Physics For Scientists And Engineers 6E - part 100

SECTION 13.4 •  Kepler’s Laws and the Motion of Planets

397

Thus,  higher  values  of  eccentricity  correspond  to  longer  and  thinner  ellipses.  The
range of values of the eccentricity for an ellipse is 0 * e * 1. 

Eccentricities for planetary orbits vary widely in the solar system. The eccentricity

of the Earth’s orbit is 0.017, which makes it nearly circular. On the other hand, the ec-
centricity of Pluto’s orbit is 0.25, the highest of all the nine planets. Figure 13.6a shows
an  ellipse  with  the  eccentricity  of  that  of  Pluto’s  orbit.  Notice  that  even  this  highest-
eccentricity orbit is difficult to distinguish from a circle. This is why Kepler’s first law is
an admirable accomplishment. The eccentricity of the orbit of Comet Halley is 0.97,
describing an orbit whose major axis is much longer than its minor axis, as shown in
Figure 13.6b. As a result, Comet Halley spends much of its 76-year period far from the
Sun and invisible from the Earth. It is only visible to the naked eye during a small part
of its orbit when it is near the Sun.

Now imagine a planet in an elliptical orbit such as that shown in Figure 13.5, with

the  Sun  at  focus  F

2

.  When  the  planet  is  at  the  far  left  in  the  diagram,  the  distance

between the planet and the Sun is a & c. This point is called the aphelion, where the
planet is the farthest away from the Sun that it can be in the orbit. (For an object in or-
bit around the Earth, this point is called the apogee). Conversely, when the planet is at
the  right  end  of  the  ellipse,  the  point  is  called  the  perihelion (for  an  Earth  orbit,  the
perigee), and the distance between the planet and the Sun is a " c. 

Kepler’s first law is a direct result of the inverse square nature of the gravitational

force. We have discussed circular and elliptical orbits. These are the allowed shapes of
orbits for objects that are bound to the gravitational force center. These objects include
planets, asteroids, and comets that move repeatedly around the Sun, as well as moons
orbiting a planet. There could also be unbound objects, such as a meteoroid from deep
space that might pass by the Sun once and then never return. The gravitational force
between the Sun and these objects also varies as the inverse square of the separation
distance, and the allowed paths for these objects include parabolas (e ! 1) and hyper-
bolas (e + 1).

Kepler’s Second Law

Kepler’s second law can be shown to be a consequence of angular momentum conser-
vation as follows. Consider a planet of mass M

P

moving about the Sun in an elliptical

orbit (Fig. 13.7a). Let us consider the planet as a system. We will model the Sun to be

Sun

Center

Sun

Center

(a)

(b)

Orbit

of Pluto

Orbit of

Comet Halley

Figure 13.6 (a) The shape of the orbit of Pluto,

which has the highest eccentricity (e ! 0.25) among

the planets in the solar system. The Sun is located at

the large yellow dot, which is a focus of the ellipse.

There is nothing physical located at the center (the

small dot) or the other focus (the blue dot). (b) The

shape of the orbit of Comet Halley.

▲

PITFALL PREVENTION

13.2 Where is the Sun?

The  Sun  is  located  at  one  focus
of the elliptical orbit of a planet.
It  is  not located  at  the  center  of
the ellipse.

398

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

Figure 13.8 A planet of mass M

P

moving in a circular orbit around

the Sun. The orbits of all planets

except Mercury and Pluto are

nearly circular.

r

M

S

M

P

v

so much more massive than the planet that the Sun does not move. The gravitational
force  acting  on  the  planet  is  a  central  force,  always  along  the  radius  vector,  directed 
toward  the  Sun  (Fig.  13.7a).  The  torque  on  the  planet  due  to  this  central  force  is
clearly zero, because 

F is parallel to r. That is

Recall that the external net torque on a system equals the time rate of change of

angular  momentum  of  the  system;  that  is,  ! !

d

L/dt. Therefore,  because  ! ! 0,  the

angular momentum L of the planet is a constant of the motion:

We can relate this result to the following geometric consideration. In a time in-

terval  dt,  the  radius  vector 

r in Figure 13.7b sweeps out the area dA, which equals

half  the  area 

of  the  parallelogram  formed  by  the  vectors 

r and  dr.

