Physics For Scientists And Engineers 6E - part 115

The inverse of the period is called the 

frequency f of the motion. Whereas the pe-

riod is the time interval per oscillation, the frequency represents the 

number of oscil-

lations that the particle undergoes per unit time interval:

(15.11)

The units of f are cycles per second, or 

hertz (Hz). Rearranging Equation 15.11 gives

(15.12)

We can use Equations 15.9, 15.10, and 15.11 to express the period and frequency of

the motion for the particle–spring system in terms of the characteristics m and k of the
system as

(15.13)

(15.14)

That  is,  the  period  and  frequency  depend  only on  the  mass  of  the  particle  and  the
force constant of the spring, and not on the parameters of the motion, such as A or (.
As we might expect, the frequency is larger for a stiffer spring (larger value of k) and
decreases with increasing mass of the particle.

We can obtain the velocity and acceleration

2

of a particle undergoing simple har-

monic motion from Equations 15.7 and 15.8:

(15.15)

(15.16)

From Equation 15.15 we see that, because the sine and cosine functions oscillate

between & 1, the extreme values of the velocity v are & 'A. Likewise, Equation 15.16
tells us that the extreme values of the acceleration a are & '

2

A. Therefore, the maxi-

mum values of the magnitudes of the velocity and acceleration are

(15.17)

(15.18)

Figure 15.6a plots position versus time for an arbitrary value of the phase constant.

The  associated  velocity–time  and  acceleration–time  curves  are  illustrated  in  Figures
15.6b and 15.6c. They show that the phase of the velocity differs from the phase of the
position by )/2 rad, or 90°. That is, when 

x is a maximum or a minimum, the velocity

is zero. Likewise, when x is zero, the speed is a maximum. Furthermore, note that the

a

 

max

!

'

2

A !

k

m

 

 A

v

max

!

'

A !

√

k

m

 

 A

a !

d

 

2

x

dt

 

2

! "

'

2

A cos('t % ()

v !

dx

dt

! "

'

A sin('t % ()

f !

1

T

!

1

2)

 

 

√

k

m

T !

2)

'

!

2) 

 

√

m

k

' !

2)f !

2)

T

f !

1

T

!

'

2)

S E C T I O N   15 . 2     •     Mathematical Representation of Simple Harmonic Motion

457

2

Because the motion of a simple harmonic oscillator takes place in one dimension, we will denote

velocity  as  v and  acceleration  as  a,  with  the  direction  indicated  by  a  positive  or  negative  sign,  as  in
Chapter 2.

Maximum magnitudes of speed

and acceleration in simple

harmonic motion

Acceleration of an object in

simple harmonic motion

Velocity of an object in simple

harmonic motion

Period

Frequency

▲

PITFALL PREVENTION

15.4 Two Kinds of

Frequency

We  identify  two  kinds  of  fre-
quency for a simple harmonic os-
cillator—f,  called  simply  the  fre-
quency, is measured in hertz, and
'

,  the  angular  frequency,  is  mea-

sured  in  radians  per  second.  Be
sure  that  you  are  clear  about
which  frequency  is  being  dis-
cussed  or  requested  in  a  given
problem.  Equations  15.11  and
15.12  show  the  relationship  be-
tween the two frequencies.

phase of the acceleration differs from the phase of the position by ) radians, or 180°.
For  example,  when  x is  a  maximum,  a has  a  maximum  magnitude  in  the  opposite
direction.

Equation  15.6  describes  simple  harmonic  motion  of  a  particle  in  general.  Let  us

now see how to evaluate the constants of the motion. The angular frequency ' is evalu-
ated using Equation 15.9. The constants A and ( are evaluated from the initial condi-
tions, that is, the state of the oscillator at t ! 0.

Suppose we initiate the motion by pulling the particle from equilibrium by a dis-

tance A and releasing it from rest at t ! 0, as in Figure 15.7. We must then require that

458

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

Quick Quiz 15.4

Consider a graphical representation (Fig. 15.4) of simple

harmonic motion, as described mathematically in Equation 15.6. When the object is at
position ! on the graph, its (a) velocity and acceleration are both positive (b) velocity
and  acceleration  are  both  negative  (c)  velocity  is  positive  and  its  acceleration  is  zero
(d) velocity is negative and its acceleration is zero (e) velocity is positive and its acceler-
ation is negative (f) velocity is negative and its acceleration is positive.

