Physics For Scientists And Engineers 6E - part 98

Universal Gravitation

C H A P T E R   O U T L I N E

13.1 Newton’s Law of Universal

Gravitation

13.2 Measuring the Gravitational

Constant

13.3 Free-Fall Acceleration and the

Gravitational Force

13.4 Kepler’s Laws and the Motion

of Planets

13.5 The Gravitational Field

13.6 Gravitational Potential Energy

13.7 Energy Considerations in

Planetary and Satellite Motion

▲

An understanding of the law of universal gravitation has allowed scientists to send

spacecraft on impressively accurate journeys to other parts of our solar system. This photo of
a volcano on Io, a moon of Jupiter, was taken by the Galileo spacecraft, which has been
orbiting Jupiter since 1995. The red material has been vented from below the surface. 
(Univ. of Arizona/JPL/NASA)

Chapter 13

389

390

B

efore 1687, a large amount of data had been collected on the motions of the Moon

and the planets, but a clear understanding of the forces related to these motions was
not available. In that year, Isaac Newton provided the key that unlocked the secrets of
the heavens. He knew, from his first law, that a net force had to be acting on the Moon
because without such a force the Moon would move in a straight-line path rather than
in its almost circular orbit. Newton reasoned that this force was the gravitational attrac-
tion  exerted  by  the  Earth  on  the  Moon.  He  realized  that  the  forces  involved  in  the
Earth–Moon attraction and in the Sun–planet attraction were not something special to
those systems, but rather were particular cases of a general and universal attraction be-
tween objects. In other words, Newton saw that the same force of attraction that causes
the Moon to follow its path around the Earth also causes an apple to fall from a tree.
As he put it, “I deduced that the forces which keep the planets in their orbs must be
reciprocally as the squares of their distances from the centers about which they revolve;
and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her orb with the force
of gravity at the surface of the Earth; and found them answer pretty nearly.”

In this chapter we study the law of universal gravitation. We emphasize a descrip-

tion of planetary motion because astronomical data provide an important test of this
law’s validity. We then show that the laws of planetary motion developed by Johannes
Kepler follow from the law of universal gravitation and the concept of conservation of
angular  momentum.  We  conclude  by  deriving  a  general  expression  for  gravitational
potential energy and examining the energetics of planetary and satellite motion. 

13.1 Newton’s Law of Universal Gravitation

You may have heard the legend that Newton was struck on the head by a falling apple
while napping under a tree. This alleged accident supposedly prompted him to imag-
ine that perhaps all objects in the Universe were attracted to each other in the same
way  the  apple  was  attracted  to  the  Earth.  Newton  analyzed  astronomical  data  on  the
motion of the Moon around the Earth. From that analysis, he made the bold assertion
that the force law governing the motion of planets was the same as the force law that at-
tracted a falling apple to the Earth. This was the first time that “earthly” and “heavenly”
motions were unified. We shall look at the mathematical details of Newton’s analysis in
this section.

In 1687 Newton published his work on the law of gravity in his treatise Mathematical

Principles of Natural Philosophy.

Newton’s law of universal gravitation states that

The law of universal gravitation

every particle in the Universe attracts every other particle with a force that is directly
proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square
of the distance between them.

SECTION 13.1 •  Newton’s Law of Universal Gravitation

391

If the particles have masses m

1

and m

2

and are separated by a distance r, the magnitude

of this gravitational force is

(13.1)

where G is a constant, called the universal gravitational constant, that has been measured
experimentally. Its value in SI units is

(13.2)

The form of the force law given by Equation 13.1 is often referred to as an 

inverse-

square law because the magnitude of the force varies as the inverse square of the sepa-
ration of the particles.

1

We shall see other examples of this type of force law in subse-

quent chapters. We can express this force in vector form by defining a unit vector ˆ

r

12

(Fig. 13.1). Because this unit vector is directed from particle 1 toward particle 2, the
force exerted by particle 1 on particle 2 is

(13.3)

where the negative sign indicates that particle 2 is attracted to particle 1, and hence the
force on particle 2 must be directed toward particle 1. By Newton’s third law, the force ex-
erted by particle 2 on particle 1, designated 

F

21

, is equal in magnitude to 

F

12

and in the

opposite direction. That is, these forces form an action–reaction pair, and 

F

21

! "

F

12

.

Several features of Equation 13.3 deserve mention. The gravitational force is a field

force that always exists between two particles, regardless of the medium that separates
them. Because the force varies as the inverse square of the distance between the parti-
cles, it decreases rapidly with increasing separation. 

Another important point that we can show from Equation 13.3 is that 

the gravita-

tional force exerted by a finite-size, spherically symmetric mass distribution on
a particle outside the distribution is the same as if the entire mass of the distri-
bution  were  concentrated  at  the  center. For example, the magnitude of the force
exerted by the Earth on a particle of mass m near the Earth’s surface is

(13.4)

where M

E

is the Earth’s mass and R

E

its radius. This force is directed toward the center

of the Earth.

