Physics For Scientists And Engineers 6E - part 99

SECTION 13.2 •  Measuring the Gravitational Constant

393

13.2 Measuring the Gravitational Constant

The  universal  gravitational  constant  G was  measured  in  an  important  experiment  by
Henry Cavendish (1731–1810) in 1798. The Cavendish apparatus consists of two small
spheres, each of mass m, fixed to the ends of a light horizontal rod suspended by a fine
fiber or thin metal wire, as illustrated in Figure 13.4. When two large spheres, each of
mass  M,  are  placed  near  the  smaller  ones,  the  attractive  force  between  smaller  and
larger spheres causes the rod to rotate and twist the wire suspension to a new equilib-
rium orientation. The angle of rotation is measured by the deflection of a light beam
reflected from a mirror attached to the vertical suspension. The deflection of the light
beam is an effective technique for amplifying the motion. The experiment is carefully
repeated with different masses at various separations. In addition to providing a value

Example 13.1 Billiards, Anyone?

Three 0.300-kg billiard balls are placed on a table at the cor-
ners  of  a  right  triangle,  as  shown  in  Figure  13.3.  Calculate
the  gravitational  force  on  the  cue  ball  (designated  m

1

)  re-

sulting from the other two balls.

Solution First we calculate separately the individual forces
on the cue ball due to the other two balls, and then we find
the  vector  sum  to  obtain  the  resultant  force.  We  can  see
graphically that this force should point upward and toward
the right. We locate our coordinate axes as shown in Figure
13.3, placing our origin at the position of the cue ball.

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can move balls 2 and 3 to see the effect on the

net gravitational force on ball 1.

Quick Quiz 13.2

A planet has two moons of equal mass. Moon 1 is in a circu-

lar orbit of radius r. Moon 2 is in a circular orbit of radius 2r. The magnitude of the
gravitational force exerted by the planet on moon 2 is (a) four times as large as that on
moon 1 (b) twice as large as that on moon 1 (c) equal to that on moon 1 (d) half as
large as that on moon 1 (e) one fourth as large as that on moon 1.

Interactive

0.400 m

m

2

0.500 m

m

1

0.300 m

m

3

F

21

F

F

31

x

y

θ

Figure  13.3 (Example  13.1)  The  resultant  gravitational  force

acting on the cue ball is the vector sum F

21

&

F

31

.

The  force  exerted  by  m

2

on  the  cue  ball  is  directed 

upward and is given by

This  result  shows  that  the  gravitational  forces  between

everyday  objects  have  extremely  small  magnitudes.  The
force exerted by m

3

on the cue ball is directed to the right:

Therefore, the net gravitational force on the cue ball is

and the magnitude of this force is

From tan ' ! 3.75/6.67 ! 0.562, the direction of the net grav-
itational force is ' ! 29.3° counterclockwise from the x axis.

 ! 7.65 # 10

"

11

 N

F !

√

F

21

 

2

&

F

31

 

2

!

√

(3.75)

2

&

(6.67)

2

#

10

"

11

 N

(6.67ˆ

i & 3.75ˆj) # 10

"

11

 N

F ! F

21

&

F

31

!

 ! 6.67 # 10

"

11

 

iˆ N

 ! (6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

) 

(0.300 kg)(0.300 kg)

(0.300 m)

2

 iˆ

F

31

 ! G 

 

m

 

3

m

 

1

r

31

 

2

 

  

iˆ

 ! 3.75 # 10

"

11

 jˆ N

 ! (6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

) 

(0.300 kg)(0.300 kg)

(0.400 m)

2

 jˆ

F

21 

!

G 

m

2

m

1

r

21

 

2

 

 

jˆ

Mirror

r

m

M

Light

source

Figure 13.4 Cavendish apparatus

for measuring G. The dashed line

represents the original position of

the rod.

394

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

for G, the results show experimentally that the force is attractive, proportional to the
product mM, and inversely proportional to the square of the distance r.

13.3 Free-Fall Acceleration and 

the Gravitational Force

In Chapter 5, when defining mg as the weight of an object of mass m, we referred to g as
the magnitude of the free-fall acceleration. Now we are in a position to obtain a more fun-
damental description of g. Because the magnitude of the force acting on a freely falling
object of mass m near the Earth’s surface is given by Equation 13.4, we can equate mg to
this force to obtain

(13.5)

Now consider an object of mass m located a distance h above the Earth’s surface or

a distance r from the Earth’s center, where r ! R

E

&

h. The magnitude of the gravita-

tional force acting on this object is

The  magnitude  of  the  gravitational  force  acting  on  the  object  at  this  position  is  also
F

g

!

mg, where g is the value of the free-fall acceleration at the altitude h. Substituting

this expression for F

g

into the last equation shows that g is

(13.6)

Thus, it follows that g decreases with increasing altitude. Because the weight of an object is
mg, we see that as r : (, its weight approaches zero.

g !

