Physics For Scientists And Engineers 6E - part 126

S E C T I O N   16 . 5 •  Rate of Energy Transfer by Sinusoidal Waves on Strings

501

According to Equation 16.18, the speed of a wave on a string increases as the mass

per unit length of the string decreases. In other words, a wave travels more slowly on a
heavy string than on a light string if both are under the same tension. The following
general rules apply to reflected waves: 

when a wave or pulse travels from medium A

to medium B and v

A

!

v

B

(that is, when B is denser than A), it is inverted upon

reflection.  When  a  wave  or  pulse  travels  from  medium  A  to  medium  B  and
v

A

"

v

B

(that is, when A is denser than B), it is not inverted upon reflection.

16.5 Rate of Energy Transfer by Sinusoidal

Waves on Strings

Waves transport energy when they propagate through a medium. We can easily demon-
strate this by hanging an object on a stretched string and then sending a pulse down
the string, as in Figure 16.18a. When the pulse meets the suspended object, the object
is momentarily displaced upward, as in Figure 16.18b. In the process, energy is trans-
ferred to the object and appears as an increase in the gravitational potential energy of
the object–Earth system. This section examines the rate at which energy is transported
along a string. We shall assume a one-dimensional sinusoidal wave in the calculation of
the energy transferred.

Consider a sinusoidal wave traveling on a string (Fig. 16.19). The source of the en-

ergy is some external agent at the left end of the string, which does work in producing
the oscillations. We can consider the string to be a nonisolated system. As the external
agent performs work on the end of the string, moving it up and down, energy enters
the system of the string and propagates along its length. Let us focus our attention on
an element of the string of length ,x and mass ,m. Each such element moves vertically
with simple harmonic motion. Thus, we can model each element of the string as a sim-
ple  harmonic  oscillator,  with  the  oscillation  in  the y direction.  All  elements  have  the
same angular frequency ' and the same amplitude 

A. The kinetic energy K associated

with a moving particle is 

. If we apply this equation to an element of length

,

x and mass ,m, we see that the kinetic energy ,K of this element is

where v

y

is the transverse speed of the element. If + is the mass per unit length of the

string, then the mass ,m of the element of length ,x is equal to + ,x. Hence, we can
express the kinetic energy of an element of the string as

(16.19)

As the length of the element of the string shrinks to zero, this becomes a differential
relationship:

We  substitute  for  the  general  transverse  speed  of  a  simple  harmonic  oscillator  using
Equation 16.14:

 !

1

2

+'

2

A

2

 cos

2

(kx " 't) dx

dK !

1

2

+

['A cos(kx " 't)]

2

 dx

dK !

1

2

(+

 

dx)v

y

2

,

K !

1

2

(+ ,x)v

y

2

,

K !

1

2

(,m)v

y

2

K !

1

2

mv

2

m

m

(a)

(b)

Figure 16.18 (a) A pulse traveling

to the right on a stretched string

that has an object suspended from

it. (b) Energy is transmitted to the

suspended object when the pulse

arrives.

∆m

Figure 16.19 A sinusoidal wave trav-

eling along the x axis on a stretched

string. Every element moves verti-

cally, and every element has the same

total energy.

If we take a snapshot of the wave at time t ! 0, then the kinetic energy of a given ele-
ment is

Let  us  integrate  this  expression  over  all  the  string  elements  in  a  wavelength  of  the
wave, which will give us the total kinetic energy K

%

in one wavelength:

In addition to kinetic energy, each element of the string has potential energy associ-
ated  with  it  due  to  its  displacement  from  the  equilibrium  position  and  the  restoring
forces from neighboring elements. A similar analysis to that above for the total poten-
tial energy U

%

in one wavelength will give exactly the same result:

The total energy in one wavelength of the wave is the sum of the potential and kinetic
energies:

(16.20)

As the wave moves along the string, this amount of energy passes by a given point on
the string during a time interval of one period of the oscillation. Thus, the power, or
rate of energy transfer, associated with the wave is

(16.21)

This expression shows that the rate of energy transfer by a sinusoidal wave on a string is
proportional to (a) the square of the frequency, (b) the square of the amplitude, and
(c) the wave speed. In fact: 

the rate of energy transfer in any sinusoidal wave is

proportional  to  the  square  of  the  angular  frequency  and  to  the  square  of  the
amplitude.