Because the displacement of the planet in the time interval dt is given by d

r ! v dt,

we have

(13.7)

where L and M

P

are both constants. Thus, we conclude that 

the radius vector from

the Sun to any planet sweeps out equal areas in equal times.

It  is  important  to  recognize  that  this  result  is  a  consequence  of  the  fact  that  the

gravitational force is a central force, which in turn implies that angular momentum of
the planet is constant. Therefore, the law applies to any situation that involves a central
force, whether inverse-square or not.

Kepler’s Third Law

It  is  informative  to  show  that  Kepler’s  third  law  can  be  predicted  from  the  inverse-
square law for circular orbits.

2

Consider a planet of mass M

P

that is assumed to be mov-

ing about the Sun (mass M

S

) in a circular orbit, as in Figure 13.8. Because the gravita-

tional force provides the centripetal acceleration of the planet as it moves in a circle,
we use Newton’s second law for a particle in uniform circular motion,

The orbital speed of the planet is 2%

r/T, where T is the period; therefore, the preced-

ing expression becomes

where K

S

is a constant given by

K

S

!

4%

 

2

GM

S

!

2.97 # 10

"

19

 s

2

/m

3

T

 

2

!

!

4%

 

2

GM

S

"

 r

 

3

!

K

S

r

3

GM

S

r

 

2

!

(2%r/T )

2

r

GM

S

M

P

r

 

2

!

M

P

 

v

 

2

r

dA

dt

!

L

2M

P

!

constant

dA !

1

2

 

# r " d

 

r # !

1

2

# r " v dt # !

L

2M

P

 dt

# r " d

 

r #

L ! r " p ! M

P

r " v ! constant

! !

r " F ! r " F(r)ˆr ! 0

2

The orbits of all planets except Mercury and Pluto are very close to being circular; hence, we do

not introduce much error with this assumption. For example, the ratio of the semiminor axis to the
semimajor axis for the Earth’s orbit is b/a ! 0.999 86.

Sun

r

M

S

F

g

M

P

v

(a)

Sun

(b)

r

dA

dr = vdt

Active Figure 13.7 (a) The

gravitational force acting on a planet

is directed toward the Sun. (b) As a

planet orbits the Sun, the area swept

out by the radius vector in a time

interval dt is equal to half the area of

the parallelogram formed by the

vectors 

r and dr ! v dt.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can assign a value of the

eccentricity and see the

resulting motion of the planet

around the Sun.

SECTION 13.4 •  Kepler’s Laws and the Motion of Planets

399

This equation is also valid for elliptical orbits if we replace r with the length a of the
semimajor axis (Fig. 13.5): 

(13.8)

Equation 13.8 is Kepler’s third law. Because the semimajor axis of a circular orbit is its
radius, Equation 13.8 is valid for both circular and elliptical orbits. Note that the con-
stant of proportionality K

S

is independent of the mass of the planet. Equation 13.8 is

therefore valid for any planet.

3

If we were to consider the orbit of a satellite such as the

Moon about the Earth, then the constant would have a different value, with the Sun’s
mass replaced by the Earth’s mass, that is, K

E

!

4%

2

/GM

E

.

Table 13.2 is a collection of useful planetary data. The last column verifies that the

ratio T

2

/r

3

is constant. The small variations in the values in this column are due to un-

certainties in the data measured for the periods and semimajor axes of the planets.

