Physics For Scientists And Engineers 6E - part 94

S E C T I O N   1 2 . 4 •  Elastic Properties of Solids

373

12.4 Elastic Properties of Solids

Except for our discussion about springs in earlier chapters, we have assumed that ob-
jects  remain  rigid  when  external  forces  act  on  them.  In  reality,  all  objects  are  de-
formable. That is, it is possible to change the shape or the size (or both) of an object
by  applying  external  forces.  As  these  changes  take  place,  however,  internal  forces  in
the object resist the deformation.

We  shall  discuss  the  deformation  of  solids  in  terms  of  the  concepts  of  stress and

strain. 

Stress is  a  quantity  that  is  proportional  to  the  force  causing  a  deformation;

more  specifically,  stress  is  the  external  force  acting  on  an  object  per  unit  cross-sec-
tional area. The result of a stress is 

strain, which is a measure of the degree of defor-

mation.  It  is  found  that,  for  sufficiently  small  stresses, 

strain  is  proportional  to

stress; the constant of proportionality depends on the material being deformed and
on  the  nature  of  the  deformation.  We  call  this  proportionality  constant  the 

elastic

modulus. The elastic modulus is therefore defined as the ratio of the stress to the re-
sulting strain:

(12.5)

The  elastic  modulus  in  general  relates  what  is  done  to  a  solid  object  (a  force  is  ap-
plied) to how that object responds (it deforms to some extent).

We consider three types of deformation and define an elastic modulus for each:

Elastic modulus 

$ 

stress

strain

Young’s Modulus: Elasticity in Length

Consider  a  long  bar  of  cross-sectional  area  A and  initial  length  L

i

that  is  clamped  at

one end, as in Figure 12.14. When an external force is applied perpendicular to the
cross  section,  internal  forces  in  the  bar  resist  distortion  (“stretching”),  but  the  bar
reaches an equilibrium situation in which its final length L

f

is greater than L

i

and in

which the external force is exactly balanced by internal forces. In such a situation, the
bar is said to be stressed. We define the 

tensile stress as the ratio of the magnitude of

the external force F to the cross-sectional area A. The 

tensile strain in this case is de-

fined  as  the  ratio  of  the  change  in  length  .L to  the  original  length  L

i

.  We  define

Young’s modulus by a combination of these two ratios:

(12.6)

Y 

$ 

tensile stress

tensile strain

!

F/A

∆L/L

i

1. Young’s  modulus,  which  measures  the  resistance  of  a  solid  to  a  change  in  its

length

2. Shear modulus, which measures the resistance to motion of the planes within a

solid parallel to each other

3. Bulk modulus, which measures the resistance of solids or liquids to changes in

their volume

F

A

L

i

∆L

Active Figure 12.14 A long bar

clamped at one end is stretched by

an amount .L under the action of

a force F.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the values of the

applied force and Young’s

modulus to observe the

change in length of the bar.

break  suddenly.)  On  the  basis  of  symmetry,  we  assert  that
F

CB

!

F

CD

and F

CA

!

F

CE

:

Finally, we balance the horizontal forces on B, assuming that
strut BD is in compression:

F

CB

!

7 200 N

!

 

F

y

!

2 F

CB

 sin 30* ' 7 200 N ! 0

Thus,  the  top  bar  in  a  bridge  of  this  design  must  be  very
strong.

F

BD

!

12 000 N

(7 200 N) cos 30* $ (7 200 N) cos 30* ' F

BD

!

0

!

F

x

!

F

BA

 cos 30* $ F

BC 

cos 30* ' F

BD

!

0

Young’s modulus

374

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

Young’s modulus is typically used to characterize a rod or wire stressed under either
tension or compression. Note that because strain is a dimensionless quantity, Y has
units of force per unit area. Typical values are given in Table 12.1. Experiments show
(a) that for a fixed applied force, the change in length is proportional to the original
length and (b) that the force necessary to produce a given strain is proportional to
the cross-sectional area. Both of these observations are in accord with Equation 12.6.

For relatively small stresses, the bar will return to its initial length when the force is

removed. The 

elastic limit of a substance is defined as the maximum stress that can

be applied to the substance before it becomes permanently deformed and does not re-
turn to its initial length. It is possible to exceed the elastic limit of a substance by apply-
ing  a  sufficiently  large  stress,  as  seen  in  Figure  12.15.  Initially,  a  stress-versus-strain
curve  is  a  straight  line.  As  the  stress  increases,  however,  the  curve  is  no  longer  a
straight line. When the stress exceeds the elastic limit, the object is permanently dis-
torted and does not return to its original shape after the stress is removed. As the stress
is increased even further, the material ultimately breaks.

