Physics For Scientists And Engineers 6E - part 130

The  piston  transmits  energy  to  this  element  of  air  in  the  tube,  and  the  energy  is
propagated  away  from  the  piston  by  the  sound  wave.  To  evaluate  the  rate  of  energy
transfer for the sound wave, we shall evaluate the kinetic energy of this element of air,
which is undergoing simple harmonic motion. We shall follow a procedure similar to
that in Section 16.5, in which we evaluated the rate of energy transfer for a wave on a
string. 

As the sound wave propagates away from the piston, the position of any element of

air in front of the piston is given by Equation 17.2. To evaluate the kinetic energy of
this element of air, we need to know its speed. We find the speed by taking the time de-
rivative of Equation 17.2:

Imagine  that  we  take  a  “snapshot”  of  the  wave  at  t # 0.  The  kinetic  energy  of  a

given element of air at this time is

where  A is  the  cross-sectional  area  of  the  element  and  A 'x is  its  volume.  Now,  as  in
Section  16.5,  we  integrate  this  expression  over  a  full  wavelength  to  find  the  total  ki-
netic energy in one wavelength. Letting the element of air shrink to infinitesimal thick-
ness, so that 'x : dx, we have

As  in  the  case  of  the  string  wave  in  Section  16.5,  the  total  potential  energy  for  one
wavelength has the same value as the total kinetic energy; thus, the total mechanical
energy for one wavelength is

As the sound wave moves through the air, this amount of energy passes by a given point
during one period of oscillation. Hence, the rate of energy transfer is

where v is the speed of sound in air.

! #

'

E

'

t

#

E

(

T

#

1

2

!

A()s

 

max

)

2

(

T

#

1

2

!

A()s

 

max

)

2 

!

(

T

"

#

1

2

!

Av()s

 

max

)

2

E

(

#

K

(

$

U

(

#

1

2

!

A()s

 

max

)

2

(

 #

1

2

!

A()s

 

max

)

2

(

1

2

(

) #

1

4

!

A()s

 

max

)

2

(

K

(

#

#

 dK #

#

(

0

 

1

2

!

A()s

 

max

)

2

 sin

2

 

kx

 

dx #

1

2

!

A()s

 

max

)

2

#

(

0

sin

2

 

kx

 

dx

 #

1

2

!

A 'x()s

max

)

2

 sin

2

 kx 

'

K #

1

2

'

m(v)

2

#

1

2

'

m(*)s

max

 sin kx)

2

#

1

2

!

A 'x(*)s

max

 sin kx)

2

v(x,

  

t) #

+

+

t

 s(x,

  

t) #

+

+

t

 [s

max

 cos(kx

 

*

)

t)] # *)s

max

 sin(kx

 

*

)

t)

S E C T I O N   17. 3 •  Intensity  of Periodic Sound Waves

517

We define the 

intensity I of a wave, or the power per unit area, to be the rate at

which the energy being transported by the wave transfers through a unit area A per-
pendicular to the direction of travel of the wave:

(17.5)

I

 

 

$ 

 

!

A

In the present case, therefore, the intensity is

Thus,  we  see  that  the  intensity  of  a  periodic  sound  wave  is  proportional  to  the

square of the displacement amplitude and to the square of the angular frequency (as
in the case of a periodic string wave). This can also be written in terms of the pressure

I #

!

A

#

1

2

!

v()s

max

)

2

Intensity of a sound wave

518

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

Quick  Quiz  17.3

An  ear  trumpet is  a  cone-shaped  shell,  like  a  megaphone,

that  was  used  before  hearing  aids  were  developed  to  help  persons  who  were  hard  of
hearing. The small end of the cone was held in the ear, and the large end was aimed to-
ward the source of sound as in Figure 17.5. The ear trumpet increases the intensity of
sound because (a) it increases the speed of sound (b) it reflects sound back toward the
source (c) it gathers sound that would normally miss the ear and concentrates it into a
smaller area (d) it increases the density of the air.

amplitude 'P

max

; in this case, we use Equation 17.4 to obtain

(17.6)

Now consider a point source emitting sound waves equally in all directions. From

everyday experience, we know that the intensity of sound decreases as we move farther
from the source. We identify an imaginary sphere of radius r centered on the source.
When a source emits sound equally in all directions, we describe the result as a 

spheri-

cal wave. The average power !

av

emitted by the source must be distributed uniformly

over this spherical surface of area 4,r

2

. Hence, the wave intensity at a distance r from

the source is

(17.7)

This inverse-square law, which is reminiscent of the behavior of gravity in Chapter 13,
states that the intensity decreases in proportion to the square of the distance from the
source.

