did the scientist make this calculation?

Figure 15.19 A rigid rod oscillating about a pivot through

one end is a physical pendulum with d ! L/2 and, from

Table 10.2, 

. 

I !

1

3

 

ML

2

Pivot

O

L

CM

Mg

O

P

max

θ

Figure 15.20 A torsional pendulum

consists of a rigid object suspended

by a wire attached to a rigid support.

The object oscillates about the line

OP with an amplitude 

.

max

. 

S E C T I O N   15 . 6     •     Damped Oscillations

471

15.6 Damped Oscillations

The oscillatory motions we have considered so far have been for ideal systems—that is,
systems that oscillate indefinitely under the action of only one force—a linear restoring
force. In many real systems, nonconservative forces, such as friction, retard the motion.
Consequently, the mechanical energy of the system diminishes in time, and the motion
is  said  to  be  damped.  Figure  15.21  depicts  one  such  system:  an  object  attached  to  a
spring and submersed in a viscous liquid.

One common type of retarding force is the one discussed in Section 6.4, where the

force is proportional to the speed of the moving object and acts in the direction oppo-
site the motion. This retarding force is often observed when an object moves through
air, for instance. Because the retarding force can be expressed as 

R ! " b v (where b is

a constant called the damping coefficient) and the restoring force of the system is " kx,
we can write Newton’s second law as

(15.31)

The solution of this equation requires mathematics that may not be familiar to you;
we simply state it here without proof. When the retarding force is small compared
with the maximum restoring force—that is, when b is small—the solution to Equa-
tion 15.31 is

(15.32)

where the angular frequency of oscillation is

(15.33)

This result can be verified by substituting Equation 15.32 into Equation 15.31.

Figure 15.22 shows the position as a function of time for an object oscillating in the

presence of a retarding force. We see that 

when the retarding force is small, the os-

cillatory  character  of  the  motion  is  preserved  but  the  amplitude  decreases  in
time, with the result that the motion ultimately ceases. Any system that behaves in
this  way  is  known  as  a 

damped  oscillator. The  dashed  blue  lines  in  Figure  15.22,

which define the envelope of the oscillatory curve, represent the exponential factor in
Equation 15.32. This envelope shows that 

the amplitude decays exponentially with

time. For  motion  with  a  given  spring  constant  and  object  mass,  the  oscillations
dampen  more  rapidly  as  the  maximum  value  of  the  retarding  force  approaches  the
maximum value of the restoring force.

It is convenient to express the angular frequency (Eq. 15.33) of a damped oscillator

in the form

where 

represents the angular frequency in the absence of a retarding force

(the undamped oscillator) and is called the 

natural frequency of the system.

When the magnitude of the maximum retarding force R

max

!

bv

max

$

kA, the sys-

tem is said to be 

underdamped. The resulting motion is represented by the blue curve

in Figure 15.23. As the value of b increases, the amplitude of the oscillations decreases
more and more rapidly. When b reaches a critical value b

c

such that b

c

/2m ! '

0

, the

system does not oscillate and is said to be 

critically damped. In this case the system,

once  released  from  rest  at  some  nonequilibrium  position,  approaches  but  does  not
pass through the equilibrium position. The graph of position versus time for this case
is the red curve in Figure 15.23.

'

0

!

√

k/m

' !

√

'

0

 

2

"

"

b

2m

#

2

' !

√

k

m

"

"

b

2m

#

2

x ! Ae

 

" b

2m

t

 cos('t % ()

"

kx " b 

 

dx

dt

!

m 

 

d

 

2

x

dt

 

2

 

!

 F

x

! "

kx " bv

x

!

ma

x

m

Figure 15.21 One example of a

damped oscillator is an object

attached to a spring and submersed

in a viscous liquid. 

A

x

0

t

A e

b

2m

–

t

Active Figure 15.22 Graph of

position versus time for a damped

oscillator. Note the decrease in

amplitude with time.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the spring constant,

the mass of the object, and the

damping constant and see the

resulting damped oscillation of

the object.

x

a

b

c

t

Figure 15.23 Graphs of position

versus time for (a) an

underdamped oscillator, (b) a

critically damped oscillator, and

(c) an overdamped oscillator. 

If  the  medium  is  so  viscous  that  the  retarding  force  is  greater  than  the  restoring

force—that  is,  if  R

max

!

bv

max

#

kA and  b/2m # '

0

—the  system  is 

overdamped.

Again, the displaced system, when free to move, does not oscillate but simply returns to
its equilibrium position. As the damping increases, the time interval required for the
system to approach equilibrium also increases, as indicated by the black curve in Fig-
ure  15.23.  For  critically  damped  and  overdamped  systems,  there  is  no  angular  fre-
quency ' and the solution in Equation 15.32 is not valid.

Whenever friction is present in a system, whether the system is overdamped or

underdamped, the energy of the oscillator eventually falls to zero. The lost mechan-
ical  energy  is  transformed  into  internal  energy  in  the  object  and  the  retarding
medium.

15.7 Forced Oscillations

We have seen that the mechanical energy of a damped oscillator decreases in time as a
result of the resistive force. It is possible to compensate for this energy decrease by ap-
plying an external force that does positive work on the system. At any instant, energy
can be transferred into the system by an applied force that acts in the direction of mo-
tion of the oscillator. For example, a child on a swing can be kept in motion by appro-
priately timed “pushes.” The amplitude of motion remains constant if the energy input
per cycle of motion exactly equals the decrease in mechanical energy in each cycle that
results from resistive forces.

A common example of a forced oscillator is a damped oscillator driven by an exter-

nal  force  that  varies  periodically,  such  as  F(t) ! F

0

sin 't,  where  ' is  the  angular

frequency of the driving force and F

0

is a constant. In general, the frequency ' of the

472

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

Quick  Quiz  15.9

An  automotive  suspension  system  consists  of  a  combina-

tion of springs and shock absorbers, as shown in Figure 15.24. If you were an automo-
tive  engineer,  would  you  design  a  suspension  system  that  was  (a)  underdamped
(b) critically damped (c) overdamped?

Oil or

other viscous

fluid

Piston

with holes

(a)

Figure 15.24 (a) A shock absorber consists of a piston oscillating in a chamber filled

with oil. As the piston oscillates, the oil is squeezed through holes between the piston

and the chamber, causing a damping of the piston’s oscillations. (b) One type of

automotive suspension system, in which a shock absorber is placed inside a coil spring

at each wheel.

Shock absorber

Coil spring

(b)