Shear Modulus: Elasticity of Shape

Another type of deformation occurs when an object is subjected to a force parallel to one
of its faces while the opposite face is held fixed by another force (Fig. 12.16a). The stress
in this case is called a shear stress. If the object is originally a rectangular block, a shear
stress results in a shape whose cross section is a parallelogram. A book pushed sideways, as
shown in Figure 12.16b, is an example of an object subjected to a shear stress. To a first
approximation (for small distortions), no change in volume occurs with this deformation.

We define the 

shear stress as F/A, the ratio of the tangential force to the area A of

the face being sheared. The 

shear strain is defined as the ratio .x/h, where .x is the

horizontal distance that the sheared face moves and h is the height of the object. In
terms of these quantities, the 

shear modulus is

(12.7)

Values of the shear modulus for some representative materials are given in Table

12.1. Like Young’s modulus, the unit of shear modulus is the ratio of that for force to
that for area.

Bulk Modulus: Volume Elasticity

Bulk  modulus  characterizes  the  response  of  an  object  to  changes  in  a  force  of  uni-
form  magnitude  applied  perpendicularly  over  the  entire  surface  of  the  object,  as

S 

$ 

shear stress

shear strain

!

F/A

∆x/h

Young’s Modulus

Shear Modulus

Bulk Modulus

Substance

(N/m

2

)

(N/m

2

)

(N/m

2

)

Tungsten

35 - 10

10

14 - 10

10

20 - 10

10

Steel

20 - 10

10

8.4 - 10

10

6 - 10

10

Copper

11 - 10

10

4.2 - 10

10

14 - 10

10

Brass

9.1 - 10

10

3.5 - 10

10

6.1 - 10

10

Aluminum

7.0 - 10

10

2.5 - 10

10

7.0 - 10

10

Glass

6.5–7.8 - 10

10

2.6–3.2 - 10

10

5.0–5.5 - 10

10

Quartz

5.6 - 10

10

2.6 - 10

10

2.7 - 10

10

Water

—

—

0.21 - 10

10

Mercury

—

—

2.8 - 10

10

Typical Values for Elastic Moduli

Table 12.1

Elastic

limit

Breaking

point

Elastic

behavior

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

0

100

200

300

400

Stress

(MN/m

2

)

Strain

Figure 12.15 Stress-versus-strain

curve for an elastic solid.

–F

∆x

A

F

Fixed face

h

(a)

(b)

f

s

F

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the values of the

applied force and the shear

modulus to observe the

change in shape of the block in

part (a).

Shear modulus

Active Figure 12.16 (a) A shear

deformation in which a rectangular

block is distorted by two forces of

equal magnitude but opposite

directions applied to two parallel

faces. (b) A book under shear stress.

S E C T I O N   1 2 . 4 •  Elastic Properties of Solids

375

shown  in  Figure  12.17.  (We  assume  here  that  the  object  is  made  of  a  single  sub-
stance.)  As  we  shall  see  in  Chapter  14,  such  a  uniform  distribution  of  forces  occurs
when an object is immersed in a fluid. An object subject to this type of deformation
undergoes a change in volume but no change in shape. The 

volume stress is defined

as the ratio of the magnitude of the total force F exerted on a surface to the area A of
the surface. The quantity P ! F/A is called 

pressure, which we will study in more de-

tail  in  Chapter  14. If  the  pressure  on  an  object  changes  by  an  amount  .P ! .F/A,
then the object will experience a volume change .V. The 

volume strain is equal to

the change in volume .V divided by the initial volume V

i

. Thus, from Equation 12.5,

we  can  characterize  a  volume  (“bulk”)  compression  in  terms  of  the 

bulk  modulus,

which is defined as

(12.8)

A negative sign is inserted in this defining equation so that B is a positive number. This
maneuver is necessary because an increase in pressure (positive .P) causes a decrease
in volume (negative .V ) and vice versa.

Table 12.1 lists bulk moduli for some materials. If you look up such values in a dif-

ferent source, you often find that the reciprocal of the bulk modulus is listed. The reci-
procal of the bulk modulus is called the 

compressibility of the material.

Note from Table 12.1 that both solids and liquids have a bulk modulus. However,

no shear modulus and no Young’s modulus are given for liquids because a liquid does
not sustain a shearing stress or a tensile stress. If a shearing force or a tensile force is
applied to a liquid, the liquid simply flows in response.

B 

$ 

volume stress

volume strain

! '

∆F/A

∆V/V

i

!'

∆P

∆V/V

i

Quick Quiz 12.4

A block of iron is sliding across a horizontal floor. The fric-

tion force between the block and the floor causes the block to deform. To describe the
relationship between stress and strain for the block, you would use (a) Young’s modu-
lus (b) shear modulus (c) bulk modulus (d) none of these.

Quick Quiz 12.5

A trapeze artist swings through a circular arc. At the bot-

tom of the swing, the wires supporting the trapeze are longer than when the trapeze
artist simply hangs from the trapeze, due to the increased tension in them. To describe
the  relationship  between  stress  and  strain  for  the  wires,  you  would  use  (a)  Young’s
modulus (b) shear modulus (c) bulk modulus (d) none of these.

