Physics For Scientists And Engineers 6E - part 116

S E C T I O N   15 . 2     •     Mathematical Representation of Simple Harmonic Motion

461

same  for  all  four  springs.  We  see  that  the  effective  spring
constant for the combined springs is the sum of the individ-
ual spring constants:

Hence, the frequency of vibration is, from Equation 15.14,

To finalize the problem, note that the mass we used here is
that of the car plus the people, because this is the total mass
that is oscillating. Also note that we have explored only up-
and-down motion of the car. If an oscillation is established
in  which  the  car  rocks  back  and  forth  such  that  the  front

1.18 Hz

f !

1

2)

 

√

k

eff

m

!

1

2)

 

√

80 000 N/m

1 460 kg

!

k

 

eff

!

!

 

k ! 4 , 20 000 N/m ! 80 000 N/m

end goes up when the back end goes down, the frequency
will be different.

What  If?

Suppose the two people exit the car on the side

of  the  road.  One  of  them  pushes  downward  on  the  car  and
releases  it  so  that  it  oscillates  vertically.  Is  the  frequency  of
the oscillation the same as the value we just calculated?

Answer The suspension system of the car is the same, but
the mass that is oscillating is smaller—it no longer includes
the mass of the two people. Thus, the frequency should be
higher. Let us calculate the new frequency:

As we predicted conceptually, the frequency is a bit higher.

f !

1

2)

 

 

√

k

eff

m

!

1

2)

 

 

√

80 000 N/m

1 300 kg

!

1.25 Hz

Example 15.3 A Block–Spring System

A  200-g  block  connected  to  a  light  spring  for  which  the
force constant is 5.00 N/m is free to oscillate on a horizon-
tal, frictionless surface. The block is displaced 5.00 cm  from
equilibrium and released from rest, as in Figure 15.7.

(A)

Find the period of its motion.

Solution From Equations 15.9 and 15.10, we know that the
angular frequency of a block–spring system is

and the period is

(B)

Determine the maximum speed of the block.

Solution We use Equation 15.17:

(C)

What is the maximum acceleration of the block?

Solution We use Equation 15.18:

(D)

Express  the  position,  speed,  and  acceleration  as  func-

tions of time.

Solution We find the phase constant from the initial condi-
tion that x ! A at t ! 0:

which tells us that ( ! 0. Thus, our solution is x ! A cos 't.
Using  this  expression  and  the  results  from  (A),  (B),  and
(C), we find that

"

(1.25 m/s

2

)cos 5.00t

a !"'

2

A cos 't !

"

(0.250 m/s)sin 5.00t

v !'A sin 't !

(0.050 0 m)cos 5.00t

x !A cos 't !

x(0) ! A cos ( ! A

1.25 m/s

2

a

 

max

!

'

2

A ! (5.00 rad/s)

2

(5.00 , 10

"

2

 m) !

0.250 m/s

v

max

!

'

A ! (5.00 rad/s)(5.00 , 10

"

2

 m) !

1.26 s

- !

2)

'

!

2)

5.00 rad/s

!

' !

√

k

m

!

√

5.00 N/m

200 , 10

"

3

 kg

!

5.00 rad/s

What If?

What if the block is released from the same initial

position,  x

i

!

5.00 cm,  but  with  an  initial  velocity  of

v

i

! "

0.100 m/s?  Which  parts  of  the  solution  change  and

what are the new answers for those that do change?

Answers Part (A) does not change—the period is indepen-
dent of how the oscillator is set into motion. Parts (B), (C),
and (D) will change. We begin by considering position and
velocity expressions for the initial conditions:

Dividing  Equation  (2)  by  Equation  (1)  gives  us  the  phase
constant:

Now, Equation (1) allows us to find A:

The new maximum speed is

The new magnitude of the maximum acceleration is

The new expressions for position, velocity, and acceleration
are

As we saw in Chapters 7 and 8, many problems are easier to
solve with an energy approach rather than one based on vari-
ables  of  motion.  This  particular  What  If? is  easier  to  solve
from an energy approach. Therefore, in the next section we
shall investigate the energy of the simple harmonic oscillator.

a ! "(1.35 m/s

2

)cos(5.00t % 0.12))

v ! "(0.269 m/s)sin(5.00t % 0.12))

x ! (0.053 9 m)cos(5.00t % 0.12))

a

max

!

'

2

A ! (5.00 rad/s)

2

(5.39 , 10

"

2

 m) ! 1.35 m/s

2

v

max

!

'

A ! (5.00 rad/s)(5.39 , 10

"

2

 m) ! 0.269 m/s

A !

x

i

cos

 

(

!

0.050 0 m

cos(0.12))

!