I #

!

av

A

#

!

av

4,r

2

I #

'

P

2

max

2!v

Figure 17.5 (Quick Quiz 17.3) An ear trumpet, used before hearing aids to make

sounds intense enough for people who were hard of hearing. You can simulate the ef-

fect of an ear trumpet by cupping your hands behind your ears. 

Inverse-square behavior of

intensity for a point source

Courtesy Kenneth Burger Museum Archives/Kent State University

S E C T I O N   17. 3 •  Intensity  of Periodic Sound Waves

519

Quick  Quiz  17.4

A  vibrating  guitar  string  makes  very  little  sound  if  it  is  not

mounted on the guitar. But if this vibrating string is attached to the guitar body, so that the
body of the guitar vibrates, the sound is higher in intensity. This is because (a) the power
of the vibration is spread out over a larger area (b) the energy leaves the guitar at a higher
rate (c) the speed of sound is higher in the material of the guitar body (d) none of these.

Example 17.2 Hearing Limits

The  faintest  sounds  the  human  ear  can  detect  at  a
frequency  of  1 000 Hz  correspond  to  an  intensity  of
about 1.00 & 10

*

12

W/m

2

—the so-called threshold of hear-

ing.  The  loudest  sounds  the  ear  can  tolerate  at  this  fre-
quency  correspond  to  an  intensity  of  about  1.00 W/m

2

—

the  threshold  of  pain. Determine  the  pressure  amplitude
and  displacement  amplitude  associated  with  these  two
limits.

Solution First,  consider  the  faintest  sounds.  Using  Equa-
tion  17.6  and  taking  v # 343 m/s  as  the  speed  of  sound
waves in air and ! # 1.20 kg/m

3

as the density of air, we ob-

tain

2.87 & 10

*

5

 N/m

2

#

 #

√

2(1.20 kg/m

3

)(343 m/s)(1.00 & 10

*

12

 W/m

2

)

'

P

max

#

√

2!vI

Because atmospheric pressure is about 10

5

N/m

2

, this result

tells  us  that  the  ear  is  sensitive  to  pressure  fluctuations  as
small as 3 parts in 10

10

!

We can calculate the corresponding displacement ampli-

tude  by  using  Equation  17.4,  recalling  that  ) # 2,f (see
Eqs. 16.3 and 16.9):

This is a remarkably small number! If we compare this result
for  s

max

with  the  size  of  an  atom  (about  10

*

10

m),  we  see

that the ear is an extremely sensitive detector of sound waves.

In  a  similar  manner,  one  finds  that  the  loudest  sounds

the human ear can tolerate correspond to a pressure ampli-
tude  of  28.7 N/m

2

and  a  displacement  amplitude  equal  to

1.11 & 10

*

5

m.

1.11 & 10

*

11

 m

#

s

max

#

'

P

max

!

v)

#

2.87 & 10

*

5

 N/m

2

(1.20 kg/m

3

)(343 m/s)(2, & 1 000 Hz)

Example 17.3 Intensity Variations of a Point Source

A  point  source  emits  sound  waves  with  an  average  power
output of 80.0 W.

(A)

Find the intensity 3.00 m from the source.

Solution A point source emits energy in the form of spheri-
cal waves. Using Equation 17.7, we have

an intensity that is close to the threshold of pain.

0.707 W/m

2

I #

!

av

4,r

 

2

#

80.0 W

4,(3.00

 

m)

2

#

(B)

Find the distance at which the intensity of the sound is

1.00 & 10

*

8

W/m

2

.

Solution Using this value for I in Equation 17.7 and solving
for r, we obtain

which equals about 16 miles!