" !

 

1

2

+'

2

A

2

v

" !

,

E

,

t

!

E

%

T

!

1

2

+'

2

A

2

%

T

!

1

2

+'

2

A

2

 

 

#

%

T

$

E

%

!

U

%

#

K

%

!

1

2

 

+'

2

A

2

%

U

%

!

1

4

 

+'

2

A

2

%

 !

1

2

+'

2

A

2

 

!

1

2

x #

1

4k

  

sin 2kx

"

%

0

!

1

2

+'

2

A

2

 

[

1

2

%

] !

1

4

+'

2

A

2

%

K

%

!

(

 

dK !

(

%

0

 

 

1

2

+'

2

A

2

 cos

2

 kx dx !

1

2

+'

2

A

2

 

(

%

0

 

cos

2

 kx dx

dK !

1

2

+'

2

A

2

 cos

2

 kx dx

502

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

Quick Quiz 16.8

Which of the following, taken by itself, would be most effec-

tive in increasing the rate at which energy is transferred by a wave traveling along a string?
(a) reducing the linear mass density of the string by one half (b) doubling the wavelength
of the wave (c) doubling the tension in the string (d) doubling the amplitude of the wave

Example 16.6 Power Supplied to a Vibrating String

Because  f ! 60.0 Hz,  the  angular  frequency  ' of  the  sinu-
soidal waves on the string has the value

' !

2&f ! 2&(60.0 Hz) ! 377 s

"

1

v !

√

T
+

!

√

80.0 N

5.00 - 10

"

2

 kg/m

!

40.0 m/s

A  taut  string  for  which  + ! 5.00 - 10

"

2

kg/m  is  under  a

tension of 80.0 N. How much power must be supplied to the
string to generate sinusoidal waves at a frequency of 60.0 Hz
and an amplitude of 6.00 cm?

Solution The  wave  speed  on  the  string  is,  from  Equation
16.18,

Power of a wave

S E C T I O N   16 . 6 •  The Linear Wave Equation

503

16.6 The Linear Wave Equation

In  Section  16.1  we  introduced  the  concept  of  the  wave  function  to  represent  waves
traveling on a string. All wave functions y(x, t) represent solutions of an equation called
the linear wave equation. This equation gives a complete description of the wave motion,
and from it one can derive an expression for the wave speed. Furthermore, the linear
wave  equation  is  basic  to  many  forms  of  wave  motion.  In  this  section,  we  derive  this
equation as applied to waves on strings.

Suppose a traveling wave is propagating along a string that is under a tension T. Let

us  consider  one  small  string  element  of  length  ,x (Fig.  16.20).  The  ends  of  the  ele-
ment make small angles $

A

and $

B

with the x axis. The net force acting on the element

in the vertical direction is

Because the angles are small, we can use the small-angle approximation sin $

& tan $

to express the net force as

(16.22)

Imagine undergoing an infinitesimal displacement outward from the end of the rope
element  in  Figure  16.20  along  the  blue  line  representing  the  force 

T.  This  displace-

ment  has  infinitesimal  x and  y components  and  can  be  represented  by  the  vector

. The tangent of the angle with respect to the x axis for this displacement is

dy/dx. Because we are evaluating this tangent at a particular instant of time, we need to
express this in partial form as  )y/)x. Substituting for the tangents in Equation 16.22
gives

(16.23)

We now apply Newton’s second law to the element, with the mass of the element given
by m ! + ,x:

(16.24)

Combining Equation 16.23 with Equation 16.24, we obtain

(16.25)

+
T

  

)

2

y

)

t

2

!

()y/)x)

B

"

()y/dx)

A

,

x

+

 ,x 

#

)

2

y

)

t

2

$

!

T

 

 

!

#

)

y

)

x

$

B

"

#

)

y

)

x

$

A

"

'

 F

y

!

ma

y

!