GM

E

r

2

!

GM

E

(R

E

&

h)

2

F

g

!

G 

M

E

m

r

 

2

!

G 

M

E

m

(R

E

&

h)

2

 g ! G 

M

E

R

E

 

2

m g ! G 

M

E

m

R

E

 

2

Variation of g with altitude

Astronauts F. Story Musgrave and Jeffrey A. Hoffman, along with the Hubble Space

Telescope and the space shuttle Endeavor, are all in free fall while orbiting the Earth.

Courtesy NASA

SECTION 13.3 •  Free-Fall Acceleration and the Gravitational Force

395

Example 13.2 Variation of g with Altitude h

The  International  Space  Station  operates  at  an  altitude  of
350 km. When final construction is completed, it will have a
weight  (measured  at  the  Earth’s  surface)  of  4.22 # 10

6

N.

What is its weight when in orbit?

Solution We first find the mass of the space station from its
weight at the surface of the Earth:

This mass is fixed—it is independent of the location of the
space  station.  Because  the  station  is  above  the  surface  of 
the  Earth,  however,  we  expect  its  weight  in  orbit  to  be  less 
than  its  weight  on  the  Earth.  Using  Equation  13.6  with
h ! 350 km, we obtain

Because this value is about 90% of the value of g at the Earth
surface,  we  expect  that  the  weight  of  the  station  at  an  alti-
tude  of  350 km  is  90%  of  the  value  at  the  Earth’s  surface.

   ! 8.83 m/s

2

   !

(6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

)(5.98 # 10

24

 kg)

(6.37 # 10

6

 m & 0.350 # 10

6

 m)

2

g !

GM

E

(R

E

&

h)

2

m !

F

g

g

!

4.22 # 10

6

 N

9.80 m/s

2

!

4.31 # 10

5

 kg

Quick  Quiz  13.3

Superman  stands  on  top  of  a  very  tall  mountain  and

throws a baseball horizontally with a speed such that the baseball goes into a circular
orbit  around  the  Earth.  While  the  baseball  is  in  orbit,  the  acceleration  of  the  ball
(a) depends on how fast the baseball is thrown (b) is zero because the ball does not fall
to the ground (c) is slightly less than 9.80 m/s

2

(d) is equal to 9.80 m/s

2

.

Example 13.3 The Density of the Earth

Using  the  known  radius  of  the  Earth  and  the  fact  that
g ! 9.80 m/s

2

at  the  Earth’s  surface,  find  the  average  den-

sity of the Earth.

Solution From Eq. 1.1, we know that the average density is

where M

E

is the mass of the Earth and V

E

is its volume.

From Equation 13.5, we can relate the mass of the Earth

to the value of g :

Substituting this into the definition of density, we obtain

)

E 

!

M

E

V

E

!

(gR

E

 

 

2

/G)

4

3

 

%

R

E

 

3

!

3

4

  

g

%

GR

E

g ! G 

M

E

R

E

 

2

  9:  M

E

!

gR

E

 

2

G

) !

M

E

V

E

!

What  If?

What  if  you  were  told  that  a  typical  density  of

granite  at  the  Earth’s  surface  were  2.75 # 10

3

kg/m

3

—what

would you conclude about the density of the material in the
Earth’s interior?

Answer Because this value is about half the density that we
calculated  as  an  average  for  the  entire  Earth,  we  conclude
that the inner core of the Earth has a density much higher
than the average value. It is most amazing that the Cavendish
experiment, which determines G and can be done on a table-
top,  combined  with  simple  free-fall  measurements  of g pro-
vides information about the core of the Earth! 

5.51 # 10

3

 kg/m

3

!

3

4

 

 

9.80 m/s

2

%

(6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

)(6.37 # 10

6

 m)

Altitude h (km)

g (m/s

2

)

1 000

7.33

2 000

5.68

3 000

4.53

4 000

3.70

5 000

3.08

6 000

2.60

7 000

2.23

8 000

1.93

9 000

1.69

10 000

1.49

50 000

0.13

(

0

Free-Fall Acceleration g at 
Various Altitudes 
Above the Earth’s Surface

Table 13.1

Using  the  value  of  g at  the  location  of  the  station,  the  sta-
tion’s weight in orbit is 

Values of g at other altitudes are listed in Table 13.1.