2.52 & 10

4

 m

#

r #

√

!

av

4,I

#

√

80.0 W

4,(1.00 & 10

*

8

 W/m

2

)

Sound Level in Decibels

Example  17.2  illustrates  the  wide  range  of  intensities  the  human  ear  can  detect.  Be-
cause this range is so wide, it is convenient to use a logarithmic scale, where the 

sound

level - (Greek beta) is defined by the equation

(17.8)

The  constant  I

0

is  the  reference  intensity,  taken  to  be  at  the  threshold  of  hearing 

(I

0

#

1.00 & 10

*

12

W/m

2

),  and  I is  the  intensity  in  watts  per  square  meter  to  which

the sound level - corresponds, where - is measured

2

in 

decibels (dB). On this scale,

-

 

$ 10 log 

!

I

I

0

"

2

The unit bel is named after the inventor of the telephone, Alexander Graham Bell (1847–1922).

The prefix deci - is the SI prefix that stands for 10

*

1

.

Sound level in decibels

520

C H A P T E R   17 •  Sound Waves

Example 17.4 Sound Levels

Two  identical  machines  are  positioned  the  same  distance
from a worker. The intensity of sound delivered by each ma-
chine  at  the  location  of  the  worker  is  2.0 & 10

*

7

W/m

2

.

Find the sound level heard by the worker

(A)

when one machine is operating

(B)

when both machines are operating.

Solution

(A) The sound level at the location of the worker with one
machine operating is calculated from Equation 17.8:

53 dB

#

-

1

#

10 log 

!

2.0 & 10

*

7 

W/m

2

1.00 & 10

*

12

 W/m

2

"

#

10 log(2.0 & 10

5

)

(B) When both machines are operating, the intensity is dou-
bled to 4.0 & 10

*

7

W/m

2

; therefore, the sound level now is

From  these  results,  we  see  that  when  the  intensity  is  dou-
bled, the sound level increases by only 3 dB.

What If?

Loudness is a psychological response to a sound

and depends on both the intensity and the frequency of the
sound. As a rule of thumb, a doubling in loudness is approxi-
mately  associated  with  an  increase  in  sound  level  of  10 dB.
(Note  that  this  rule  of  thumb  is  relatively  inaccurate  at
very low  or  very  high  frequencies.)  If  the  loudness  of  the

56 dB

#

-

2

#

10 log 

!

4.0 & 10

*

7

 W/m

2

1.00 & 10

*

12

 W/m

2

"

#

10 log(4.0 & 10

5

)

Quick Quiz 17.5

A violin plays a melody line and is then joined by a second

violin, playing at the same intensity as the first violin, in a repeat of the same melody. With
both violins playing, what physical parameter has doubled compared to the situation with
only one violin playing? (a) wavelength (b) frequency (c) intensity (d) sound level in dB
(e) none of these.

Quick Quiz 17.6

Increasing the intensity of a sound by a factor of 100 causes

the sound level to increase by (a) 100 dB (b) 20 dB (c) 10 dB (d) 2 dB.

the  threshold  of  pain  (I # 1.00 W/m

2

)  corresponds  to  a  sound  level  of  - #

10 log[(1 W/m

2

)/(10

*

12

W/m

2

)] # 10  log(10

12

) # 120  dB,  and  the  threshold  of

hearing corresponds to - # 10 log[(10

*

12

W/m

2

)/(10

*

12

W/m

2

)] # 0 dB.

Prolonged exposure to high sound levels may seriously damage the ear. Ear plugs

are recommended whenever sound levels exceed 90 dB. Recent evidence suggests that
“noise pollution” may be a contributing factor to high blood pressure, anxiety, and ner-
vousness. Table 17.2 gives some typical sound-level values.

Source of Sound

"

(dB)

Nearby jet airplane

150

Jackhammer; machine gun

130

Siren; rock concert

120

Subway; power mower

100

Busy traffic

80

Vacuum cleaner

70

Normal conversation

50

Mosquito buzzing

40

Whisper

30

Rustling leaves

10

Threshold of hearing

0

Sound Levels

Table 17.2