Physics For Scientists And Engineers 6E - part 103

SECTION 13.7 •  Energy Considerations in Planetary and Satellite Motion

409

Figure 13.18 A binary star system consisting of an ordinary star on the left and a black

hole on the right. Matter pulled from the ordinary star forms an accretion disk around

the black hole, in which matter is raised to very high temperatures, resulting in the

emission of x-rays.

Figure 13.17 A black hole. 

The distance R

S

equals the

Schwarzschild radius. Any event

occurring within the boundary of

radius R

S

, called the event horizon,

is invisible to an outside observer.

Black

hole

R

S

Event

horizon

Black Holes

In Example 11.7 we briefly described a rare event called a supernova—the catastrophic
explosion of a very massive star. The material that remains in the central core of such
an object continues to collapse, and the core’s ultimate fate depends on its mass. If the
core has a mass less than 1.4 times the mass of our Sun, it gradually cools down and
ends its life as a white dwarf star. However, if the core’s mass is greater than this, it may
collapse further due to gravitational forces. What remains is a neutron star, discussed
in Example 11.7, in which the mass of a star is compressed to a radius of about 10 km.
(On Earth, a teaspoon of this material would weigh about 5 billion tons!)

An even more unusual star death may occur when the core has a mass greater than

about  three  solar  masses.  The  collapse  may  continue  until  the  star  becomes  a  very
small object in space, commonly referred to as a 

black hole. In effect, black holes are

remains  of  stars  that  have  collapsed  under  their  own  gravitational  force.  If  an  object
such  as  a  spacecraft  comes  close  to  a  black  hole,  it  experiences  an  extremely  strong
gravitational force and is trapped forever.

The  escape  speed  for  a  black  hole  is  very  high,  due  to  the  concentration  of  the

mass of the star into a sphere of very small radius (see Eq. 13.23). If the escape speed
exceeds the speed of light c, radiation from the object (such as visible light) cannot es-
cape, and the object appears to be black; hence the origin of the terminology “black
hole.” The critical radius R

S

at which the escape speed is c is called the 

Schwarzschild

radius (Fig. 13.17). The imaginary surface of a sphere of this radius surrounding the
black hole is called the 

event horizon. This is the limit of how close you can approach

the black hole and hope to escape.

Although light from a black hole cannot escape, light from events taking place near

the black hole should be visible. For example, it is possible for a binary star system to con-
sist of one normal star and one black hole. Material surrounding the ordinary star can be
pulled  into  the  black  hole,  forming  an 

accretion  disk around  the  black  hole,  as  sug-

gested in Figure 13.18. Friction among particles in the accretion disk results in transfor-
mation of mechanical energy into internal energy. As a result, the orbital height of the
material  above  the  event  horizon  decreases  and  the  temperature  rises.  This  high-
temperature  material  emits  a  large  amount  of  radiation,  extending  well  into  the  x-ray 
region of the electromagnetic spectrum. These x-rays are characteristic of a black hole.
Several possible candidates for black holes have been identified by observation of these 
x-rays.

410

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

Figure 13.19 Hubble Space Telescope images of the galaxy M87. The inset shows the

center of the galaxy. The wider view shows a jet of material moving away from the

center of the galaxy toward the upper right of the figure at about one tenth of the

speed of light. Such jets are believed to be evidence of a supermassive black hole at the

galaxy center.

H. Ford et al. & NASA

There is also evidence that supermassive black holes exist at the centers of galaxies,

with masses very much larger than the Sun. (There is strong evidence of a supermas-
sive black hole of mass 2–3 million solar masses at the center of our galaxy.) Theoreti-
cal  models  for  these  bizarre  objects  predict  that  jets  of  material  should  be  evident
along the rotation axis of the black hole. Figure 13.19 shows a Hubble Space Telescope
photograph of galaxy M87. The jet of material coming from this galaxy is believed to
be evidence for a supermassive black hole at the center of the galaxy.