Quick  Quiz  15.5

An  object  of  mass  m is  hung  from  a  spring  and  set  into

oscillation.  The  period  of  the  oscillation  is  measured  and  recorded  as  T.  The  object
of mass m is removed and replaced with an object of mass 2m. When this object is set
into oscillation, the period of the motion is (a) 2T (b) 

(c) T (d) 

(e) T/2.

T/

√2

√2T

T

A

t

O

x

x

i

t

O

v

v

i

t

O

a

v

max

 = 

ω

A

a

max

= 

ω

2

A

(a)

(b)

(c)

ω

ω

Figure 15.6 Graphical representation of

simple harmonic motion. (a) Position versus

time. (b) Velocity versus time. (c) Acceleration

versus time. Note that at any specified time the

velocity is 90° out of phase with the position

and the acceleration is 180° out of phase with

the position. 

A

x = 0

t = 0

x

i

 = A

v

i

 = 0

m

Active Figure 15.7 A block–spring system

that begins its motion from rest with the

block at x ! A at t ! 0. In this case, 

(

!

0

and thus x ! A cos

'

t.

At the Active Figures link at

http://www.pse6.com, you can compare

the oscillations of two blocks starting

from different initial positions to see that

the frequency is independent of the

amplitude.

S E C T I O N   15 . 2     •     Mathematical Representation of Simple Harmonic Motion

459

our solutions for x(t) and v(t) (Eqs. 15.6 and 15.15) obey the initial conditions that
x(0) ! A and v(0) ! 0:

These conditions are met if we choose ( ! 0, giving x ! A cos 't as our solution. To
check  this  solution,  note  that  it  satisfies  the  condition  that  x(0) ! A,  because
cos 0 ! 1.

The position, velocity, and acceleration versus time are plotted in Figure 15.8a for

this special case. The acceleration reaches extreme values of *'

2

A when the position

has  extreme  values  of & A. Furthermore,  the  velocity  has  extreme  values  of & 'A,
which both occur at x ! 0. Hence, the quantitative solution agrees with our qualitative
description of this system.

Let us consider another possibility. Suppose that the system is oscillating and we

define t ! 0 as the instant that the particle passes through the unstretched position
of the spring while moving to the right (Fig. 15.9). In this case we must require that
our  solutions  for  x(t)  and  v(t)  obey  the  initial  conditions  that  x(0) ! 0  and
v(0) ! v

i

:

The  first  of  these  conditions  tells  us  that  ( ! & )/2.  With  these  choices  for  (,

the second condition tells us that A ! * v

i

/'. Because the initial velocity is positive

and the amplitude must be positive, we must have ( ! " )/2. Hence, the solution is
given by

The  graphs  of  position,  velocity,  and  acceleration  versus  time  for  this  choice  of
t ! 0 are  shown  in  Figure  15.8b. Note  that  these  curves  are  the  same  as  those
in Figure 15.8a,  but  shifted  to  the  right  by  one  fourth  of  a  cycle.  This  is  described
mathematically  by  the  phase  constant  ( ! " )/2,  which  is  one  fourth  of  a  full  cycle
of 2).

x !

v

i

'

 

 cos 

"

'

t "  

)

2

#

v(0) ! "'A sin ( ! v

i

x(0) ! A cos ( ! 0

v(0) ! "'A sin ( ! 0

x(0) ! A cos ( ! A

x

i

 = 0

t = 0

v = v

i

x = 0

v

i

m

Active Figure 15.9 The

block–spring system is undergoing

oscillation, and t ! 0 is defined at

an instant when the block passes

through the equilibrium position

x ! 0 and is moving to the right

with speed v

i

.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can compare the oscillations of

two blocks with different

velocities at t ! 0 to see that

the frequency is independent of

the amplitude.

(b)

T

2

T

x

3T

2

v

T

2

T

a

3T

2

T

T

2

3T

2

(a)

T

2

T

x

O

t

3T

2

T

2

T

v

t

3T

2

T

2

T

a

t

3T

2

O

O

O

O

O

t

t

t

Figure 15.8 (a) Position, velocity, and acceleration versus time for a block undergoing

simple harmonic motion under the initial conditions that at t ! 0, x(0) ! A and v(0) ! 0.

(b) Position, velocity, and acceleration versus time for a block undergoing simple har-

monic motion under the initial conditions that at t ! 0, x(0) ! 0 and v(0) ! v

i

.

460

C H A P T E R   15     •     Oscillatory Motion

Example 15.1 An Oscillating Object

An object oscillates with simple harmonic motion along the
x axis. Its position varies with time according to the equation

where t is in seconds and the angles in the parentheses are
in radians.