Quick Quiz 12.6

A spacecraft carries a steel sphere to a planet on which at-

mospheric pressure is much higher than on the Earth. The higher pressure causes the
radius of the sphere to decrease. To describe the relationship between stress and strain
for the sphere, you would use (a) Young’s modulus (b) shear modulus (c) bulk modu-
lus (d) none of these.

V

i

F

V

i

 + 

∆V

Active Figure 12.17 When a solid

is under uniform pressure, it un-

dergoes a change in volume but no

change in shape. This cube is com-

pressed on all sides by forces nor-

mal to its six faces.

Bulk modulus

Prestressed Concrete

If the stress on a solid object exceeds a certain value, the object fractures. The maxi-
mum stress that can be applied before fracture occurs depends on the nature of the
material  and  on  the  type  of  applied  stress.  For  example,  concrete  has  a  tensile
strength  of  about  2 - 10

6

N/m

2

,  a  compressive  strength  of  20 - 10

6

N/m

2

,  and  a

shear  strength  of  2 - 10

6

N/m

2

.  If  the  applied  stress  exceeds  these  values,  the  con-

crete fractures. It is common practice to use large safety factors to prevent failure in
concrete structures.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the values of the

applied force and the bulk

modulus to observe the

change in volume of the cube.

376

C H A P T E R   1 2 •  Static Equilibrium and Elasticity

Concrete is normally very brittle when it is cast in thin sections. Thus, concrete

slabs tend to sag and crack at unsupported areas, as shown in Figure 12.18a. The slab
can be strengthened by the use of steel rods to reinforce the concrete, as illustrated
in Figure 12.18b. Because concrete is much stronger under compression (squeezing)
than  under  tension  (stretching)  or  shear,  vertical  columns  of  concrete  can  support
very heavy loads, whereas horizontal beams of concrete tend to sag and crack. How-
ever, a significant increase in shear strength is achieved if the reinforced concrete is
prestressed,  as  shown  in  Figure  12.18c.  As  the  concrete  is  being  poured,  the  steel
rods are held under tension by external forces. The external forces are released after
the concrete cures; this results in a permanent tension in the steel and hence a com-
pressive  stress  on  the  concrete.  This  enables  the  concrete  slab  to  support  a  much
heavier load.

Load force

Concrete

Cracks

(a)

Steel

reinforcing

rod

(b)

(c)

Steel

rod

under

tension

Active Figure 12.18 (a) A concrete slab with no reinforcement tends to crack under

a heavy load. (b) The strength of the concrete is increased by using steel reinforce-

ment rods. (c) The concrete is further strengthened by prestressing it with steel rods

under tension.

Example 12.6 Stage Design

Recall  Example  8.4,  in  which  we  analyzed  a  cable  used  to
support an actor as he swung onto the stage. Suppose that
the  tension  in  the  cable  is  940 N  as  the  actor  reaches  the
lowest  point.  What  diameter  should  a  10-m-long  steel  wire
have if we do not want it to stretch more than 0.5 cm under
these conditions?

Solution From  the  definition  of  Young’s  modulus,  we  can
solve  for  the  required  cross-sectional  area.  Assuming  that
the cross section is circular, we can determine the diameter
of the wire. From Equation 12.6, we have

Y !

F/A

∆L/L

i

Because A ! /r

2

, the radius of the wire can be found from

d ! 2r ! 2(1.7 mm) =

To provide a large margin of safety, we would probably use a
flexible cable made up of many smaller wires having a total
cross-sectional area substantially greater than our calculated
value.

3.4 mm

r !

√

A
/

!

√

9.4 - 10

'

6

 m

2

/

!

1.7 - 10

'

3 

m ! 1.7 mm

  ! 9.4 - 10

'

 

6

 m

2

!

(940 N)(10 m)

(20 - 10

10

 N/m

2

)(0.005 m)

A !

FL

i

Y

 

∆L

Example 12.7 Squeezing a Brass Sphere

A solid brass sphere is initially surrounded by air, and the air
pressure  exerted  on  it  is  1.0 - 10

5

N/m

2

(normal  atmos-

pheric pressure). The sphere is lowered into the ocean to a
depth where the pressure is 2.0 - 10

7

N/m

2

. The volume of

the sphere in air is 0.50 m

3

. By how much does this volume

change once the sphere is submerged?

Solution From the definition of bulk modulus, we have

 B ! '

∆P

∆V/V

i

Substituting the numerical values, we obtain

The  negative  sign  indicates  that  the  volume  of  the  sphere
decreases.

'

1.6 - 10

'

4 

m

3

!

∆V ! '

(0.50 m

3

)(2.0 - 10

7

 N/m

2

'

1.0 - 10

5

 N/m

2

)

6.1 - 10

10

 N/m

2

 

∆V !'

V

i

  

∆P

B