Physics For Scientists And Engineers 6E - part 95

S E C T I O N   1 2 . 4 •  Questions

377

1. Stand  with  your  back  against  a  wall.  Why  can’t  you  put

your  heels  firmly  against  the  wall  and  then  bend  forward
without falling?

2. Can  an  object  be  in  equilibrium  if  it  is  in  motion?

Explain.

3. Can an object be in equilibrium when only one force acts

upon it? If you believe the answer is yes, give an example
to support your conclusion.

4. (a) Give an example in which the net force acting on an

object is zero and yet the net torque is nonzero. (b) Give
an example in which the net torque acting on an object is
zero and yet the net force is nonzero.

5. Can an object be in equilibrium if the only torques acting

on it produce clockwise rotation?

6. If you measure the net force and the net torque on a system

to be zero, (a) could the system still be rotating with respect
to you? (b) Could it be translating with respect to you?

7. The center of gravity of an object may be located outside

the object. Give a few examples for which this is the case.

8. Assume you are given an arbitrarily shaped piece of plywood,

together  with  a  hammer,  nail,  and  plumb  bob.  How  could
you use these items to locate the center of gravity of the ply-
wood? Suggestion: Use the nail to suspend the plywood.

9. For a chair to be balanced on one leg, where must the cen-

ter of gravity of the chair be located?

10. A girl has a large, docile dog she wishes to weigh on a small

bathroom  scale.  She  reasons  that  she  can  determine  her
dog’s  weight  with  the  following  method:  First  she  puts  the
dog’s two front feet on the scale and records the scale read-
ing.  Then  she  places  the  dog’s  two  back  feet  on  the  scale
and  records  the  reading.  She  thinks  that  the  sum  of  the
readings  will  be  the  dog’s  weight.  Is  she  correct?  Explain
your answer.

11. A tall crate and a short crate of equal mass are placed side

by side on an incline, without touching each other. As the
incline  angle  is  increased,  which  crate  will  topple  first?
Explain.
A  ladder  stands  on  the  ground,  leaning  against  a  wall.
Would  you  feel  safer  climbing  up  the  ladder  if  you  were
told that the ground is frictionless but the wall is rough, or
that the wall is frictionless but the ground is rough? Justify
your answer.

13. When  you  are  lifting  a  heavy  object,  it  is  recommended

that you keep your back as nearly vertical as possible, lift-
ing from your knees. Why is this better than bending over
and lifting from your waist?

14. What  kind  of  deformation  does  a  cube  of  Jell-O  exhibit

when it jiggles?

15. Ruins  of  ancient  Greek  temples  often  have  intact  vertical

columns, but few horizontal slabs of stone are still in place.
Can you think of a reason why this is so?

12.

Q U E S T I O N S

A rigid object is in 

equilibrium if and only if the resultant external force acting on it is

zero and the resultant external torque on it is zero about any axis:

(12.1)

(12.2)

The first condition is the condition for translational equilibrium, and the second is the con-
dition for rotational equilibrium. These two equations allow you to analyze a great variety of
problems.  Make  sure  you  can  identify  forces  unambiguously,  create  a  free-body  diagram,
and then apply Equations 12.1 and 12.2 and solve for the unknowns.

The  gravitational  force  exerted  on  an  object  can  be  considered  as  acting  at  a  single

point called the 

center of gravity. The center of gravity of an object coincides with its cen-

ter of mass if the object is in a uniform gravitational field.

We can describe the elastic properties of a substance using the concepts of stress and

strain. 

Stress is a quantity proportional to the force producing a deformation; strain is a

measure of the degree of deformation. Strain is proportional to stress, and the constant of
proportionality is the 

elastic modulus:

(12.5)

Three common types of deformation are represented by (1) the resistance of a solid to

elongation under a load, characterized by 

Young’s modulus Y; (2) the resistance of a solid

to the motion of internal planes sliding past each other, characterized by the 

shear modu-

lus S; and (3) the resistance of a solid or fluid to a volume change, characterized by the
bulk modulus B.

Elastic modulus 

$ 

stress

strain

!

 

! !

0

!

 

F ! 0

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

378

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

Section 12.1 The Conditions for Equilibrium 

of a Rigid Body

1. A baseball player holds a 36-oz bat (weight ! 10.0 N) with

one hand at the point O (Fig. P12.1). The bat is in equilib-
rium.  The  weight  of  the  bat  acts  along  a  line  60.0 cm  to
the  right  of  O.  Determine  the  force  and  the  torque  ex-
erted by the player on the bat around an axis through O.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

2. Write the necessary conditions for equilibrium of the ob-

ject shown in Figure P12.2. Take the origin of the torque
equation at the point O.