Recent astronomical work has revealed the existence of a large number of solar sys-

tem objects beyond the orbit of Neptune. In general, these lie in the Kuiper belt, a re-
gion that extends from about 30 AU (the orbital radius of Neptune) to 50 AU. (An AU
is  an  astronomical  unit—the  radius  of  the  Earth’s  orbit.)  Current  estimates  identify  at
least  70 000  objects  in  this  region  with  diameters  larger  than  100 km.  The  first  KBO
(Kuiper  Belt  Object)  was  discovered  in  1992.  Since  then,  many  more  have  been  de-
tected  and  some  have  been  given  names,  such  as  Varuna  (diameter  about 
900–1 000 km,  discovered  in  2000),  Ixion  (diameter  about  900–1 000 km,  discovered 
in 2001), and Quaoar (diameter about 800 km, discovered in 2002). 

A subset of about 1 400 KBOs are called “Plutinos” because, like Pluto, they exhibit

a  resonance  phenomenon,  orbiting  the  Sun  two  times  in  the  same  time  interval  as
Neptune revolves three times. Some astronomers even claim that Pluto should not be
considered a planet but should be identified as a KBO. The contemporary application
of Kepler’s laws and such exotic proposals as planetary angular momentum exchange
and migrating planets

4

suggest the excitement of this active area of current research.

T

 

2

!

!

4%

 

2

GM

S

"

 a

 

3

!

K

S

a

3

Period of

Mean Distance

Body

Mass (kg)

Mean Radius (m)

Revolution (s)

from Sun (m)

Mercury

3.18 # 10

23

2.43 # 10

6

7.60 # 10

6

5.79 # 10

10

2.97 # 10

"

19

Venus

4.88 # 10

24

6.06 # 10

6

1.94 # 10

7

1.08 # 10

11

2.99 # 10

"

19

Earth

5.98 # 10

24

6.37 # 10

6

3.156 # 10

7

1.496 # 10

11

2.97 # 10

"

19

Mars

6.42 # 10

23

3.37 # 10

6

5.94 # 10

7

2.28 # 10

11

2.98 # 10

"

19

Jupiter

1.90 # 10

27

6.99 # 10

7

3.74 # 10

8

7.78 # 10

11

2.97 # 10

"

19

Saturn

5.68 # 10

26

5.85 # 10

7

9.35 # 10

8

1.43 # 10

12

2.99 # 10

"

19

Uranus

8.68 # 10

25

2.33 # 10

7

2.64 # 10

9

2.87 # 10

12

2.95 # 10

"

19

Neptune

1.03 # 10

26

2.21 # 10

7

5.22 # 10

9

4.50 # 10

12

2.99 # 10

"

19

Pluto

$ 1.4

#

10

22

$ 1.5 # 10

6

7.82 # 10

9

5.91 # 10

12

2.96 # 10

"

19

Moon

7.36 # 10

22

1.74 # 10

6

—

—

—

Sun

1.991 # 10

30

6.96 # 10

8

—

—

—

Useful Planetary Data

Table 13.2

T

2

r

3

  

(s

2

/m

3

)

3

Equation  13.8  is  indeed  a  proportion  because  the  ratio  of  the  two  quantities  T

2

and  a

3

is  a

constant. The variables in a proportion are not required to be limited to the first power only.

4

Malhotra, R., “Migrating Planets,” Scientific American, September 1999, volume 281, number 3.

Quick Quiz 13.4

Pluto, the farthest planet from the Sun, has an orbital pe-

riod that is (a) greater than a year (b) less than a year (c) equal to a year. 

Kepler’s third law

400

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

Example 13.4 The Mass of the Sun

Calculate the mass of the Sun using the fact that the period
of the Earth’s orbit around the Sun is 3.156 # 10

7

s and its

distance from the Sun is 1.496 # 10

11

m.

Solution Using Equation 13.8, we find that

!

In  Example  13.3,  an  understanding  of  gravitational  forces
enabled  us  to  find  out  something  about  the  density  of  the
Earth’s  core,  and  now  we  have  used  this  understanding  to
determine the mass of the Sun!

What  If?