0.053 9 m

 ( ! 0.12)

 tan

 

( ! "

v

i

'

x

i

! "

"

0.100 m

(5.00 rad/s)(0.050 0 m)

!

0.400

 

"

'

A sin (

A cos (

!

v

i

x

i

(2)

     

v(0) ! "'A sin ( ! v

i

(1)

     

x(0) ! A cos ( ! x

i

15.3 Energy of the Simple Harmonic Oscillator

Let us examine the mechanical energy of the block–spring system illustrated in Figure
15.1. Because the surface is frictionless, we expect the total mechanical energy of the
system to be constant, as was shown in Chapter 8. We assume a massless spring, so the
kinetic energy of the system corresponds only to that of the block. We can use Equa-
tion 15.15 to express the kinetic energy of the block as

(15.19)

The  elastic  potential  energy  stored  in  the  spring  for  any  elongation  x is  given  by

(see Eq. 8.11). Using Equation 15.6, we obtain

(15.20)

We see that K and U are always positive quantities. Because '

2

!

k/m, we can express

the total mechanical energy of the simple harmonic oscillator as

From  the  identity  sin

2

. %

cos

2

. !

1,  we  see  that  the  quantity  in  square  brackets  is

unity. Therefore, this equation reduces to

(15.21)

That is, 

the total mechanical energy of a simple harmonic oscillator is a constant

of the motion and is proportional to the square of the amplitude. Note that U is
small when K is large, and vice versa, because the sum must be constant. In fact, the to-
tal mechanical energy is equal to the maximum potential energy stored in the spring
when x ! & A because v ! 0 at these points and thus there is no kinetic energy. At the
equilibrium position, where U ! 0 because x ! 0, the total energy, all in the form of
kinetic energy, is again 

. That is,

Plots  of  the  kinetic  and  potential  energies  versus  time  appear  in  Figure  15.10a,

where we have taken ( ! 0. As already mentioned, both 

K and U are always positive,

and at all times their sum is a constant equal to 

, the total energy of the system.

The variations of K and U with the position x of the block are plotted in Figure 15.10b.

1

2

 

kA

2

E !

1

2

 

mv

max

2

!

1

2

 

m'

2

 A

2

 

!

1

2

 

m 

 

k

m

 

 A

2

!

1

2

 

kA

2

   

(at x ! 0)

1

2

 

kA

2

E !

1

2

 

kA

2

E ! K % U !

1

2

 

kA

2

[sin

2

('t % () % cos

2

('t % ()]

U !

1

2

 

kx

 

 

2

!

1

2

 

kA

2

 cos

2

('t % ()

1

2

 

kx

 

 

2

K !

1

2

 

mv

 

2

!

1

2

 

m

 

'

2

 A

2

 sin

2

('t % ()

462

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

Kinetic energy of a simple

harmonic oscillator

Potential energy of a simple

harmonic oscillator

Total energy of a simple

harmonic oscillator

K, U

1

2 kA

2

U

K

U =    kx

2

K =    mv

2

1

2

1

2

φ

 = 0

(a)

T

t

T

2

K, U

(b)

A

x

–A

O

φ

Active Figure 15.10 (a) Kinetic energy and potential energy versus time for a simple

harmonic oscillator with 

(

!

0. (b) Kinetic energy and potential energy versus position

for a simple harmonic oscillator. In either plot, note that K % U ! constant.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you can compare the

physical oscillation of a block with energy graphs in this figure as well as with

energy bar graphs.

Energy  is  continuously  being  transformed  between  potential  energy  stored  in  the
spring and kinetic energy of the block.

Figure 15.11 illustrates the position, velocity, acceleration, kinetic energy, and po-

tential energy of the block–spring system for one full period of the motion. Most of the
ideas discussed so far are incorporated in this important figure. Study it carefully.

Finally, we can use the principle of conservation of energy to obtain the velocity for

an arbitrary position by expressing the total energy at some arbitrary position x as

(15.22)

When we check Equation 15.22 to see whether it agrees with known cases, we find that
it  verifies  the  fact  that  the  speed  is  a  maximum  at  x ! 0  and  is  zero  at  the  turning
points x ! & A.

You may wonder why we are spending so much time studying simple harmonic os-

cillators. We do so because they are good models of a wide variety of physical phenom-
ena. For example, recall the Lennard–Jones potential discussed in Example 8.11. This
complicated function describes the forces holding atoms together. Figure 15.12a shows
that, for small displacements from the equilibrium position, the potential energy curve

v ! &

√

k

m

 

(A

2

"

x

 

2

) ! &'

√

A

2

"

x

2

E ! K % U !

1

2

 

mv

 

2

%

1

2

 

kx

 

2

!

