Physics For Scientists And Engineers 6E - part 97

Problems

385

54.

Consider the rectangular cabinet of Problem 53, but with
a force F applied horizontally at the upper edge. (a) What
is the minimum force required to start to tip the cabinet?
(b)  What  is  the  minimum  coefficient  of  static  friction  re-
quired for the cabinet not to slide with the application of a
force  of  this  magnitude?  (c)  Find  the  magnitude  and  di-
rection of the minimum force required to tip the cabinet
if the point of application can be chosen anywhere on the
cabinet.

A  uniform  beam  of  mass  m is  inclined  at  an  angle  )

to the  horizontal.  Its  upper  end  produces  a  ninety-
degree  bend  in  a  very  rough  rope  tied  to  a  wall,  and
its lower end rests on a rough floor (Fig. P12.55). (a) If
the  coefficient  of  static  friction  between  beam  and
floor is  +

s

,  determine  an  expression  for  the  maximum

mass  M that  can  be  suspended  from  the  top  before  the
beam slips. (b) Determine the magnitude of the reaction
force  at  the  floor  and  the  magnitude  of  the  force
exerted by the beam on the rope at P in terms of m, M,
and +

s

.

55.

56.

Figure P12.56 shows a truss that supports a downward force
of 1 000 N applied at the point B. The truss has negligible
weight. The piers at A and C are smooth. (a) Apply the con-
ditions  of  equilibrium  to  prove  that  n

A

!

366 N  and

n

C

!

634 N. (b) Show that, because forces act on the light

truss only at the hinge joints, each bar of the truss must ex-
ert on each hinge pin only a force along the length of that
bar—a force of tension or compression. (c) Find the force
of tension or of compression in each of the three bars.

A stepladder of negligible weight is constructed as shown

in Figure P12.57. A painter of mass 70.0 kg stands on the
ladder 3.00 m from the bottom. Assuming the floor is fric-
tionless, find (a) the tension in the horizontal bar connect-
ing the two halves of the ladder, (b) the normal forces at A

57.

Figure P12.55

Figure P12.56

1000 N

B

C

A

10.0 

m

n

C

n

A

30.0

° 45.0°

Figure P12.57

2.00 m

2.00 m

3.00 m

A

2.00 m

B

C

Figure P12.52

point two thirds of the way up the spine, maintains the po-
sition  of  the  back.  The  angle  between  the  spine  and  this
muscle is 12.0°. Find the tension in the back muscle and
the compressional force in the spine.

52.

A uniform rod of weight F

g

and length L is supported at its

ends  by  a  frictionless  trough  as  shown  in  Figure  P12.52.
(a)  Show  that  the  center  of  gravity  of  the  rod  must  be
vertically  over  point  O when  the  rod  is  in  equilibrium.
(b) Determine the equilibrium value of the angle ).

O

60.0

°

30.0

°

θ

A  force  acts  on  a  rectangular  cabinet  weighing  400 N,  as 

in  Figure  P12.53.  (a)  If  the  cabinet  slides  with  constant
speed  when  F ! 200 N  and  h ! 0.400 m,  find  the  coeffi-
cient  of  kinetic  friction  and  the  position  of  the  resultant
normal  force.  (b)  If  F ! 300 N,  find  the  value  of  h for
which the cabinet just begins to tip.

53.

Figure P12.53 Problems 53 and 54.

h

37.0

°

w = 60.0 cm

!

 = 100 cm

F

P

m

θ

M

386

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

and B, and (c) the components of the reaction force at the
single hinge C that the left half of the ladder exerts on the
right  half.  (Suggestion: Treat  the  ladder  as  a  single  object,
but also each half of the ladder separately.)

58. A  flat  dance  floor  of  dimensions  20.0 m  by  20.0 m  has  a

mass  of  1 000 kg.  Three  dance  couples,  each  of  mass
125 kg, start in the top left, top right, and bottom left cor-
ners.  (a)  Where  is  the  initial  center  of  gravity?  (b)  The
couple  in  the  bottom  left  corner  moves  10.0 m  to  the
right. Where is the new center of gravity? (c) What was the
average velocity of the center of gravity if it took that cou-
ple 8.00 s to change positions?

