Physics For Scientists And Engineers 6E - part 117

S E C T I O N   15 . 4     •     Comparing Simple Harmonic Motion with Uniform Circular Motion

465

15.4 Comparing Simple Harmonic Motion 

with Uniform Circular Motion

Some common devices in our everyday life exhibit a relationship between oscillatory
motion and circular motion. For example, the pistons in an automobile engine (Figure
15.13a) go up and down—oscillatory motion—yet the net result of this motion is circu-
lar  motion  of  the  wheels.  In  an  old-fashioned  locomotive  (Figure  15.13b),  the  drive
shaft  goes  back  and  forth  in  oscillatory  motion,  causing  a  circular  motion  of  the
wheels. In this section, we explore this interesting relationship between these two types
of motion. We shall use this relationship again when we study electromagnetism and
when we explore optics.

Figure 15.14 is an overhead view of an experimental arrangement that shows this

relationship.  A  ball  is  attached  to  the  rim  of  a  turntable of  radius  A, which is illumi-
nated from the side by a lamp. The ball casts a shadow on a screen. We find that 

as the

turntable  rotates  with  constant  angular  speed,  the  shadow  of  the  ball  moves
back and forth in simple harmonic motion.

To  find  the  new  amplitude,  we  equate  this  total  energy  to
the potential energy when the cart is at the end point of the
motion:

Note  that  this  is  larger  than  the  previous  amplitude  of
0.030 0 m. To find the new maximum speed, we equate this

 A !

√

2E

k

!

√

2(1.15 , 10

"

2

 J)

20.0 N/m

!

0.033 9 m

 E !

1

2

 

kA

 

2

total  energy  to  the  kinetic  energy  when  the  cart  is  at  the
equilibrium position:

This is larger than the value found in part (a) as expected
because the cart has an initial velocity at t ! 0.

 v

max

 !

√

2E

m

!

√

2(1.15 , 10

"

2

 J)

0.500 kg

!

0.214 m/s

E !

1

2

 

mv

max

2

Figure 15.13 (a) The pistons of an

automobile engine move in periodic motion

along a single dimension. This photograph

shows a cutaway view of two of these pistons.

This motion is converted to circular motion of

the crankshaft, at the lower right, and

ultimately of the wheels of the automobile.

(b) The back-and-forth motion of pistons (in

the curved housing at the left) in an old-

fashioned locomotive is converted to circular

motion of the wheels.

©

Link / V

isuals Unlimited

Lamp

Ball

Q

P

A

A

Screen

Turntable

Shadow

of ball

Active Figure 15.14 An

experimental setup for

demonstrating the connection

between simple harmonic motion

and uniform circular motion. As

the ball rotates on the turntable

with constant angular speed, its

shadow on the screen moves back

and forth in simple harmonic

motion.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the frequency and

radial position of the ball and

see the resulting simple

harmonic motion of the

shadow.

Courtesy of Ford Motor Company

(a)

(b)

Consider a particle located at point P on the circumference of a circle of radius A, as

in Figure 15.15a, with the line OP making an angle ( with the x axis at t ! 0. We call this
circle a reference circle for comparing simple harmonic motion with uniform circular mo-
tion,  and  we  take  the  position  of  P at  t ! 0  as  our  reference  position.  If  the  particle
moves along the circle with constant angular speed ' until 

OP makes an angle . with the

x axis, as in Figure 15.15b, then at some time t # 0, the angle between OP and the x axis
is . ! '

t % (. As the particle moves along the circle, the projection of P on the x axis,

labeled point Q, moves back and forth along the x axis between the limits x ! & A.

Note that points P and Q always have the same x coordinate. From the right trian-

gle OPQ, we see that this x coordinate is

(15.23)

This expression is the same as Equation 15.6 and shows that the point Q moves with
simple harmonic motion along the x axis. Therefore, we conclude that

x(t) ! A cos('t % ()

We  can  make  a  similar  argument  by  noting  from  Figure  15.15b  that  the  projec-

tion of P along the y axis also exhibits simple harmonic motion. Therefore, 

uniform

circular motion can be considered a combination of two simple harmonic mo-
tions, one along the x axis and one along the y axis, with the two differing in
phase by 90°.