+

 ,x 

#

)

2

y

)

t

2

$

'

 F

y

& T

 

 

!

#

)

y

)

x

$

B

"

#

)

y

)

x

$

A

"

dx

iˆ # dy jˆ

'

 F

y

& T(tan $

B

"

tan $

A

)

'

 F

y

!

T sin $

B

"

T sin $

A

!

T(sin $

B

"

sin $

A

)

Answer We set up a ratio of the new and old power, reflect-
ing only a change in the amplitude:

Solving for the new amplitude,

 ! 8.39 cm

A

new

!

A

old

 

√

"

new

"

old

!

(6.00 cm)

√

1 000 W

512 W

"

new

"

old

!

1

2

+'

2

A

2

new

v

1

2

+'

2

A

2

old

v

!

A

2

new

A

2

old

Using  these  values  in  Equation  16.21  for  the  power,  with
A ! 6.00 - 10

"

2

m, we obtain

What If?

What if the string is to transfer energy at a rate of

1 000 W? What must be the required amplitude if all other pa-
rameters remain the same?

512 W

!

-

(6.00 - 10

"

2

 m)

2

(40.0 m/s)

 !

1

2

(5.00 - 10

"

2

 kg/m)(377 s

"

1

)

2

" !

1

2

+'

2

A

2

v

Figure 16.20 An element of a

string under tension T. 

θ

B

θ

A

∆x

A

B

T

T

θ

θ

The right side of this equation can be expressed in a different form if we note that the
partial derivative of any function is defined as

If we associate f(x # ,x) with ()y/)x)

B

and f(x) with ()y/)x)

A

, we see that, in the limit

,

x : 0, Equation 16.25 becomes

(16.26)

This is the linear wave equation as it applies to waves on a string.

We  now  show  that  the  sinusoidal  wave  function  (Eq.  16.10)  represents  a  solution

of the linear wave equation. If we take the sinusoidal wave function to be of the form
y(x, t) ! A sin(kx " 't), then the appropriate derivatives are

Substituting these expressions into Equation 16.26, we obtain

This equation must be true for all values of the variables x and t in order for the sinu-
soidal wave function to be a solution of the wave equation. Both sides of the equation
depend on x and t through the same function sin(kx " 't). Because this function di-
vides out, we do indeed have an identity, provided that

Using the relationship v ! '/k (Eq. 16.11) in this expression, we see that

which is Equation 16.18. This derivation represents another proof of the expression for
the wave speed on a taut string.

The linear wave equation (Eq. 16.26) is often written in the form

(16.27)

This  expression  applies  in  general  to  various  types  of  traveling  waves.  For  waves  on
strings, y represents the vertical position of elements of the string. For sound waves, y
corresponds to longitudinal position of elements of air from equilibrium or variations
in  either  the  pressure  or  the  density  of  the  gas  through  which  the  sound  waves  are
propagating.  In  the  case  of  electromagnetic  waves,  y corresponds  to  electric  or  mag-
netic field components.

We have shown that the sinusoidal wave function (Eq. 16.10) is one solution of the

linear  wave  equation  (Eq.  16.27).  Although  we  do  not  prove  it  here,  the  linear  wave
equation is satisfied by any wave function having the form y ! f(x * vt). Furthermore,
we have seen that the linear wave equation is a direct consequence of Newton’s second
law applied to any element of a string carrying a traveling wave.

)

2

y

)

x

2

!

1

v

2

  

)

2

y

)

t

2

v !

√

T
+

v

2

!

'

2

k

2

!

T
+

k

2

!

+
T

 

'

2

"

+'

2

T

  

sin(kx " 't) ! "k

2

 sin(kx " 't)

)

2

y

)

x

2

!

 "k

2

A sin(kx " 't)

)

2

y

)

t

2

!

 "'

2

A sin(kx " 't)

+
T

  

)

2

y

)

t

2

!

)

2

y

)

x

2

)

f

)

x

 

%  lim

,

x : 0

f

 

(x # ,x) " f(x)

,

x

504

C H A P T E R   16 •  Wave Motion

Linear wave equation for a

string

Linear wave equation in general