Physics For Scientists And Engineers 6E - part 101

SECTION 13.5 •  The Gravitational Field

401

Figure 13.9 (Example 13.5) A satellite of mass m moving

around the Earth in a circular orbit of radius r with constant

speed v. The only force acting on the satellite is the

gravitational force F

g

. (Not drawn to scale.)

h

R

E

m

v

F

g

r

13.5 The Gravitational Field

When Newton published his theory of universal gravitation, it was considered a success
because it satisfactorily explained the motion of the planets. Since 1687 the same the-
ory has been used to account for the motions of comets, the deflection of a Cavendish
balance,  the  orbits  of  binary  stars,  and  the  rotation  of  galaxies.  Nevertheless,  both
Newton’s contemporaries and his successors found it difficult to accept the concept of
a force that acts at a distance, as mentioned in Section 5.1. They asked how it was possi-
ble for two objects to interact when they were not in contact with each other. Newton
himself could not answer that question.

An  approach  to  describing  interactions  between  objects  that  are  not  in  contact

came well after Newton’s death, and it enables us to look at the gravitational interac-
tion in a different way, using the concept of a 

gravitational field that exists at every

point in space. When a particle of mass m is placed at a point where the gravitational

Solving for v and remembering that the distance r from the
center of the Earth to the satellite is r ! R

E

&

h, we obtain

(1)

(B)

If the satellite is to be geosynchronous (that is, appearing

to remain over a fixed position on the Earth), how fast is it
moving through space?

Solution In order to appear to remain over a fixed position
on  the  Earth,  the  period  of  the  satellite  must  be  24 h  and 
the satellite must be in orbit directly over the equator. From
Kepler’s third law (Equation 13.8) with a ! r and M

S

:

M

E

,

we find the radius of the orbit:

Substituting numerical values and noting that the period is
T ! 24 h ! 86 400 s, we find

To find the speed of the satellite, we use Equation (1):

!

To  finalize  this  problem,  it  is  interesting  to  note  that  the
value of r calculated here translates to a height of the satel-

3.07 # 10

3

 m/s

 !

√

(6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

)(5.98 # 10

24

 kg)

4.23 # 10

7

 m

v !

√

GM

E

r

!

4.23 # 10

7

 m

r !

√

3

(6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

)(5.98 # 10

24

 kg)(86 400 s)

2

4%

2

r !

√

3

GM

E

T

 

2

4%

 

2

T

2

!

!

4%

 

2

GM

E

"

 r

 

3

√

GM

E

R

E

&

h

v !

√

GM

E

r

!

lite  above  the  surface  of  the  Earth  of  almost  36 000 km.
Thus, geosynchronous satellites have the advantage of allow-
ing an earthbound antenna to be aimed in a fixed direction,
but there is a disadvantage in that the signals between Earth
and the satellite must travel a long distance. It is difficult to
use geosynchronous satellites for optical observation of the
Earth’s surface because of their high altitude.

What If?

What if the satellite motion in part (A) were taking

place  at  height  h above  the  surface  of  another  planet  more
massive  than  the  Earth  but  of  the  same  radius?  Would  the
satellite be moving at a higher or a lower speed than it does
around the Earth?

Answer If the planet pulls downward on the satellite with
more gravitational force due to its larger mass, the satellite
would have to move with a higher speed to avoid moving to-
ward  the  surface.  This  is  consistent  with  the  predictions  of
Equation (1), which shows that because the speed v is pro-
portional to the square root of the mass of the planet, as the
mass increases, the speed also increases.

You can adjust the altitude of the satellite at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

402

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

field is 

g, the particle experiences a force F

g

!

m

g. In other words, the field exerts a

force on the particle. The gravitational field 

g is defined as

(13.9)

That is, the gravitational field at a point in space equals the gravitational force experi-
enced by a test particle placed at that point divided by the mass of the test particle. No-
tice  that  the  presence  of  the  test  particle  is  not  necessary  for  the  field  to  exist—the
Earth creates the gravitational field. We call the object creating the field the source par-
ticle. (Although the Earth is clearly not a particle, it is possible to show that we can ap-
proximate the Earth as a particle for the purpose of finding the gravitational field that
it creates.) We can detect the presence of the field and measure its strength by placing
a test particle in the field and noting the force exerted on it.

Although the gravitational force is inherently an interaction between two objects,

the concept of a gravitational field allows us to “factor out” the mass of one of the ob-
jects. In essence, we are describing the “effect” that any object (in this case, the Earth)
has on the empty space around itself in terms of the force that would be present if a sec-
ond object were somewhere in that space.