In  formulating  his  law  of  universal  gravitation,  Newton  used  the  following  reason-

ing, which supports the assumption that the gravitational force is proportional to the in-
verse  square  of  the  separation  between  the  two  interacting  objects.  He  compared  the
acceleration of the Moon in its orbit with the acceleration of an object falling near the
Earth’s surface, such as the legendary apple (Fig. 13.2). Assuming that both accelera-
tions  had  the  same  cause—namely,  the  gravitational  attraction  of  the  Earth—Newton
used  the  inverse-square  law  to  reason  that  the  acceleration  of  the  Moon  toward  the
Earth (centripetal acceleration) should be proportional to 1/r

M

2

, where r

M

is the dis-

tance between the centers of the Earth and the Moon. Furthermore, the acceleration of
the apple toward the Earth should be proportional to 1/R

a

2

, where R

a

is the distance

between the centers of the Earth and the apple. Because the apple is located at the sur-
face of the earth, R

a

!

R

E

, the radius of the Earth. Using the values r

M

!

3.84 # 10

8

m

and R

E

!

6.37 # 10

6

m, Newton predicted that the ratio of the Moon’s acceleration a

M

to the apple’s acceleration g would be

a

M

g

!

(1/r

M

)

2

(1/R

E

)

2

!

!

R

E

r

M

"

2

!

!

6.37 # 10

6

 m

3.84 # 10

8

 m

"

2

!

2.75 # 10

"

4

F

g

!

G 

 

M

E

m

R

E

 

2

F

12

! "

G 

 

m

1

m

2

r

 

2

 

 

rˆ

12

G ! 6.673 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

F

g

!

G 

 

m

1

m

2

r

 

2

1

An  inverse proportionality  between  two  quantities  x and  y is  one  in  which  y ! k/x,  where  k is  a

constant. A direct proportion between x and y exists when y ! kx.

m

1

m

2

r

rˆ

F

21

F

12

12

Active Figure 13.1 The

gravitational force between two

particles is attractive. The unit vector

rˆ

12

is directed from particle 1 toward

particle 2. Note that F

21

! "

F

12

.

At the Active Figures link

at http://www/pse6.com, you

can change the masses of the

particles and the separation

distance between the particles

to see the effect on the

gravitational force.

▲

PITFALL PREVENTION

13.1 Be Clear on g and G

The symbol g represents the mag-
nitude  of  the  free-fall  accelera-
tion near a planet. At the surface
of  the  Earth,  g has  the  value
9.80 m/s

2

. On the other hand, G

is  a  universal  constant  that  has
the same value everywhere in the
Universe.

392

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

Therefore, the centripetal acceleration of the Moon is

Newton also calculated the centripetal acceleration of the Moon from a knowledge

of  its  mean  distance  from  the  Earth  and  the  known  value  of  its  orbital  period,
T ! 27.32 days ! 2.36 # 10

6

s. In a time interval T, the Moon travels a distance 2%r

M

,

which equals the circumference of its orbit. Therefore, its orbital speed is 2%r

M

/T and

its centripetal acceleration is

The nearly perfect agreement between this value and the value Newton obtained using
g provides strong evidence of the inverse-square nature of the gravitational force law.

Although these results must have been very encouraging to Newton, he was deeply

troubled by an assumption he made in the analysis. To evaluate the acceleration of an
object at the Earth’s surface, Newton treated the Earth as if its mass were all concen-
trated at its center. That is, he assumed that the Earth acted as a particle as far as its
influence on an exterior object was concerned. Several years later, in 1687, on the ba-
sis of his pioneering work in the development of calculus, Newton proved that this as-
sumption was valid and was a natural consequence of the law of universal gravitation.

We have evidence that the gravitational force acting on an object is directly propor-

tional to its mass from our observations of falling objects, discussed in Chapter 2. All
objects, regardless of mass, fall in the absence of air resistance at the same acceleration
g near the surface of the Earth. According to Newton’s second law, this acceleration is
given by g ! F

g

/m, where m is the mass of the falling object. If this ratio is to be the

same for all falling objects, then F

g

must be directly proportional to m, so that the mass

cancels in the ratio. If we consider the more general situation of a gravitational force
between any two objects with mass, such as two planets, this same argument can be ap-
plied to show that the gravitational force is proportional to one of the masses. We can
choose either of the masses in the argument, however; thus, the gravitational force must
be directly proportional to both masses, as can be seen in Equation 13.3.

 ! 2.72 # 10

"

3

 m/s

2

a

M 

!

v

2

r

M

!

(2%r

M

/T)

2

r

M

!

4%

2

r

M

T

  

2

!

4%

2

(3.84 # 10

8

 m)

(2.36 # 10

6

 s)

2

a

M

!

(2.75 # 10

"

4

)(9.80 m/s

2

) ! 2.70 # 10

"

3

 m/s

2

Figure 13.2 As it revolves around the

Earth, the Moon experiences a

centripetal acceleration a

M

directed

toward the Earth. An object near the

Earth’s surface, such as the apple shown

here, experiences an acceleration g.

(Dimensions are not to scale.) 

R

E

Moon

v

a

M

r

M

Earth

g

Quick  Quiz  13.1

The  Moon  remains  in  its  orbit  around  the  Earth  rather

than falling to the Earth because (a) it is outside of the gravitational influence of the
Earth (b) it is in balance with the gravitational forces from the Sun and other planets
(c) the net force on the Moon is zero (d) none of these (e) all of these.