60.0 cm

O

mg

Figure P12.1

F

g

F

x

F

y

R

x

O

θ

R

y

!

Figure P12.2

A  uniform  beam  of  mass  m

b

and  length  ! supports

blocks with masses m

1

and m

2

at two positions, as in Figure

P12.3. The beam rests on two knife edges. For what value
of x will the beam be balanced at P such that the normal
force at O is zero?

3.

4.

A circular pizza of radius R has a circular piece of radius
R/2 removed from one side as shown in Figure P12.4. The
center of gravity has moved from C to C& along the x axis.
Show  that  the  distance  from  C to  C& is  R/6.  Assume  the
thickness and density of the pizza are uniform throughout.

5. A  carpenter’s  square  has  the  shape  of  an  L,  as  in  Figure

P12.5. Locate its center of gravity.

6.

Pat builds a track for his model car out of wood, as in Figure
P12.6. The track is 5.00 cm wide, 1.00 m high, and 3.00 m

d

P

x

O

!

2

!

m

2

m

1

CG

Figure P12.3

C

 

′

C

Figure P12.4

12.0 cm

18.0 cm

4.0 cm

4.0 cm

Figure P12.5

Section 12.2 More on the Center of Gravity

Problems 38, 39, 41, 43, and 44 in Chapter 9 can also be
assigned with this section.

Figure P12.6

y

1.00 m

3.00 m

5.00 cm

x

y = (x – 3)

2

/9

Problems

379

r

3r

θ

 = 45

°

1500 kg

m

θ

Figure P12.9

Figure P12.12

m

1

12.0 g

m

2

m

3

3.00 cm 4.00 cm

5.00 cm

2.00 cm

4.00 cm

6.00 cm

Figure P12.10

Section 12.3 Examples of Rigid Objects 

in Static Equilibrium

Problems 17, 18, 19, 20, 21, 27, 40, 46, 57, 59, and 73 in
Chapter 5 can also be assigned with this section.

9. Find the mass m of the counterweight needed to balance

the  1 500-kg  truck  on  the  incline  shown  in  Figure  P12.9.
Assume all pulleys are frictionless and massless.

10. A  mobile  is  constructed  of  light  rods,  light  strings,  and

beach  souvenirs,  as  shown  in  Figure  P12.10.  Determine
the masses of the objects (a) m

1

, (b) m

2

, and (c) m

3

.

(4,1)

(2,7)

(8,5)

(9,7)

6.00 kg

5.00 kg

3.00 kg

(–2,2)

(–5,5)

y(m)

x(m)

Figure P12.8

long,  and  is  solid.  The  runway  is  cut  such  that  it  forms  a
parabola with the equation y ! (x ' 3)

2

/9. Locate the hori-

zontal coordinate of the center of gravity of this track.

Consider  the  following  mass  distribution:  5.00 kg  at

(0, 0) m, 3.00 kg at (0, 4.00) m, and 4.00 kg at (3.00, 0) m.
Where should a fourth object of mass 8.00 kg be placed so
that  the  center  of  gravity  of  the  four-object  arrangement
will be at (0, 0)?

8.

Figure  P12.8  shows  three  uniform  objects:  a  rod,  a  right
triangle, and a square. Their masses and their coordinates
in  meters  are  given.  Determine  the  center  of  gravity  for
the three-object system.

7.

11.

Two pans of a balance are 50.0 cm apart. The fulcrum of
the balance has been shifted 1.00 cm away from the center
by a dishonest shopkeeper. By what percentage is the true
weight of the goods being marked up by the shopkeeper?
(Assume the balance has negligible mass.)

12.

A 20.0-kg floodlight in a park is supported at the end of a
horizontal  beam  of  negligible  mass  that  is  hinged  to  a
pole,  as  shown  in  Figure  P12.12.  A  cable  at  an  angle  of
30.0° with  the  beam  helps  to  support  the  light.  Find
(a) the  tension  in  the  cable  and  (b)  the  horizontal  and
vertical forces exerted on the beam by the pole.

30.0

°

A  15.0-m  uniform  ladder  weighing  500 N  rests  against  a 
frictionless  wall.  The  ladder  makes  a  60.0° angle  with  the
horizontal.  (a)  Find  the  horizontal  and  vertical  forces  the
ground  exerts  on  the  base  of  the  ladder  when  an  800-N 
firefighter is 4.00 m from the bottom. (b) If the ladder is just
on  the  verge  of  slipping  when  the  firefighter  is  9.00 m  up,
what is the coefficient of static friction between ladder and
ground?