1

2

 

kA

2

S E C T I O N   15 . 3     •     Energy of the Simple Harmonic Oscillator

463

Velocity as a function of

position for a simple harmonic

oscillator

–A

0

A

x

a

max

v

max

a

max

v

max

a

max

t

x

v

a

K

U

0

A

0

–

ω

2

A

0

T/4

0

–

ω

A

0

0

T/2

–A

0

ω

2

A

0

3T/4

0

ω

A

0

0

T

A

0

–

ω

2

A

0

1

2 kA

2

1

2 kA

2

1

2 kA

2

1

2 kA

2

1

2 kA

2

θ

max

θ

θ

max

θ

θ

max

θ

ω

ω

ω

ω

ω

Active Figure 15.11 Simple harmonic motion for a block–spring system and its analogy

to the motion of a simple pendulum (Section 15.5). The parameters in the table at the

right refer to the block–spring system, assuming that at t ! 0, x ! A so that x ! A cos

'

t.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you can set the initial

position of the block and see the block–spring system and the analogous

pendulum in motion.

464

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

(a)

(b)

r

U

Figure 15.12 (a) If the atoms in a molecule do not move too far from their equilib-

rium positions, a graph of potential energy versus separation distance between atoms is

similar to the graph of potential energy versus position for a simple harmonic oscillator

(blue curve). (b) The forces between atoms in a solid can be modeled by imagining

springs between neighboring atoms.

for  this  function  approximates  a  parabola,  which  represents  the  potential  energy
function  for  a  simple  harmonic  oscillator.  Thus,  we  can  model  the  complex  atomic
binding forces as being due to tiny springs, as depicted in Figure 15.12b.

The  ideas  presented  in  this  chapter  apply  not  only  to  block–spring  systems  and

atoms, but also to a wide range of situations that include bungee jumping, tuning in a
television station, and viewing the light emitted by a laser. You will see more examples
of simple harmonic oscillators as you work through this book.

Example 15.4 Oscillations on a Horizontal Surface

A  0.500-kg  cart  connected  to  a  light  spring  for  which  the
force  constant  is  20.0 N/m  oscillates  on  a  horizontal,  fric-
tionless air track.

(A)

Calculate  the  total  energy  of  the  system  and  the  maxi-

mum  speed  of  the  cart  if  the  amplitude  of  the  motion  is
3.00 cm.

Solution Using Equation 15.21, we obtain

!

When  the  cart  is  located  at  x ! 0,  we  know  that  U ! 0  and
E !

; therefore,

(B)

What  is  the  velocity  of  the  cart  when  the  position  is

2.00 cm?

Solution We can apply Equation 15.22 directly:

! & 0.141 m/s

 ! &

√

20.0 N/m

0.500 kg

 

[(0.030

 

0 m)

2

"

(0.020

 

0 m)

2

]

v ! &

√

k

m

 

(A

2

"

x

2

)

0.190 m/s

v

max

 

!

√

2(9.00 , 10

"

3

 J)

0.500 kg

!

1

2

 

mv

max

2

!

9.00 , 10

"

3

 J

1

2

 

mv

max

2

9.00 , 10

"

3

 J

E !

1

2

 

kA

2

!

1

2

 

(20.0 N/m)(3.00 , 10

"

2

 m)

2

The positive and negative signs indicate that the cart could
be moving to either the right or the left at this instant.

(C)

Compute  the  kinetic  and  potential  energies  of  the  sys-

tem when the position is 2.00 cm.

Solution Using the result of (B), we find that

Note that K % U ! E.

What  If?

The  motion  of  the  cart  in  this  example  could

have  been  initiated  by  releasing  the  cart  from  rest  at
x ! 3.00 cm. What if the cart were released from the same
position,  but  with  an  initial  velocity  of  v ! "0.100 m/s?
What  are  the  new  amplitude  and  maximum  speed  of
the cart?

Answer This is the same type of question as we asked at the
end  of  Example  15.3,  but  here  we  apply  an  energy  ap-
proach. First let us calculate the total energy of the system at
t ! 0,  which  consists  of  both  kinetic  energy  and  potential
energy:

   ! 1.15 , 10

"

2

 J

 !

1

2

 

(0.500 kg)("0.100 m/s)

2

%

1

2

 

(20.0 N/m)(0.030 0 m)

2

E !

1

2

 

mv

 

2

%

1

2

 

kx

 

   

2

4.00 , 10

"

3

 J

U !

1

2

 

kx

 

2

!

1

2

 

(20.0 N/m)(0.020

 

0 m)

2

!

5.00 , 10

"

3

 J

K !

1

2

 

mv

 

2

!

1

2

 

(0.500 kg)(0.141 m/s)

2

!