3.80 # 10

6

 N

 mg ! (4.31 # 10

5

 kg)(8.83 m/s

2

) !

396

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

13.4 Kepler’s Laws and the Motion of Planets

People have observed the movements of the planets, stars, and other celestial objects
for thousands of years. In early history, scientists regarded the Earth as the center of
the Universe. This so-called geocentric model was elaborated and formalized by the Greek
astronomer  Claudius  Ptolemy  (c. 100–c. 170)  in  the  second  century 

A

.

D

. and  was  ac-

cepted  for  the  next  1 400  years.  In  1543  the  Polish  astronomer  Nicolaus  Copernicus
(1473–1543) suggested that the Earth and the other planets revolved in circular orbits
around the Sun (the heliocentric model ).

The  Danish  astronomer  Tycho  Brahe  (1546–1601)  wanted  to  determine  how  the

heavens  were  constructed,  and  thus  he  developed  a  program  to  determine  the  posi-
tions of both stars and planets. It is interesting to note that those observations of the
planets and 777 stars visible to the naked eye were carried out with only a large sextant
and a compass. (The telescope had not yet been invented.)

The  German  astronomer  Johannes  Kepler  was  Brahe’s  assistant  for  a  short  while

before  Brahe’s  death,  whereupon  he  acquired  his  mentor’s  astronomical  data  and
spent 16 years trying to deduce a mathematical model for the motion of the planets.
Such data are difficult to sort out because the Earth is also in motion around the Sun.
After many laborious calculations, Kepler found that Brahe’s data on the revolution of
Mars around the Sun provided the answer.

Kepler’s complete analysis of planetary motion is summarized in three statements

known as 

Kepler’s laws:

We discuss each of these laws below.

Kepler’s First Law

We are familiar with circular orbits of objects around gravitational force centers from
our  discussions  in  this  chapter.  Kepler’s  first  law  indicates  that  the  circular  orbit  is  a
very special case and elliptical orbits are the general situation. This was a difficult no-
tion for scientists of the time to accept, because they felt that perfect circular orbits of
the planets reflected the perfection of heaven.

Figure 13.5 shows the geometry of an ellipse, which serves as our model for the el-

liptical orbit of a planet. An ellipse is mathematically defined by choosing two points F

1

and F

2

, each of which is a called a 

focus, and then drawing a curve through points for

which the sum of the distances r

1

and r

2

from F

1

and F

2

, respectively, is a constant. The

longest  distance  through  the  center  between  points  on  the  ellipse  (and  passing
through both foci) is called the 

major axis, and this distance is 2a. In Figure 13.5, the

major axis is drawn along the x direction. The distance a is called the 

semimajor axis.

Similarly,  the  shortest  distance  through  the  center  between  points  on  the  ellipse  is
called the 

minor axis of length 2b, where the distance b is the semiminor axis. Either

focus  of  the  ellipse  is  located  at  a  distance  c from  the  center  of  the  ellipse,  where
a

2

!

b

2

&

c

2

. In the elliptical orbit of a planet around the Sun, the Sun is at one focus

of the ellipse. There is nothing at the other focus.

The 

eccentricity of an ellipse is defined as e ! c/a and describes the general shape

of the ellipse. For a circle, c ! 0, and the eccentricity is therefore zero. The smaller b is
than a, the shorter the ellipse is along the y direction compared to its extent in the x
direction  in  Figure  13.5.  As  b decreases,  c increases,  and  the  eccentricity  e increases.

Johannes Kepler

German astronomer
(1571–1630)

The German astronomer Kepler

is best known for developing the

laws of planetary motion based

on the careful observations of

Tycho Brahe. (Art Resource)

Kepler’s laws

1. All planets move in elliptical orbits with the Sun at one focus.
2. The  radius  vector  drawn  from  the  Sun  to  a  planet  sweeps  out  equal  areas  in

equal time intervals.

3. The square of the orbital period of any planet is proportional to the cube of the

semimajor axis of the elliptical orbit.

a

c

b

F

2

F

1

r

1

r

2

y

x

Active  Figure  13.5 Plot  of  an

ellipse.  The  semimajor  axis  has

length  a,  and  the  semiminor  axis

has  length  b.  Each  focus  is  located

at  a  distance  c from  the  center  on

each side of the center.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can move the focal points or

enter values for a, b, c, and e to

see the resulting elliptical

shape.