5

As an example of how the field concept works, consider an object of mass m near

the Earth’s surface. Because the gravitational force acting on the object has a magni-
tude GM

E

m/r

2

(see Eq. 13.4), the field 

g at a distance r from the center of the Earth is

(13.10)

where ˆ

r is a unit vector pointing radially outward from the Earth and the negative sign

indicates that the field points toward the center of the Earth, as illustrated in Figure
13.10a.  Note  that  the  field  vectors  at  different  points  surrounding  the  Earth  vary  in
both direction and magnitude. In a small region near the Earth’s surface, the down-
ward  field 

g is  approximately  constant  and  uniform,  as  indicated  in  Figure  13.10b.

Equation 13.10 is valid at all points outside the Earth’s surface, assuming that the Earth
is  spherical.  At  the  Earth’s  surface,  where  r ! R

E

,

g has  a  magnitude  of  9.80 N/kg.

(The unit N/kg is the same as m/s

2

.)

g !

F

g

m

! "

 

GM

E

r

  

2

 

 

rˆ

g % 

F

g

m

5

We shall return to this idea of mass affecting the space around it when we discuss Einstein’s theory

of gravitation in Chapter 39.

Figure 13.10 (a) The gravitational field vectors in the vicinity of a uniform spherical

mass such as the Earth vary in both direction and magnitude. The vectors point in the

direction of the acceleration a particle would experience if it were placed in the field.

The magnitude of the field vector at any location is the magnitude of the free-fall

acceleration at that location. (b) The gravitational field vectors in a small region near

the Earth’s surface are uniform in both direction and magnitude.

(a)

(b)

Gravitational field

SECTION 13.6 •  Gravitational Potential Energy

403

13.6 Gravitational Potential Energy

In Chapter 8 we introduced the concept of gravitational potential energy, which is the
energy associated with the configuration of a system of objects interacting via the gravi-
tational force. We emphasized that the gravitational potential-energy function mgy for a
particle–Earth system is valid only when the particle is near the Earth’s surface, where
the gravitational force is constant. Because the gravitational force between two particles
varies  as  1/r

2

,  we  expect  that  a  more  general  potential-energy  function—one  that  is

valid  without  the  restriction  of  having  to  be  near  the  Earth’s  surface—will  be  signifi-
cantly different from U ! mgy.

Before  we  calculate  this  general  form  for  the  gravitational  potential  energy  func-

tion, let us first verify that the gravitational force is conservative. (Recall from Section 8.3
that a force is conservative if the work it does on an object moving between any two
points is independent of the path taken by the object.) To do this, we first note that the
gravitational force is a central force. By definition, a central force is any force that is di-
rected along a radial line to a fixed center and has a magnitude that depends only on
the radial coordinate r. Hence, a central force can be represented by F(r)ˆ

r where ˆr is a

unit vector directed from the origin toward the particle, as shown in Figure 13.11.

Consider a central force acting on a particle moving along the general path ! to " in

Figure 13.11. The path from ! to " can be approximated by a series of steps according
to  the  following  procedure.  In  Figure  13.11,  we  draw  several  thin  wedges,  which  are
shown as dashed lines. The outer boundary of our set of wedges is a path consisting of
short radial line segments and arcs (gray in the figure). We select the length of the radial
dimension of each wedge such that the short arc at the wedge’s wide end intersects the ac-
tual path of the particle. Then we can approximate the actual path with a series of zigzag
movements that alternate between moving along an arc and moving along a radial line.

By definition, a central force is always directed along one of the radial segments;

therefore, the work done by 

F along any radial segment is

By  definition,  the  work  done  by  a  force  that  is  perpendicular  to  the  displacement  is
zero. Hence, the work done in moving along any arc is zero because 

F is perpendicular

to the displacement along these segments. Therefore, the total work done by 

F is the

sum of the contributions along the radial segments:

where  the  subscripts  i and  f refer  to  the  initial  and  final  positions.  Because  the  inte-
grand is a function only of the radial position, this integral depends only on the initial
and final values of r. Thus, the work done is the same over any path from ! to ". Be-
cause the work done is independent of the path and depends only on the end points,
we conclude that any central force is conservative. We are now assured that a potential en-
ergy function can be obtained once the form of the central force is specified.

Recall from Equation 8.15 that the change in the gravitational potential energy of a

system associated with a given displacement of a member of the system is defined as
the negative of the work done by the gravitational force on that member during the
displacement:

(13.11)

We can use this result to evaluate the gravitational potential energy function. Consider
a  particle  of  mass  m moving  between  two  points  ! and  " above  the  Earth’s  surface
(Fig. 13.12). The particle is subject to the gravitational force given by Equation 13.1.
We can express this force as

F(r) ! "

GM

E

m

r

2

,

U ! U

f

"

U

i

! "

&

r

f

r

i

 

F(r) dr

W !