Newton’s law of universal gravitation states that the gravitational force of attrac-
tion between any two particles of masses m

1

and m

2

separated by a distance r has the

magnitude

(13.1)

where  G ! 6.673 # 10

"

11

N $ m

2

/kg

2

is  the 

universal  gravitational  constant. This

equation enables us to calculate the force of attraction between masses under a wide
variety of circumstances.

An object at a distance h above the Earth’s surface experiences a gravitational force

of magnitude mg, where g is the free-fall acceleration at that elevation:

(13.6)

In this expression, M

E

is the mass of the Earth and R

E

is its radius. Thus, the weight of

an object decreases as the object moves away from the Earth’s surface.

g !

GM

E

r

 

2

!

GM

E

(R

E

&

h)

2

F

g

!

G 

 

m

 

1

m

 

2

r

 

2

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

Questions

411

Kepler’s laws of planetary motion state that

1. All planets move in elliptical orbits with the Sun at one focus.
2. The radius vector drawn from the Sun to a planet sweeps out equal areas in equal

time intervals.

3. The square of the orbital period of any planet is proportional to the cube of the

semimajor axis of the elliptical orbit.

Kepler’s third law can be expressed as

(13.8)

where M

S

is the mass of the Sun and a is the semimajor axis. For a circular orbit, a can

be replaced in Equation 13.8 by the radius r. Most planets have nearly circular orbits
around the Sun. 

The 

gravitational field at a point in space is defined as the gravitational force expe-

rienced by any test particle located at that point divided by the mass of the test particle:

(13.9)

The  gravitational  force  is  conservative,  and  therefore  a  potential  energy  function

can  be  defined  for  a  system  of  two  objects  interacting  gravitationally.  The 

gravita-

tional potential energy associated with two particles separated by a distance r is

(13.14)

where U is taken to be zero as r : (. The total potential energy for a system of parti-
cles  is  the  sum  of  energies  for  all  pairs  of  particles,  with  each  pair  represented  by  a
term of the form given by Equation 13.14.

If an isolated system consists of an object of mass m moving with a speed v in the

vicinity of a massive object of mass M, the total energy E of the system is the sum of the
kinetic and potential energies:

(13.16)

The total energy is a constant of the motion. If the object moves in an elliptical orbit
of semimajor axis a around the massive object and if M ++ m, the total energy of the
system is

(13.19)

For a circular orbit, this same equation applies with a ! r. The total energy is negative
for any bound system.

The 

escape speed for an object projected from the surface of a planet of mass M

and radius R is

(13.23)

v

 

esc

!

√

2GM

R

E ! "

GMm

2a

E !

1

2

 

mv

 

2

"

GMm

r

U ! "

Gm

 

1

m

 

2

r

g % 

F

g

m

T

 

2

!

!

4%

2

GM

S

"

 

a

 

3

1. If  the  gravitational  force  on  an  object  is  directly  propor-

tional to its mass, why don’t objects with large masses fall
with greater acceleration than small ones? 

2. The gravitational force exerted by the Sun on you is down-

ward into the Earth at night, and upward into the sky dur-
ing the day. If you had a sensitive enough bathroom scale,

Q U E S T I O N S

412

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

would you expect to weigh more at night than during the
day?  Note  also  that  you  are  farther  away  from  the  Sun  at
night than during the day. Would you expect to weigh less?

3. Use  Kepler’s  second  law  to  convince  yourself  that  the

Earth must move faster in its orbit during December, when
it is closest to the Sun, than during June, when it is farthest
from the Sun.

4. The gravitational force that the Sun exerts on the Moon is

about twice as great as the gravitational force that the Earth
exerts  on  the  Moon.  Why  doesn’t  the  Sun  pull  the  Moon
away from the Earth during a total eclipse of the Sun?

5. A satellite in orbit is not truly traveling through a vacuum.

It is moving through very, very thin air. Does the resulting
air friction cause the satellite to slow down?

6. How  would  you  explain  the  fact  that  Jupiter  and  Saturn

have periods much greater than one year?