This geometric interpretation shows that the time interval for one complete revolu-

tion of the point P on the reference circle is equal to the period of motion T for simple
harmonic motion between x ! & A. That is, the angular speed ' of P is the same as the
angular frequency ' of simple harmonic motion along the x axis. (This is why we use
the same symbol.) The phase constant ( for simple harmonic motion corresponds to
the  initial  angle  that  OP makes  with  the  x axis.  The  radius  A of  the  reference  circle
equals the amplitude of the simple harmonic motion.

Because the relationship between linear and angular speed for circular motion is

v ! r' (see Eq. 10.10), the particle moving on the reference circle of radius A has a ve-
locity of magnitude '

A. From the geometry in Figure 15.15c, we see that the x compo-

nent of this velocity is " '

A sin('t % (). By definition, point Q has a velocity given by

dx/dt. Differentiating Equation 15.23 with respect to time, we find that the velocity of
Q is the same as the x component of the velocity of P.

466

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

P

φ

(a)

ω

P

x

Q

O

A

y

t = 0

(b)

θ

θ

 = 

ω

t

  + 

φ

O

v = 

ω

A

v

P

v

x

v

x

Q

O

(c)

(d)

y

x

y

x

y

x

θ ω

φ

ω

A

P

Q

O

y

x

a

x

a

a

x

a = 

ω

 

2

A

ω

Figure 15.15 Relationship between the uniform circular motion of a point P and the

simple harmonic motion of a point Q. A particle at P moves in a circle of radius A with

constant angular speed 

'

. (a) A reference circle showing the position of P at t ! 0.

(b) The x coordinates of points P and Q are equal and vary in time according to the

expression x ! A cos(

'

t %

(

). (c) The x component of the velocity of P equals the

velocity of Q. (d) The x component of the acceleration of P equals the acceleration of Q. 

simple harmonic motion along a straight line can be represented by the projection
of uniform circular motion along a diameter of a reference circle.

The acceleration of P on the reference circle is directed radially inward toward O

and has a magnitude v

2

/A ! '

2

A. From the geometry in Figure 15.15d, we see that the

x component of this acceleration is " '

2

A cos('t % (). This value is also the accelera-

tion of the projected point Q along the x axis, as you can verify by taking the second
derivative of Equation 15.23.

S E C T I O N   15 . 4     •     Comparing Simple Harmonic Motion with Uniform Circular Motion

467

Quick  Quiz  15.6

Figure  15.16  shows  the  position  of  an  object  in  uniform

circular motion at t ! 0. A light shines from above and projects a shadow of the object
on a screen below the circular motion. The correct values for the amplitude and phase
constant (relative  to  an  x axis  to  the  right)  of  the  simple  harmonic  motion  of  the
shadow are (a) 0.50 m and 0 (b) 1.00 m and 0 (c) 0.50 m and ) (d) 1.00 m and ).

Lamp

Ball

0.50 m

Screen

Turntable

Figure 15.16 (Quick Quiz 15.6) An object moves in circular motion, casting a shadow

on the screen below. Its position at an instant of time is shown.

Example 15.5 Circular Motion with Constant Angular Speed

A particle rotates counterclockwise in a circle of radius 3.00 m
with a constant angular speed of 8.00 rad/s. At t ! 0, the par-
ticle has an x coordinate of 2.00 m and is moving to the right.

(A)

Determine the x coordinate as a function of time.

Solution Because  the  amplitude  of  the  particle’s  motion
equals the radius of the circle and ' ! 8.00 rad/s, we have

We  can  evaluate  ( by  using  the  initial  condition  that
x ! 2.00 m at t ! 0:

If  we  were  to  take  our  answer  as  ( ! 48.2° ! 0.841 rad, 
then  the  coordinate  x ! (3.00 m)cos(8.00t % 0.841)  would
be decreasing at time t ! 0 (that is, moving to the left). Be-
cause  our  particle  is  first  moving  to  the  right,  we  must
choose ( ! " 0.841 rad. The x coordinate as a function of
time is then

 ( ! cos

"

1

 

"

2.00 m
3.00 m

#

2.00 m ! (3.00 m)cos(0 % ()

x ! A cos('t % () ! (3.00 m)cos(8.00t % ()

x !