59.

A  shelf  bracket  is  mounted  on  a  vertical  wall  by  a  single
screw, as shown in Figure P12.59. Neglecting the weight of
the  bracket,  find  the  horizontal  component  of  the  force
that the screw exerts on the bracket when an 80.0 N verti-
cal  force  is  applied  as  shown.  (Hint: Imagine  that  the
bracket is slightly loose.)

Review problem. A wire of length L, Young’s modulus

Y,  and  cross-sectional  area  A is  stretched  elastically  by  an
amount  .L.  By  Hooke’s  law  (Section  7.4),  the  restoring
force is ' k .L. (a) Show that k ! YA/L. (b) Show that the

61.

60.

Figure P12.60 shows a vertical force applied tangentially to
a  uniform  cylinder  of  weight  F

g

.  The  coefficient  of  static

friction  between  the  cylinder  and  all  surfaces  is  0.500.  In
terms of F

g

, find the maximum force P that can be applied

that does not cause the cylinder to rotate. (Hint: When the
cylinder is on the verge of slipping, both friction forces are
at their maximum values. Why?)

62.

Two racquetballs are placed in a glass jar, as shown in Fig-
ure P12.62. Their centers and the point A lie on a straight
line. (a) Assume that the walls are frictionless, and deter-
mine P

1

, P

2

, and P

3

. (b) Determine the magnitude of the

force  exerted  by  the  left  ball  on  the  right  ball.  Assume
each ball has a mass of 170 g.

Figure P12.59

80.0 N

5.00 cm

3.00 cm

6.00 cm

Figure P12.60

P

Figure P12.62

P

3

P

2

P

1

A

Figure P12.63

F

g1

F

g 2

2.00 m

work done in stretching the wire by an amount .L is

W !  

1

2

 

YA(

∆L)

2

/L  

63. In exercise physiology studies it is sometimes important to

determine the location of a person’s center of mass. This
can  be  done  with  the  arrangement  shown  in  Figure
P12.63. A light plank rests on two scales, which give read-
ings of F

g1

!

380 N and F

g 2

!

320 N. The scales are sepa-

rated by a distance of 2.00 m. How far from the woman’s
feet is her center of mass?

64.

A steel cable 3.00 cm

2

in cross-sectional area has a mass of

2.40 kg per meter of length. If 500 m of the cable is hung
over  a  vertical  cliff,  how  much  does  the  cable  stretch 
under its own weight? Y

steel

!

2.00 - 10

11

N/m

2

.

(a) Estimate the force with which a karate master strikes a

board if the hand’s speed at time of impact is 10.0 m/s, de-
creasing  to  1.00 m/s  during  a  0.002 00-s  time-of-contact
with the board. The mass of his hand and arm is 1.00 kg.
(b)  Estimate  the  shear  stress  if  this  force  is  exerted  on  a
1.00-cm-thick  pine  board  that  is  10.0 cm  wide.  (c)  If  the
maximum  shear  stress  a  pine  board  can  support  before
breaking is 3.60 - 10

6

N/m

2

, will the board break?

65.

Problems

387

66.

A bucket is made from thin sheet metal. The bottom and
top  of  the  bucket  have  radii  of  25.0 cm  and  35.0 cm, 
respectively.  The  bucket  is  30.0 cm  high  and  filled  with 
water.  Where  is  the  center  of  gravity?  (Ignore  the  weight 
of the bucket itself.)

67.

Review  problem. An  aluminum  wire  is  0.850 m  long  and
has a circular cross section of diameter 0.780 mm. Fixed at
the top end, the wire supports a 1.20-kg object that swings
in  a  horizontal  circle.  Determine  the  angular  velocity  re-
quired to produce a strain of 1.00 - 10

'

3

.

68.

A bridge truss extends 200 m across a river (Fig. P12.68).
The  structure  is  free  to  slide  horizontally  to  permit  ther-
mal expansion. The structural components are connected
by  pin  joints,  and  the  masses  of  the  bars  are  small  com-
pared with the mass of a 1 360-kg car at the center. Calcu-
late the force of tension or compression in each structural
component.

whether  each  structural  component  is  under  tension  or
compression and find the force in each.