Suppose  you  were  asked  for  the  mass  of  Mars.

How could you determine this value?

Answer Kepler’s third law is valid for any system of objects
in  orbit  around  an  object  with  a  large  mass.  Mars  has  two
moons, Phobos and Deimos. If we rewrite Equation 13.8 for
these moons of Mars, we have

T

 

2

!

!

4%

 

2

GM

M

"

 a

3

1.99 # 10

30

 kg

M

S

!

4%

 

2

r

 

3

GT

 

2

!

4%

 

2

(1.496 # 10

11

 m)

3

(6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

)(3.156 # 10

7

 s)

2

where M

M

is the mass of Mars. Solving for this mass,

Phobos has an orbital period of 0.32 days and an almost cir-
cular orbit of radius 9 380 km. The orbit of Deimos is even
more circular, with a radius of 23 460 km and an orbital pe-
riod  of  1.26  days.  Let  us  calculate  the  mass  of  Mars  using
each of these sets of data:

Phobos:

Deimos:

These  two  calculations  are  within  1%  of  each  other  and
both are within 0.5% of the value of the mass of Mars given
in Table 13.2.

#

(2.346 # 10

7

 m)

3

(1.26 d)

2

 

 

!

1

 

d

86 400 s

"

2

!

6.45 # 10

23

 kg

M

M

!

(5.92 # 10

11

 kg$s

2

/m

3

)

#

(9.380 # 10

6

 m)

3

(0.32 d)

2

 

!

1

 

d

86 400 s

"

2

!

6.39 # 10

23

 kg

M

M

!

(5.92 # 10

11

 kg$s

2

/m

3

)

 ! (5.92 # 10

11

 kg$s

2

/m

3

) 

a

3

T

2

M

M

 !

!

4%

 

2

G

"

 

a

 

3

T

 

2

!

!

4%

 

2

6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

"

 

a

3

T

2

Quick  Quiz  13.5

An  asteroid is in a  highly eccentric elliptical  orbit around

the Sun. The period of the asteroid’s orbit is 90 days. Which of the following statements
is true about the possibility of a collision between this asteroid and the Earth? (a) There
is no possible danger of a collision. (b) There is a possibility of a collision. (c) There is
not enough information to determine whether there is danger of a collision.

Quick  Quiz  13.6

A  satellite  moves  in  an  elliptical  orbit  about  the  Earth

such that, at perigee and apogee positions, its distances from the Earth’s center are
respectively D and 4D. The relationship between the speeds at these two positions is
(a) v

p

!

v

a

(b) v

p

!

4v

a

(c) v

a

!

4v

p

(d) v

p

!

2v

a

(e) v

a

!

2v

p

.

Example 13.5 A Geosynchronous Satellite

Consider  a  satellite  of  mass  m moving  in  a  circular  orbit
around the Earth at a constant speed v and at an altitude h
above the Earth’s surface, as illustrated in Figure 13.9.

(A)

Determine the speed of the satellite in terms of G, h, R

E

(the radius of the Earth), and M

E

(the mass of the Earth).

Solution Conceptualize by imagining the satellite moving
around  the  Earth  in  a  circular  orbit  under  the  influence
of  the  gravitational  force.  The  satellite  must  have  a  cen-
tripetal  acceleration.  Thus,  we  categorize  this  problem  as
one  involving  Newton’s  second  law,  the  law  of  universal
gravitation, and circular motion. To analyze the problem,

note  that  the  only  external  force  acting  on  the  satellite
is the gravitational force, which acts toward the center of
the  Earth  and  keeps  the  satellite  in  its  circular  orbit.
Therefore,  the  net  force  on  the  satellite  is  the  gravita-
tional force

From Newton’s second law and the fact that the acceleration
of the satellite is centripetal, we obtain

G 

M

E

m

r

 

2

!

m 

v

 

2

r

F

r

!

F

g

!

G 

M

E

m

r

 

2

Interactive