13.

380

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

Single point

of contact

5.00 cm

30.0

°

30.0 cm

F

Figure P12.15

14.

A uniform ladder of length L and mass m

1 

rests against a

frictionless wall. The ladder makes an angle ) with the hor-
izontal.  (a)  Find  the  horizontal  and  vertical  forces  the
ground exerts on the base of the ladder when a firefighter
of mass m

2

is a distance x from the bottom. (b) If the lad-

der is just on the verge of slipping when the firefighter is a
distance d from the bottom, what is the coefficient of static
friction between ladder and ground?

15.

Figure P12.15 shows a claw hammer as it is being used to
pull a nail out of a horizontal board. If a force of 150 N is
exerted  horizontally  as  shown,  find  (a)  the  force  exerted
by the hammer claws on the nail and (b) the force exerted
by  the  surface  on  the  point  of  contact  with  the  hammer
head.  Assume  that  the  force  the  hammer  exerts  on  the
nail is parallel to the nail.

the horizontal. Find (a) the magnitude of the force each
hook exerts on the chain and (b) the tension in the chain
at its midpoint. (Suggestion: for part (b), make a free-body
diagram for half of the chain.)

20

. Sir Lost-a-Lot dons his armor and sets out from the castle

on his trusty steed in his quest to improve communication
between damsels and dragons (Fig. P12.20). Unfortunately
his  squire  lowered  the  drawbridge  too  far  and  finally
stopped  it  20.0° below  the  horizontal.  Lost-a-Lot  and  his
horse stop when their combined center of mass is 1.00 m
from the end of the bridge. The uniform bridge is 8.00 m
long  and  has  mass  2  000 kg.  The  lift  cable  is  attached  to
the bridge 5.00 m from the hinge at the castle end, and to
a point on the castle wall 12.0 m above the bridge. Lost-a-
Lot’s mass combined with his armor and steed is 1 000 kg.
Determine (a) the tension in the cable and the (b) hori-
zontal  and  (c)  vertical  force  components  acting  on  the
bridge at the hinge.

θ

Figure P12.19

Figure P12.20 Problems 20 and 21.

16. A uniform plank of length 6.00 m and mass 30.0 kg rests

horizontally  across  two  horizontal  bars  of  a  scaffold.  The
bars are 4.50 m apart, and 1.50 m of the plank hangs over
one side of the scaffold. Draw a free-body diagram of the
plank. How far can a painter of mass 70.0 kg walk on the
overhanging part of the plank before it tips?

A 1 500-kg automobile has a wheel base (the distance be-
tween the axles) of 3.00 m. The center of mass of the auto-
mobile is on the center line at a point 1.20 m behind the
front axle. Find the force exerted by the ground on each
wheel.

18.

A  vertical  post  with  a  square  cross  section  is  10.0 m  tall.
Its bottom end is encased in a base 1.50 m tall, which is
precisely square but slightly loose. A force 5.50 N to the
right acts on the top of the post. The base maintains the
post  in  equilibrium.  Find  the  force  that  the  top  of
the right side wall of the base exerts on the post. Find the
force  that  the  bottom  of  the  left  side  wall  of  the  base
exerts on the post.

19.

A flexible chain weighing 40.0 N hangs between two hooks
located  at  the  same  height  (Fig.  P12.19).  At  each  hook,
the  tangent  to  the  chain  makes  an  angle  ) ! 42.0° with

17.

21.

Review problem. In the situation described in Problem 20
and  illustrated  in  Figure  P12.20,  the  lift  cable  suddenly
breaks! The hinge between the castle wall and the bridge
is frictionless, and the bridge swings freely until it is verti-
cal. (a) Find the angular acceleration of the bridge once it
starts  to  move.  (b)  Find  the  angular  speed  of  the  bridge
when  it  strikes  the  vertical  castle  wall  below  the  hinge.
(c) Find the force exerted by the hinge on the bridge im-
mediately  after  the  cable  breaks.  (d)  Find  the  force  ex-
erted  by  the  hinge  on  the  bridge  immediately  before  it
strikes the castle wall.

22.

Stephen  is  pushing  his  sister  Joyce  in  a  wheelbarrow
when it is stopped by a brick 8.00 cm high (Fig. P12.22).