7. If  a  system  consists  of  five  particles,  how  many  terms  ap-

pear in the expression for the total potential energy? How
many terms appear if the system consists of N particles?

8. Does  the  escape  speed  of  a  rocket  depend  on  its  mass?

Explain.

9. Compare  the  energies  required  to  reach  the  Moon  for  a

10

5

-kg spacecraft and a 10

3

-kg satellite.

Explain  why  it  takes  more  fuel  for  a  spacecraft  to  travel
from the Earth to the Moon than for the return trip. Esti-
mate the difference.

11. A  particular  set  of  directions  forms  the  celestial  equator.  If

you live at 40° north latitude, these directions lie in an arc
across your southern sky, including horizontally east, hori-
zontally west, and south at 50° above the horizontal. In or-
der to enjoy satellite TV, you need to install a dish with an
unobstructed  view  to  a  particular  point  on  the  celestial
equator. Why is this requirement so specific? 
Why  don’t  we  put  a  geosynchronous  weather  satellite
in orbit around the 45th parallel? Wouldn’t this be more

12.

10.

useful in the United States than one in orbit around the
equator?

13. Is  the  absolute  value  of  the  potential  energy  associated

with  the  Earth–Moon  system  greater  than,  less  than,  or
equal  to  the  kinetic  energy  of  the  Moon  relative  to  the
Earth?

14. Explain why no work is done on a planet as it moves in a

circular orbit around the Sun, even though a gravitational
force is acting on the planet. What is the net work done on
a  planet  during  each  revolution  as  it  moves  around  the
Sun in an elliptical orbit?

15. Explain why the force exerted on a particle by a uniform

sphere must be directed toward the center of the sphere.
Would  this  be  the  case  if  the  mass  distribution  of  the
sphere were not spherically symmetric?
At  what  position  in  its  elliptical  orbit  is  the  speed  of  a
planet  a  maximum?  At  what  position  is  the  speed  a
minimum?

17. If  you  are  given  the  mass  and  radius  of  planet  X,  how

would  you  calculate  the  free-fall  acceleration  on  the  sur-
face of this planet?

18. If  a  hole  could  be  dug  to  the  center  of  the  Earth,  would

the force on an object of mass m still obey Equation 13.1
there? What do you think the force on m would be at the
center of the Earth?
In  his  1798  experiment,  Cavendish  was  said  to  have
“weighed the Earth.” Explain this statement. 

20. The  Voyager  spacecraft  was  accelerated  toward  escape

speed from the Sun by Jupiter’s gravitational force exerted
on the spacecraft. How is this possible? 

21. How would you find the mass of the Moon?
22. The Apollo 13 spacecraft developed trouble in the oxygen

system  about  halfway  to  the  Moon.  Why  did  the  mission
continue  on  around  the  Moon,  and  then  return  home,
rather than immediately turn back to Earth?

19.

16.

Section 13.1 Newton’s Law of Universal Gravitation

1. Determine  the  order  of  magnitude  of  the  gravitational

force that you exert on another person 2 m away. In your
solution state the quantities you measure or estimate and
their values.

2. Two ocean liners, each with a mass of 40 000 metric tons,

are  moving  on  parallel  courses,  100 m  apart.  What  is  the
magnitude of the acceleration of one of the liners toward

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

the  other  due  to  their  mutual  gravitational  attraction?
Treat the ships as particles.

3. A  200-kg  object  and  a  500-kg  object  are  separated  by

0.400 m.  (a)  Find  the  net  gravitational  force  exerted  by
these  objects  on  a  50.0-kg  object  placed  midway  between
them.  (b)  At  what  position  (other  than  an  infinitely  re-
mote one) can the 50.0-kg object be placed so as to experi-
ence a net force of zero?

4.

Two objects attract each other with a gravitational force of
magnitude  1.00 # 10

"

8

N  when  separated  by  20.0 cm.  If

the total mass of the two objects is 5.00 kg, what is the mass
of each?

Problem  17  in  Chapter  1  can  also  be  assigned  with  this
section.