(A)

Determine the amplitude, frequency, and period of the

motion.

Solution By  comparing  this  equation  with  Equation  15.6, 

x ! A cos ('t % (),  we  see  that  A !

and

' ! )

rad/s.  Therefore,  f ! '/2) ! )/2) !

and T ! 1/f !

(B)

Calculate the velocity and acceleration of the object at

any time t.

Solution Differentiating x to find v, and v to find a, we obtain

!

!

(C)

Using  the  results  of  part  (B),  determine  the  position,

velocity, and acceleration of the object at t ! 1.00 s.

Solution Noting that the angles in the trigonometric func-
tions are in radians, we obtain, at t ! 1.00 s,

"

2.83 m

  ! (4.00 m)("0.707) !

x  ! (4.00 m) cos 

"

) %

)

4

#

!

(4.00 m) cos 

"

5)

4

#

"

(4.00)

 

2

 m/s

2

) cos 

"

)

t %

)

4

#

a  !

dv

dt

! "

(4.00)  m/s) cos 

"

)

t %

)

4

#

 

d

dt

 ()t)

"

(4.00) m/s) sin 

"

)

t %

)

4

#

v  !

dx

dt

! "

(4.00 m/s) sin 

"

)

t %

)

4

#

 

d

dt

 ()t)

2.00 s.

0.500 Hz

4.00 m

x ! (4.00 m)

 

cos 

"

)

t %

)

4

#

(D)

Determine the maximum speed and maximum acceler-

ation of the object.

Solution In  the  general  expressions  for  v and  a found  in
part  (B),  we  use  the  fact  that  the  maximum  values  of  the
sine  and  cosine  functions  are  unity.  Therefore, v varies  be-
tween & 4.00) m/s,  and  a varies  between  & 4.00 )

2

m/s

2

.

Thus,

We  obtain  the  same  results  using  the  relations  v

max

!

'

A

and a

max

!

'

2

A, where A ! 4.00 m and ' ! ) rad/s.

(E)

Find the displacement of the object between t ! 0 and

t ! 1.00 s.

Solution The position at t ! 0 is

In  part  (C),  we  found  that  the  position  at  t ! 1.00 s  is
"

2.83 m;  therefore,  the  displacement  between  t ! 0  and

t ! 1.00 s is

Because the object’s velocity changes sign during the first sec-
ond, the magnitude of +x is not the same as the distance trav-
eled in the first second. (By the time the first second is over,
the  object  has  been  through  the  point  x ! " 2.83 m  once,
traveled to x ! " 4.00 m, and come back to x ! " 2.83 m.)

"

5.66 m

+

x ! x

f

"

x

i

! "

2.83 m " 2.83 m !

x

i

!

(4.00 m) cos 

"

0 %

)

4

#

!

(4.00 m)(0.707) ! 2.83 m

39.5 m/s

2

a

 

max

!

4.00)

2

 m/s

2

!

12.6 m/s

v

max

!

4.00) m/s !

27.9 m/s

2

! "

(4.00)

2

 m/s

2

)("0.707) !

a  ! "(4.00)

2

 m/s

2

) cos 

"

5)

4

#

8.89 m/s

  ! "(4.00)  m/s)("0.707) !

v  ! "(4.00) m/s) sin 

"

5)

4

#

Example 15.2 Watch Out for Potholes!

A car with a mass of 1 300 kg is constructed so that its frame
is  supported  by  four  springs.  Each  spring  has  a  force  con-
stant of 20 000 N/m. If two people riding in the car have a
combined mass of 160 kg, find the frequency of vibration of
the car after it is driven over a pothole in the road.

Solution To conceptualize this problem, think about your
experiences  with  automobiles.  When  you  sit  in  a  car,  it
moves  downward  a  small  distance  because  your  weight  is
compressing  the  springs  further.  If  you  push  down  on  the
front  bumper  and  release,  the  front  of  the  car  oscillates  a

couple of times. We can model the car as being supported
by a single spring and categorize this as an oscillation prob-
lem based on our simple spring model. To analyze the prob-
lem, we first need to consider the effective spring constant
of the four springs combined. For a given extension x of the
springs,  the  combined  force  on  the  car  is  the  sum  of  the
forces from the individual springs:

where  x has  been  factored  from  the  sum  because  it  is  the

F

total

!

!

("kx) ! "

"

!

 k

#

 x