70.

Review  problem. A  cue  strikes  a  cue  ball  and  delivers  a
horizontal impulse in such a way that the ball rolls without
slipping as it starts to move. At what height above the ball’s
center  (in  terms  of  the  radius  of  the  ball)  was  the  blow
struck?

71.

Review problem. A trailer with loaded weight F

g

is being

pulled  by  a  vehicle  with  a  force  P,  as  in  Figure  P12.71.
The  trailer  is  loaded  such  that  its  center  of  mass  is
located as  shown.  Neglect  the  force  of  rolling  friction
and let a represent the x component of the acceleration
of  the trailer.  (a)  Find  the  vertical  component  of  P in
terms of the given parameters. (b) If a ! 2.00 m/s

2

and

h ! 1.50 m,  what  must  be  the  value  of  d in  order  that
P

y

!

0  (no  vertical  load  on  the  vehicle)?  (c)  Find  the

values of P

x

and P

y

given that F

g

!

1 500 N, d ! 0.800 m,

L ! 3.00 m, h ! 1.50 m, and a ! ' 2.00 m/s

2

.

69.

A bridge truss extends 100 m across a river (Fig. P12.69).
The  structure  is  free  to  slide  horizontally  to  permit  ther-
mal expansion. The structural components are connected
by  pin  joints,  and  the  masses  of  the  bars  are  small  com-
pared  with  the  mass  of  a  1 500-kg  car  halfway  between
points A and C. Show that the weight of the car is in effect
equally  distributed  between  points  A and  C.  Specify

Figure P12.71

d

L

×

n

h

P

CM

F

g

Figure P12.73

d

R

CM

h

Figure P12.69

30

°

60

°

30

°

A

E

B

D

C

100 m

60

°

Figure P12.68

40

°

40

°

40

°

A

E

B

D

C

200 m

40

°

72.

Review problem. A bicycle is traveling downhill at a high
speed.  Suddenly,  the  cyclist  sees  that  a  bridge  ahead  has
collapsed, so she has to stop. What is the maximum magni-
tude of acceleration the bicycle can have if it is not to flip
over its front wheel—in particular, if its rear wheel is not
to  leave  the  ground?  The  slope  makes  an  angle  of  20.0°
with the horizontal. On level ground, the center of mass of
the  woman–bicycle  system  is  at  a  point  1.05 m  above  the
ground, 65.0 cm horizontally behind the axle of the front
wheel, and 35.0 cm in front of the rear axle. Assume that
the tires do not skid.

73.

Review problem. A car moves with speed v on a horizontal
circular  track  of  radius  R.  A  head-on  view  of  the  car  is
shown in Figure P12.73. The height of the car’s center of
mass above the ground is h, and the separation between its
inner and outer wheels is d. The road is dry, and the car
does not skid. Show that the maximum speed the car can

388

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

have without overturning is given by

To  reduce  the  risk  of  rollover,  should  one  increase  or 
decrease h? Should one increase or decrease the width d
of the wheel base?

Answers to Quick Quizzes

12.1 (a). The unbalanced torques due to the forces in Figure

12.2  cause  an  angular  acceleration  even  though  the  lin-
ear acceleration is zero.

12.2 (b). Notice that the lines of action of all the forces in Fig-

ure  12.3  intersect  at  a  common  point.  Thus,  the
net torque about this point is zero. This zero value of the

v

max

!

√

gRd

2h

net torque is independent of the values of the forces. Be-
cause no force has a downward component, there is a net
force and the object is not in force equilibrium.

12.3 (b). Both the object and the center of gravity of the me-

ter stick are 25 cm from the pivot point. Thus, the meter
stick  and  the  object  must  have  the  same  mass  if  the  sys-
tem is balanced.

12.4 (b). The friction force on the block as it slides along the

surface is parallel to the lower surface and will cause the
block to undergo a shear deformation.

12.5 (a). The stretching of the wire due to the increased ten-

sion is described by Young’s modulus.

12.6 (c). The pressure of the atmosphere results in a force of

uniform  magnitude  perpendicular  at  all  points  on  the
surface of the sphere.