Note  that  the  angle  ( in  the  cosine  function  must  be  in
radians.

(B)

Find the x components of the particle’s velocity and ac-

celeration at any time t.

Solution

!

!

From  these  results,  we  conclude  that  v

max

!

24.0 m/s  and

that a

max

!

192 m/s

2

.

"

(192 m/s

2

)cos(8.00t " 0.841)

a

x

!

 

dv

dt

 

!

("24.0 m/s)(8.00 rad/s)cos(8.00t " 0.841)

"

(24.0 m/s)sin(8.00t " 0.841)

v

x

!

 

dx

dt

 

!

("3.00 m)(8.00 rad/s)sin(8.00t " 0.841)

(3.00 m)cos(8.00t " 0.841)

468

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

15.5 The Pendulum

The 

simple pendulum is another mechanical system that exhibits periodic motion. It

consists of a particle-like bob of mass m suspended by a light string of length L that is
fixed  at  the  upper  end,  as  shown  in  Figure  15.17.  The  motion  occurs  in  the  vertical
plane and is driven by the gravitational force. We shall show that, provided the angle
.

is small (less than about 10°), the motion is very close to that of a simple harmonic

oscillator.

The forces acting on the bob are the force 

T exerted by the string and the gravita-

tional  force  m

g.  The  tangential  component  mg sin . of  the  gravitational  force  always

acts  toward  . ! 0,  opposite  the  displacement  of  the  bob  from  the  lowest  position.
Therefore, the tangential component is a restoring force, and we can apply Newton’s
second law for motion in the tangential direction:

where s is the bob’s position measured along the arc and the negative sign indicates
that  the  tangential  force acts  toward  the  equilibrium  (vertical)  position.  Because
s ! L. (Eq. 10.1a) and L is constant, this equation reduces to

Considering . as the position, let us compare this equation to Equation 15.3—does it
have the same mathematical form? The right side is proportional to sin . rather than
to .; hence, we would not expect simple harmonic motion because this expression is
not of the form of Equation 15.3. However, if we assume that . is 

small, we can use the

approximation sin .

$ .; thus, in this approximation, the equation of motion for the

simple pendulum becomes

(for small values of .)

(15.24)

Now we have an expression that has the same form as Equation 15.3, and we conclude
that the motion for small amplitudes of oscillation is simple harmonic motion. There-
fore, the function . can be written as . ! .

max

cos('t % (), where .

max

is the maximum

angular position and the angular frequency ' is

(15.25)

The period of the motion is

(15.26)

In other words, 

the period and frequency of a simple pendulum depend only on

the length of the string and the acceleration due to gravity. Because the period is
independent of the mass, we conclude that all simple pendula that are of equal length
and are at the same location (so that g is constant) oscillate with the same period. The
analogy between the motion of a simple pendulum and that of a block–spring system is
illustrated in Figure 15.11.

The simple pendulum can be used as a timekeeper because its period depends only

on its length and the local value of g. It is also a convenient device for making precise
measurements of the free-fall acceleration. Such measurements are important because
variations  in  local  values  of  g can  provide  information  on  the  location  of  oil  and  of
other valuable underground resources.

T !

2)

'

!

2) 

√

L
g

' !

√

g

L

d

 

2

 

.

dt

 

2

! "

g

L

 .

d

 

2

 

.

dt

 

2

! "

g

L

 

 sin .

F

t

! "

mg sin . ! m 

 

d

 

2

s

dt

 

2

Period of a simple pendulum

Angular frequency for a simple

pendulum

▲

PITFALL PREVENTION

15.5 Not True Simple

Harmonic Motion

Remember  that  the  pendulum
does  not exhibit  true  simple  har-
monic  motion  for  any angle.  If
the  angle  is  less  than  about  10°,
the motion is close to and can be
modeled as simple harmonic.

θ

T

L

s

m

 

g sin

m

m

 

g cos

m

 

g

θ

θ

θ

Active Figure 15.17 When 

.

is

small, a simple pendulum oscillates

in simple harmonic motion about

the equilibrium position 

.

!

0.

The restoring force is " mg sin

.

,

the component of the gravitational

force tangent to the arc.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the mass of the bob,

the length of the string, and the

initial angle and see the

resulting oscillation of the

pendulum.