&

r

f

r

i

 

F(r) dr

dW !

F # d r ! F(r) dr

Figure 13.11 A particle moves

from ! to " while acted on by a

central force F, which is directed

radially. The path is broken into a

series of radial segments and arcs.

Because the work done along the

arcs is zero, the work done is

independent of the path and

depends only on r

f

and r

i

.

O

r

 

i

!

"

r

 

f

F

rˆ

rˆ

Radial segment

Arc

Work done by a central force

Figure 13.12 As a particle of mass

m moves from ! to " above the

Earth’s surface, the gravitational

potential energy changes according

to Equation 13.11.

!

F

g

F

g

"

m

r

f

r

i

M

E

R

E

404

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

where the negative sign indicates that the force is attractive. Substituting this expres-
sion for F(r) into Equation 13.11, we can compute the change in the gravitational po-
tential energy function:

(13.12)

As  always,  the  choice  of  a  reference  configuration  for  the  potential  energy  is  com-
pletely arbitrary. It is customary to choose the reference configuration for zero poten-
tial energy to be the same as that for which the force is zero. Taking U

i

!

0 at r

i

! (

,

we obtain the important result

(13.13)

This  expression  applies  to  the  Earth–particle  system  where  the  particle  is  separated
from the center of the Earth by a distance r, provided that r - R

E

. The result is not

valid  for  particles  inside  the  Earth,  where  r * R

E

.  Because  of  our  choice  of  U

i

,  the

function U is always negative (Fig. 13.13).

Although  Equation  13.13  was  derived  for  the  particle–Earth  system,  it  can  be  ap-

plied to any two particles. That is, the gravitational potential energy associated with any
pair of particles of masses m

1

and m

2

separated by a distance r is

(13.14)

This expression shows that the gravitational potential energy for any pair of particles
varies as 1/r, whereas the force between them varies as 1/r

2

. Furthermore, the poten-

tial energy is negative because the force is attractive and we have taken the potential
energy as zero when the particle separation is infinite. Because the force between the
particles is attractive, we know that an external agent must do positive work to increase
the  separation  between  them.  The  work  done  by  the  external  agent  produces  an  in-
crease  in  the  potential  energy  as  the  two  particles  are  separated.  That  is,  U becomes
less negative as r increases.

When  two  particles  are  at  rest  and  separated  by  a  distance  r,  an  external  agent 

has  to  supply  an  energy  at  least  equal  to &Gm

1

m

2

/r in  order  to  separate  the  parti-

cles  to  an  infinite  distance.  It  is  therefore  convenient  to  think  of  the  absolute  value 
of  the  potential  energy  as  the  binding  energy of  the  system.  If  the  external  agent  sup-
plies an energy greater than the binding energy, the excess energy of the system will be
in  the  form  of  kinetic  energy  of  the  particles  when  the  particles  are  at  an  infinite 
separation.

We can extend this concept to three or more particles. In this case, the total poten-

tial energy of the system is the sum over all pairs of particles.

6

Each pair contributes a

term of the form given by Equation 13.14. For example, if the system contains three
particles, as in Figure 13.14, we find that

(13.15)

The absolute value of U

total

represents the work needed to separate the particles by an

infinite distance.

U

total

!

U

12

&

U

13

&

U

23

! "

G

 

!

m

1

m

2

r

12

&

m

1

m

3

r

13

&

m

2

m

3

r

23

"

U ! "

Gm

1

m

2

r

U(r) ! "

GM

E

m

r

U

f

"

U

i

! "

GM

E

m 

!

1
r

f

"

1
r

i

"

U

f

"

U

i

!

GM

E

m 

&

r

f

r

i

 

dr
r

 

2

!

GM

E

m 

'

"

1

r

(

r

f

r

i

Gravitational potential energy

of the Earth–particle system for

r ! R

E

6

The  fact  that  potential  energy  terms  can  be  added  for  all  pairs  of  particles  stems  from  the

experimental fact that gravitational forces obey the superposition principle.

Figure 13.13 Graph of the

gravitational potential energy U

versus r for an object above the

Earth’s surface. The potential

energy goes to zero as r approaches

infinity.

Earth

R

 

E

O

GM

E

m

U

r

R

 

E

M

E

–

Figure 13.14 Three interacting

particles.

1

2

3

r

 

13

r

 

12

r

 

23